ملخص المتجهات في الفراغ — ثالثة ثانوي

مقدمة

عندما تصف قوة تؤثر على جسم أو سرعة طائرة فلا يكفي أن تذكر مقدارًا فقط؛ لا بد من اتجاه أيضًا. المتجه كمية لها مقدار واتجاه، ورأينا في المستوى كيف يُعبَّر عنه بمركبتين. في الفراغ نضيف مركبة ثالثة، وتبقى القواعد مشابهة لما تعلمته، فنجمع المتجهات ونضربها في أعداد ونقيس طولها.

أهداف التعلم

تكتب متجه الموضع لنقطة في الفراغ وتعيّن مركباته ومعياره.
تجمع المتجهات وتضربها في عدد حقيقي وتطبّق خواصها، وتساوي بين متجهين.
تكتب المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ وتوجد متجه الوحدة في اتجاه متجه معلوم.
تعبّر عن متجه بدلالة نقطتي طرفيه، وتحسب زوايا الاتجاه وجيوب تمامها.

شرح الدرس

متجه الموضع والمعيار

متجه الموضع للنقطة $A(x, y, z)$ بالنسبة للأصل هو القطعة المستقيمة الموجهة $\overrightarrow{OA} = (x, y, z)$ . الأعداد $x$ و $y$ و $z$ هي مركبات المتجه في اتجاه المحاور. ومعيار المتجه (طوله) من قانون البعد بين نقطتين:

\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

متجه v في الفراغ ومركباته الثلاث على المحاور x وy وz وزوايا الاتجاه α وβ وγ التي يصنعها مع المحاور

المتجه من نقطتين

إذا كانت $A(x_1, y_1, z_1)$ و $B(x_2, y_2, z_2)$ فإن $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1)$ (النهاية ناقص البداية)، و $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$ .

تساوي المتجهات والعمليات

يتساوى متجهان إذا وفقط إذا تساوت مركباتهما المتناظرة.
الجمع: $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\; a_2 + b_2,\; a_3 + b_3)$ . وهو إبدالي وتجميعي وله عنصر محايد هو المتجه الصفري $\vec{0} = (0, 0, 0)$ ولكل متجه معكوس جمعي $-\vec{a}$ .
الضرب في عدد حقيقي: $k\,\vec{a} = (ka_1,\; ka_2,\; ka_3)$ ويحقق خاصيتي التوزيع والدمج: $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ و $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$ .
يكون المتجهان متوازيين إذا كان أحدهما حاصل ضرب الآخر في عدد حقيقي (مركباتهما متناسبة).
ملاحظة: معيار المجموع لا يساوي مجموع المعيارين في الحالة العامة.

متجهات الوحدة

متجه الوحدة معياره $1$ . متجهات الوحدة الأساسية هي $\vec{i} = (1,0,0)$ و $\vec{j} = (0,1,0)$ و $\vec{k} = (0,0,1)$ في اتجاه المحاور الموجبة. وأي متجه يُكتب:

\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}

ومتجه الوحدة في اتجاه $\vec{a}$ هو $\hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ .

زوايا الاتجاه وجيوب التمام

إذا صنع $\vec{a}$ الزوايا $\alpha$ و $\beta$ و $\gamma$ مع الاتجاهات الموجبة للمحاور $x$ و $y$ و $z$ فإن:

\cos\alpha = \frac{a_1}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{a_2}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \frac{a_3}{|\vec{a}|}, \qquad \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1

ومركبات متجه الوحدة $\hat{a}$ هي جيوب تمام الاتجاه، ومنها $\vec{a} = |\vec{a}|\left(\cos\alpha\,\vec{i} + \cos\beta\,\vec{j} + \cos\gamma\,\vec{k}\right)$ وهذا يتيح كتابة المتجه إذا علم معياره وزوايا اتجاهه.

تعريفات

متجه الموضع: المتجه الذي بدايته الأصل ونهايته النقطة.
المعيار: طول المتجه.
متجه الوحدة: متجه معياره واحد.
زوايا الاتجاه: الزوايا التي يصنعها المتجه مع الاتجاهات الموجبة للمحاور.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: إذا كانت $A(1, 2, 0)$ و $B(4, 0, 3)$ فأوجد $\overrightarrow{AB}$ ومعياره.

الحل: $\overrightarrow{AB} = (3, -2, 3)$ ومعياره $\sqrt{9+4+9} = \sqrt{22}$ .

مثال 2: أوجد متجه الوحدة في اتجاه $\vec{v} = (2, -1, 2)$ .

الحل: $|\vec{v}| = 3$ فـ $\hat{v} = \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ، ومعياره $\sqrt{\frac{4+1+4}{9}} = 1$ .

مثال 3: إذا كان $\vec{u} = (1, -2, 3)$ و $\vec{v} = (2, 0, -1)$ فأوجد $2\vec{u} - 3\vec{v}$ ومعياره.

الحل: $(2,-4,6) - (6,0,-3) = (-4,-4,9)$ ومعياره $\sqrt{16+16+81} = \sqrt{113}$ .

مثال 4: اكتب $\vec{a} = (3, -5, 4)$ بدلالة $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ وأوجد $\left|\vec{a}\right|$ .

الحل: $\vec{a} = 3\vec{i} - 5\vec{j} + 4\vec{k}$ ومعياره $\sqrt{9+25+16} = 5\sqrt{2}$ .

مثال 5: أوجد قيمة $k$ التي تجعل $\vec{u} = (3, k, -6)$ موازيًا لـ $\vec{v} = (-1, 2, 2)$ .

الحل: $\vec{u} = t\vec{v}$ فمن المركبة الأولى $t = -3$ ومن الثالثة $-6 = 2t$ أي $t = -3$ (متسق)، فـ $k = 2t = -6$ .

مثال 6: أوجد قيم $x$ و $y$ و $z$ التي تحقق $(2x+1,\ y^2,\ z-3) = (5,\ 9,\ -1)$ حيث $y>0$ .

الحل: $x = 2$ و $y = 3$ و $z = 2$ .

مثال 7: أوجد جيوب تمام الاتجاه للمتجه $\vec{v} = (2, -1, 2)$ وتحقق من أن مجموع مربعاتها $1$ .

الحل: $\cos\alpha = \frac{2}{3}$ و $\cos\beta = -\frac{1}{3}$ و $\cos\gamma = \frac{2}{3}$ ، ومجموع المربعات $\frac{4+1+4}{9} = 1$ .

مثال 8: متجه معياره $10$ يصنع زاوية $60^\circ$ مع محور $x$ و $45^\circ$ مع محور $y$ وزاوية حادة مع محور $z$ . اكتبه بدلالة $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

الحل: $\cos^2\gamma = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ فـ $\cos\gamma = \frac{1}{2}$ (زاوية حادة). المتجه $10\left(\frac{1}{2}\vec{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\vec{j} + \frac{1}{2}\vec{k}\right) = 5\vec{i} + 5\sqrt{2}\,\vec{j} + 5\vec{k}$ .

ملاحظات مهمة

$\overrightarrow{AB} = B - A$ (النهاية ناقص البداية) وليس العكس.
لا تنس الجذر التربيعي عند حساب المعيار.
لا يساوي معيار المجموع مجموع المعيارين إلا إذا كان المتجهان في الاتجاه نفسه.
إشارة جيب تمام الاتجاه تدل على ميل المتجه نحو الجهة الموجبة أو السالبة لكل محور.

المفاهيم الأساسية

$\overrightarrow{AB} = B - A$ ومعيار $\vec{a}$ هو $\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ .
العمليات على المتجهات تُجرى مركبة بمركبة.
$\hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ متجه وحدة، ويُكتب أي متجه $a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}$ .
$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$ .

ملخص الدرس

يتحدد المتجه في الفراغ بثلاث مركبات ومعياره من مجموع مربعاتها. نجمع المتجهات ونضربها في الأعداد مركبةً بمركبة، ونكتب أي متجه بدلالة $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ ، ونحصل على متجه الوحدة بالقسمة على المعيار، وجيوب تمام الاتجاه هي مركبات متجه الوحدة.

أسئلة للتدريب

إذا كانت $A(-2, 1, 3)$ و $B(1, 5, -9)$ فأوجد $\overrightarrow{AB}$ ومعياره ومتجه الوحدة في اتجاهه.
إذا كان $\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}$ و $\vec{b} = \vec{i} + 4\vec{j} - 2\vec{k}$ فأوجد $3\vec{a} - 2\vec{b}$ .
أوجد قيمة $k$ إذا كان معيار $(2, k, -1)$ يساوي $3$ وحدات.
أوجد زوايا الاتجاه للمتجه $(1, 1, \sqrt{2})$ .
هل المتجهان $(2, -4, 6)$ و $(-1, 2, -3)$ متوازيان؟ علّل.