أسئلة: ضرب المتجهات

الإجابة الصحيحة: عدد حقيقي

الضرب القياسي يُعرَّف كعدد حقيقي، بخلاف الضرب الاتجاهي الذي ناتجه متجه.

الإجابة الصحيحة: $u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$

تعريف الضرب القياسي بالمركبات هو مجموع حواصل ضرب المركبات المتناظرة.

الإجابة الصحيحة: 12

$\vec{u}\cdot\vec{v}=(1)(-2)+(2)(1)+(3)(4)=-2+2+12=12$.

الإجابة الصحيحة: عندما يكون $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$

شرط تعامد متجهين غير صفريين هو انعدام ضربهما القياسي.

الإجابة الصحيحة: $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$

تُشتق هذه الصيغة من تعريف الضرب القياسي بالزاوية $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$.

الإجابة الصحيحة: $60^\circ$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=1$، و$|\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt{2}$، فيكون $\cos\theta=\frac{1}{2}$، ومنه $\theta=60^\circ$.

الإجابة الصحيحة: $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$

الضرب القياسي إبدالي، بخلاف الضرب الاتجاهي.

الإجابة الصحيحة: $|\vec{u}|^2$

من خواص الضرب القياسي أن ضرب المتجه في نفسه يساوي مربع طوله.

الإجابة الصحيحة: متجه

بخلاف الضرب القياسي، ناتج الضرب الاتجاهي متجه له اتجاه ومقدار.

الإجابة الصحيحة: مفكوك محدّد من الرتبة $3\times 3$

يُحسب الضرب الاتجاهي بمفكوك محدّد صفه الأول $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ والصفان الآخران مركبات المتجهين.

الإجابة الصحيحة: $(5, -10, 5)$

$\vec{u}\times\vec{v}=\big((2)(4)-(3)(1),\,-[(1)(4)-(3)(-2)],\,(1)(1)-(2)(-2)\big)=(5,-10,5)$.

الإجابة الصحيحة: كلٍّ من $\vec{u}$ و$\vec{v}$ معًا

من أهم خواص الضرب الاتجاهي أن ناتجه متجه عمودي على كلا المتجهين الأصليين.

الإجابة الصحيحة: $|\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\theta$

طول الضرب الاتجاهي يرتبط بجيب الزاوية بين المتجهين، مقابل جيب التمام في الضرب القياسي.

الإجابة الصحيحة: $\vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v})$

الضرب الاتجاهي غير إبدالي؛ عكس ترتيب المتجهين يعكس إشارة الناتج.

الإجابة الصحيحة: $\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$

شرط توازي متجهين هو انعدام ضربهما الاتجاهي.

الإجابة الصحيحة: $|\vec{u}\times\vec{v}|$

مساحة متوازي الأضلاع تساوي طول الضرب الاتجاهي للضلعين المتجاورين.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}|\vec{u}\times\vec{v}|$

مساحة المثلث نصف مساحة متوازي الأضلاع المُنشأ على الضلعين نفسيهما.

الإجابة الصحيحة: $\frac{5\sqrt{6}}{2}$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(5,-10,5)$ وطوله $\sqrt{150}=5\sqrt{6}$، فالمساحة نصف ذلك.

الإجابة الصحيحة: $\vec{k}$

بالترتيب الدوري لمتجهات الوحدة: $\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}$، و$\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}$، و$\vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}$.

الإجابة الصحيحة: منفرجة

إشارة الضرب القياسي تكشف نوع الزاوية: موجبة (حادة)، صفر (قائمة)، سالبة (منفرجة).

الإجابة الصحيحة: $\frac{10}{9}(1,2,2)$

المسقط $=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}$ حيث $\vec{u}\cdot\vec{v}=2+6+2=10$ و$|\vec{v}|^2=9$.

الإجابة الصحيحة: $13$

الحجم هو القيمة المطلقة للضرب الثلاثي القياسي: $(0,1,3)\times(2,0,1)=(1,6,-2)$ ثم $(1,2,0)\cdot(1,6,-2)=1+12=13$.

الإجابة الصحيحة: الضرب الثلاثي القياسي لها يساوي صفرًا

$(0,1,1)\times(1,2,1)=(-1,1,-1)$ ثم $(1,1,0)\cdot(-1,1,-1)=-1+1=0$. إذا انعدم الضرب الثلاثي القياسي كانت المتجهات الثلاثة في مستوى واحد.

باستخدام $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$: $\vec{u}\cdot\vec{v}=(1)(-2)+(2)(1)+(3)(4)=-2+2+12=12$.

$\vec{a}\cdot\vec{b}=(1)(0)+(0)(1)+(1)(1)=1$. وطول كل متجه: $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$، $|\vec{b}|=\sqrt{0^2+1^2+1^2}=\sqrt{2}$. إذن $\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$، ومنه $\theta=60^\circ=\frac{\pi}{3}$.

$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & 4 \end{vmatrix}=\big((2)(4)-(3)(1)\big)\vec{i}-\big((1)(4)-(3)(-2)\big)\vec{j}+\big((1)(1)-(2)(-2)\big)\vec{k}=5\vec{i}-10\vec{j}+5\vec{k}=(5,-10,5)$. وللتحقق من عموديّته على $\vec{u}$: $(5,-10,5)\cdot(1,2,3)=5-20+15=0$، إذن $\vec{u}\times\vec{v}$ عمودي على $\vec{u}$.

$\overrightarrow{AB}=(1,2,3)$ و$\overrightarrow{AC}=(-2,1,4)$. وبحساب الضرب الاتجاهي (كما في المثال السابق): $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(5,-10,5)$، وطوله $\sqrt{5^2+(-10)^2+5^2}=\sqrt{25+100+25}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}$. إذن مساحة المثلث $=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\frac{5\sqrt{6}}{2}$.

يُعرَّف الضرب القياسي بالمركبات بالصيغة $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$، ويُعرَّف بالزاوية بالصيغة $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$ حيث $\theta$ الزاوية بين المتجهين. ويكون المتجهان متعامدين إذا وفقط إذا كان $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$، بشرط أن يكون كلٌّ منهما غير صفري.

$\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}=(u_2v_3-u_3v_2)\vec{i}-(u_1v_3-u_3v_1)\vec{j}+(u_1v_2-u_2v_1)\vec{k}$. والضرب الاتجاهي غير إبدالي؛ فعكس ترتيب المتجهين يعكس إشارة الناتج: $\vec{v}\times\vec{u}=-(\vec{u}\times\vec{v})$، بخلاف الضرب القياسي الذي يكون إبداليًّا.

ناتج الضرب القياسي (النقطي) عدد حقيقي، ويُستخدم في إيجاد الزاوية بين متجهين وفي اختبار التعامد ($\vec{u}\cdot\vec{v}=0$). أما ناتج الضرب الاتجاهي (المتجهي) فهو متجه عمودي على كلٍّ من المتجهين الأصليين، ويُستخدم في إيجاد متجه عمودي على متجهين معلومين، وفي اختبار التوازي ($\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}$)، وفي حساب مساحة متوازي الأضلاع والمثلث.

مساحة متوازي الأضلاع المُنشأ على ضلعين متجاورين $\vec{u}$ و$\vec{v}$ تساوي $|\vec{u}\times\vec{v}|$، ومساحة المثلث الذي ضلعاه $\vec{u}$ و$\vec{v}$ تساوي $\frac{1}{2}|\vec{u}\times\vec{v}|$. والعلاقة بينهما أن مساحة المثلث نصف مساحة متوازي الأضلاع المُنشأ على الضلعين نفسيهما، لأن قطر متوازي الأضلاع يقسمه إلى مثلثين متطابقين في المساحة.

إذا كانت $\vec{u}\cdot\vec{v}$ موجبة فإن الزاوية بين المتجهين حادة، وإذا كانت تساوي صفرًا فإن الزاوية قائمة (والمتجهان متعامدان)، وإذا كانت سالبة فإن الزاوية منفرجة.

$\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}$، و$\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}$، و$\vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}$، وهذه علاقة دورية: كل حاصل ضرب لمتجهي وحدة متتاليين بالترتيب الدوري $i\to j\to k\to i$ يعطي متجه الوحدة الثالث. ومن حساب سابق $\vec{u}\times\vec{v}=(5,-10,5)$. وبحساب $\vec{v}\times\vec{u}$: $\vec{v}\times\vec{u}=\big((1)(3)-(4)(2),\,-[(-2)(3)-(4)(1)],\,(-2)(2)-(1)(1)\big)=(-5,10,-5)$، وهو يساوي $-(\vec{u}\times\vec{v})=-(5,-10,5)=(-5,10,-5)$، مما يؤكد أن الضرب الاتجاهي غير إبدالي.

نحسب الضرب الثلاثي القياسي: $\vec{b}\times\vec{c}=(1\cdot1-3\cdot0,\ 3\cdot2-0\cdot1,\ 0\cdot0-1\cdot2)=(1,6,-2)$ ثم $\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=1+12+0=13$. فالحجم $=|13|=13$ وحدة مكعبة. وبما أن الناتج لا يساوي صفرًا فالمتجهات الثلاثة ليست في مستوى واحد.