أسئلة: المتجهات في الفراغ

الإجابة الصحيحة: $(x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1)$

متجه $\overrightarrow{AB}$ يُحسب بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية المتناظرة.

الإجابة الصحيحة: $\vec{v} = v_1\,\vec{i} + v_2\,\vec{j} + v_3\,\vec{k}$

متجهات الوحدة $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ موازية للمحاور $x, y, z$ على الترتيب، ويُكتب المتجه بضرب كل مركبة في متجه الوحدة المناظر لها ثم الجمع.

الإجابة الصحيحة: متجه موضع النقطة $P$

متجه موضع النقطة $P(x,y,z)$ هو المتجه الواصل من نقطة الأصل $O$ إلى $P$.

الإجابة الصحيحة: $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$

معيار (طول) المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات مركباته.

الإجابة الصحيحة: $(3, 4, 0)$

$\overrightarrow{AB} = (4-1,\; 7-3,\; 2-2) = (3, 4, 0)$.

الإجابة الصحيحة: 5

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2+4^2+0^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

الإجابة الصحيحة: 3

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.

الإجابة الصحيحة: $\left(\frac{1}{3},\; \frac{2}{3},\; \frac{2}{3}\right)$

متجه الوحدة $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{3}(1,2,2)$.

الإجابة الصحيحة: $(5, 3, 2)$

الجمع يتم مركبةً بمركبة: $(1+4,\; -2+5,\; 3-1) = (5, 3, 2)$.

الإجابة الصحيحة: $(-3, -7, 4)$

$\vec{u} - \vec{v} = (1-4,\; -2-5,\; 3-(-1)) = (-3, -7, 4)$.

الإجابة الصحيحة: $(6, -9, 15)$

الضرب في عدد يتم بضرب كل مركبة في العدد: $3(2,-3,5) = (6,-9,15)$.

الإجابة الصحيحة: $(5, -3, -6)$

$2\vec{u} = (4,0,-2)$، وبطرح $\vec{v}$: $2\vec{u}-\vec{v} = (4-(-1), 0-3, -2-4) = (5,-3,-6)$.

الإجابة الصحيحة: 0

$|\vec{0}| = \sqrt{0^2+0^2+0^2} = 0$، وهو المتجه الوحيد الذي لا يحدَّد له اتجاه.

الإجابة الصحيحة: $-2$

من المركبة الثانية $4 = -6t$ ومنه $t = -\frac{2}{3}$. وبالتحقق من المركبة الثالثة $-2 = 3t = 3\left(-\frac{2}{3}\right) = -2$ (متّسق). إذن $k = 3t = 3\left(-\frac{2}{3}\right) = -2$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{v_1}{|\vec{v}|}$

جيب تمام اتجاه المتجه مع محور $x$ يساوي المركبة الأولى مقسومة على معيار المتجه.

الإجابة الصحيحة: 7

$|\vec{v}| = \sqrt{6^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{36+4+9} = \sqrt{49} = 7$.

الإجابة الصحيحة: $\left(\frac{6}{7}, -\frac{2}{7}, \frac{3}{7}\right)$

$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{7}(6,-2,3)$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2}{7}$

$\cos\gamma = \frac{v_3}{|\vec{v}|} = \frac{2}{7}$ (المركبة المناظرة لمحور $z$ هي المركبة الثالثة).

الإجابة الصحيحة: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

من العلاقة $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$: $\cos^2\gamma = 1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$، وبما أن $\gamma$ حادة فإن $\cos\gamma = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$

معيار هذا المتجه يساوي $\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{4+1+4}{9}} = \sqrt{1} = 1$، فهو متجه وحدة، بخلاف باقي الاختيارات.

الإجابة الصحيحة: $7$

تساوي المتجهين يعني تساوي المركبات: $2x+1=5$ فـ $x=2$، و$y^2=9$ فـ $y=3$، و$z-3=-1$ فـ $z=2$. المجموع $2+3+2=7$.

الإجابة الصحيحة: $3\vec{i} - 5\vec{j} + 4\vec{k}$

مركبات المتجه في اتجاه $x$ و$y$ و$z$ هي معاملات $\vec{i}$ و$\vec{j}$ و$\vec{k}$ على الترتيب.

الإجابة الصحيحة: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ لكل نقطتين $A$ و$B$

لأن $\overrightarrow{BA} = A - B = -(B - A) = -\overrightarrow{AB}$. أما $|\vec{a}+\vec{b}| = |\vec{a}|+|\vec{b}|$ فتصح فقط إذا كان المتجهان في الاتجاه نفسه.

المتجه $\overrightarrow{AB}$ يُحسب بطرح إحداثيات $A$ من إحداثيات $B$:\n$\overrightarrow{AB} = (5-2, 3-(-1), 3-3) = (3, 4, 0)$.\nومعياره: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2+4^2+0^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

المعيار: $|\vec{u}| = \sqrt{4^2+(-3)^2+12^2} = \sqrt{16+9+144} = \sqrt{169} = 13$.\nمتجه الوحدة: $\hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = \frac{1}{13}(4,-3,12) = \left(\frac{4}{13}, -\frac{3}{13}, \frac{12}{13}\right)$.

بجمع المركبات المتناظرة:\n$\vec{u}+\vec{v} = (2+(-1), -5+4, 3+(-2)) = (1, -1, 1)$.\n$\vec{u}-\vec{v} = (2-(-1), -5-4, 3-(-2)) = (3, -9, 5)$.\nولإيجاد $2\vec{u}-3\vec{v}$: $2\vec{u} = (4,-10,6)$ و$3\vec{v} = (-3,12,-6)$، إذن:\n$2\vec{u}-3\vec{v} = (4-(-3), -10-12, 6-(-6)) = (7, -22, 12)$.

التوازي يعني وجود عدد حقيقي $t$ بحيث $\vec{u}=t\vec{v}$. من المركبة الأولى: $6=-4t$ ومنه $t=-\frac{3}{2}$.\nوبالتحقق من المركبة الثالثة: $-9 = 6t = 6\left(-\frac{3}{2}\right) = -9$ (متّسق).\nإذن من المركبة الثانية: $k = 2t = 2\left(-\frac{3}{2}\right) = -3$.

المعيار: $|\vec{v}| = \sqrt{4^2+(-4)^2+7^2} = \sqrt{16+16+49} = \sqrt{81} = 9$.\nجيوب تمام الاتجاه: $\cos\alpha = \frac{4}{9}$، $\cos\beta = \frac{-4}{9}$، $\cos\gamma = \frac{7}{9}$.\nوللتحقق: $\left(\frac{4}{9}\right)^2+\left(\frac{-4}{9}\right)^2+\left(\frac{7}{9}\right)^2 = \frac{16+16+49}{81} = \frac{81}{81} = 1$.

من العلاقة $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$:\n$\cos^2\gamma = 1-\left(\frac{2}{7}\right)^2-\left(\frac{3}{7}\right)^2 = 1-\frac{4}{49}-\frac{9}{49} = \frac{36}{49}$.\nوبما أن $\cos\gamma>0$ فإن $\cos\gamma = \frac{6}{7}$.\nومركبات المتجه: $v_1=|\vec{v}|\cos\alpha=7\cdot\frac{2}{7}=2$، $v_2=|\vec{v}|\cos\beta=7\cdot\frac{3}{7}=3$، $v_3=|\vec{v}|\cos\gamma=7\cdot\frac{6}{7}=6$.\nإذن $\vec{v}=(2,3,6)$، وللتحقق: $|\vec{v}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$.

$\overrightarrow{AB} = (x-1, 3-(-2), 7-4) = (x-1, 5, 3)$.\nومعياره: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x-1)^2+5^2+3^2} = \sqrt{(x-1)^2+34}$.\nبما أن $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{38}$ فإن: $(x-1)^2+34 = 38$، ومنه $(x-1)^2 = 4$، فيكون $x-1 = \pm 2$.\nإذن $x = 3$ أو $x = -1$.

بما أن $\vec{v}$ موازٍ لـ $\vec{u}$ فيوجد عدد حقيقي $t$ بحيث $\vec{v}=t\vec{u}$.\nمن المركبة الثانية: $2 = -t$ ومنه $t=-2$.\nوبالتحقق من المركبة الثالثة: $-4 = 2t = 2(-2) = -4$ (متّسق).\nإذن من المركبة الأولى: $x = 3t = 3(-2) = -6$، فيكون $\vec{v} = (-6, 2, -4)$.\nومعياره: $|\vec{v}| = \sqrt{(-6)^2+2^2+(-4)^2} = \sqrt{36+4+16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.

للتحقق من التوازي نبحث عن عدد حقيقي $t$ بحيث $\vec{u}=t\vec{v}$.\nمن المركبة الأولى: $2=-t$ ومنه $t=-2$.\nبالتحقق: المركبة الثانية $-4=2t=2(-2)=-4$ صحيحة، والمركبة الثالثة $6=-3t=-3(-2)=6$ صحيحة.\nبما أن القيمة نفسها $t=-2$ تحقّق جميع المركبات، فإن $\vec{u}$ و$\vec{v}$ متوازيان، و$\vec{u} = -2\,\vec{v}$.

معيار $\vec{u}$: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$.\nمتجه الوحدة في اتجاه $\vec{u}$: $\hat{u} = \frac{1}{3}(1,2,-2) = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)$.\nولإيجاد $2\vec{u}+\vec{v}$: $2\vec{u}=(2,4,-4)$، إذن $2\vec{u}+\vec{v} = (2+3, 4+(-1), -4+0) = (5, 3, -4)$.\nللتحقق من التوازي مع $\vec{u}=(1,2,-2)$: النسب $\frac{5}{1}=5$ و$\frac{3}{2}=1.5$ غير متساويتين، إذن $2\vec{u}+\vec{v}$ ليس موازيًا لـ $\vec{u}$.

من $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ نجد $\cos^2\gamma = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ وبما أن $\gamma$ حادة فإن $\cos\gamma = \frac{1}{2}$ أي $\gamma = 60^\circ$. المتجه $= 10\left(\cos\alpha\,\vec{i}+\cos\beta\,\vec{j}+\cos\gamma\,\vec{k}\right) = 10\left(\frac{1}{2}\vec{i}+\frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j}+\frac{1}{2}\vec{k}\right) = 5\vec{i}+5\sqrt{2}\,\vec{j}+5\vec{k}$.