ملخص الصورة المثلثية للعدد المركب — ثالثة ثانوي

مقدمة

تعرّفت الأعداد المركبة $z = x + yi$ حيث $i^2 = -1$ . فكما تُحدَّد نقطة على المستوى بإحداثيين، يمكن تحديد العدد المركب بنقطة، أو بطوله واتجاهه. هذه الصورة الجديدة، الصورة المثلثية، تجعل الضرب والقسمة والرفع للقوى أسهل بكثير من الصورة الجبرية، وهي أساس الدرسين التاليين.

أهداف التعلم

تمثّل العدد المركب ومرافقه ومعكوسه الجمعي في مستوى أرجاند.
تحسب مقياس العدد المركب وسعته الأساسية في أي ربع تقع فيه النقطة.
تكتب العدد المركب في الصورة المثلثية وتعود منها إلى الصورة الجبرية.
تستخدم خواص المقياس والسعة، وتضرب عددين مركبين وتقسمهما بالصورة المثلثية.

شرح الدرس

مستوى أرجاند

نمثّل العدد المركب $z = x + yi$ بالنقطة $(x, y)$ : المحور الأفقي هو المحور الحقيقي والرأسي المحور التخيلي. العددان $z$ و $-z$ متماثلان بالنسبة لنقطة الأصل، والعددان $z$ ومرافقه $\bar{z} = x - yi$ متماثلان بالنسبة للمحور الحقيقي.

الإحداثيات القطبية والمقياس والسعة

النقطة $(x, y)$ تُحدَّد أيضًا ببُعدها $r$ عن نقطة الأصل وبالزاوية $\theta$ التي يصنعها الشعاع الواصل إليها مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. فيكون:

x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \qquad r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}

المستوى المركب: العدد z يساوي سالب 1 زائد جذر 3 في i نقطة في الربع الثاني، مقياسها r يساوي 2، وسعتها θ تساوي 120 درجة

يُسمّى $r$ مقياس العدد (ويُكتب $|z|$ )، وتُسمّى $\theta$ سعة العدد. والسعة غير وحيدة لأن إضافة $2n\pi$ لا تغيّر الاتجاه؛ لذلك نتفق على السعة الأساسية وهي القيمة الوحيدة التي تقع في الفترة $]-\pi, \pi]$ .

تعيين السعة الأساسية

نحسب الزاوية الحادة $\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$ ثم نحدد الربع من إشارتي $x$ و $y$ :

موقع النقطة	$x$	$y$	السعة الأساسية $\theta$
الربع الأول	موجبة	موجبة	$\alpha$
الربع الثاني	سالبة	موجبة	$\pi - \alpha$
الربع الثالث	سالبة	سالبة	$-(\pi - \alpha)$ أي $\alpha - \pi$
الربع الرابع	موجبة	سالبة	$-\alpha$

وللحالات الخاصة: على المحور الحقيقي الموجب $\theta = 0$ ، وعلى السالب $\theta = \pi$ ، وعلى المحور التخيلي الموجب $\theta = \frac{\pi}{2}$ ، وعلى السالب $\theta = -\frac{\pi}{2}$ . والعدد صفر سعته غير معرّفة.

الصورة المثلثية

بالتعويض عن $x$ و $y$ نحصل على:

z = r\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)

وللرجوع إلى الصورة الجبرية نحسب $r\cos\theta$ و $r\sin\theta$ . ويمكن استخدام قياس الزاوية بالراديان أو بالدرجات بشرط ثبات الوحدة داخل القوسين.

خواص المقياس والسعة

$|z| \ge 0$ ويساوي صفرًا فقط عندما $z = 0$ .
$|z| = |\bar{z}| = |-z|$ ، وسعة $\bar{z}$ هي $-\theta$ .
$z\bar{z} = |z|^2$ .
إذا كانت سعة $z$ هي $\theta$ فإن سعة $-z$ هي $\theta + \pi$ (أو $\theta - \pi$ ) في الفترة الأساسية.

الضرب والقسمة بالصورة المثلثية

إذا كان $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ و $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$ فإن:

z_1z_2 = r_1r_2\left[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)\right], \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2)\right]

أي: عند الضرب نضرب المقياسين ونجمع السعتين، وعند القسمة نقسم المقياسين ونطرح السعتين. ومن ذلك: $\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\left[\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\right]$ وكذلك $z^2 = r^2(\cos 2\theta + i\sin 2\theta)$ ، وتعميمه لأي أس صحيح هو موضوع الدرس التالي.

تعريفات

المقياس: بُعد النقطة الممثلة للعدد عن الأصل.
السعة الأساسية: السعة التي تنتمي إلى $]-\pi, \pi]$ .
مستوى أرجاند: المستوى الذي تُمثَّل فيه الأعداد المركبة بنقاط.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: اكتب $z = -1 + \sqrt{3}\,i$ في الصورة المثلثية.

الحل: $r = \sqrt{1+3} = 2$ . النقطة في الربع الثاني و $\alpha = \tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$ ، فـ $\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ :

z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)

مثال 2: اكتب $z = -2 - 2i$ في الصورة المثلثية.

الحل: $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ، والنقطة في الربع الثالث و $\alpha = \frac{\pi}{4}$ فـ $\theta = -\frac{3\pi}{4}$ :

z = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)

مثال 3: عيّن المقياس والسعة الأساسية للعدد $z = -4i$ .

الحل: النقطة $(0, -4)$ على المحور التخيلي السالب، فـ $r = 4$ و $\theta = -\frac{\pi}{2}$ .

مثال 4: اكتب $z = 6\left(\cos 150^\circ + i\sin 150^\circ\right)$ في الصورة الجبرية.

الحل: $x = 6\cos 150^\circ = -3\sqrt{3}$ و $y = 6\sin 150^\circ = 3$ ، فـ $z = -3\sqrt{3} + 3i$ .

مثال 5: إذا كان $z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ و $z_2 = 3\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ فأوجد $z_1z_2$ .

الحل: $r = 6$ و $\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ ، فـ $z_1z_2 = 6i$ .

مثال 6: أوجد $\dfrac{z_1}{z_2}$ إذا كان $z_1 = 8\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$ و $z_2 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$ .

الحل: $r = 4$ و $\theta = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ ، فالناتج $4i$ .

مثال 7: اكتب $z = 1 - i$ ثم $\dfrac{1}{z}$ في الصورة المثلثية.

الحل: $r = \sqrt{2}$ و $\theta = -\frac{\pi}{4}$ فـ $z = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ ، و $\frac{1}{z} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ . وبالصورة الجبرية $\frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{2}$ وهو يطابق ذلك.

ملاحظات مهمة

لا تعتمد على $\tan^{-1}\frac{y}{x}$ وحدها؛ حدّد الربع أولًا لتتجنب سعة خاطئة.
استخدم الراديان أو الدرجات في العدد كله ولا تخلط بينهما.
عند $z = 0$ المقياس صفر والسعة غير معرّفة.
الصورة المثلثية تُسهّل الضرب والقسمة والأسس، أما الجمع والطرح فيظلان أسهل في الصورة الجبرية.

المفاهيم الأساسية

$r = \sqrt{x^2+y^2}$ و $x = r\cos\theta$ و $y = r\sin\theta$ .
السعة الأساسية في $]-\pi, \pi]$ وتتحدد بالربع.
$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ .
الضرب: تُضرب المقاييس وتُجمع السعات. القسمة: تُقسم المقاييس وتُطرح السعات.
$|z| = |\bar{z}|$ وسعة المرافق عكس السعة، و $z\bar{z} = |z|^2$ .

ملخص الدرس

يُمثَّل العدد المركب بنقطة في مستوى أرجاند ويُحدَّد أيضًا بمقياسه وسعته. نجد السعة الأساسية بحسب الربع، ونكتب $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ . وبهذه الصورة يتحول الضرب والقسمة إلى ضرب المقاييس وجمع السعات أو قسمة المقاييس وطرح السعات.

أسئلة للتدريب

اكتب $z = 3 - 3\sqrt{3}\,i$ في الصورة المثلثية.
عيّن المقياس والسعة الأساسية لـ $z = -5$ ولـ $z = 2i$ .
اكتب $z = 4\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$ في الصورة الجبرية.
إذا كان $z_1 = 3\left(\cos 40^\circ + i\sin 40^\circ\right)$ و $z_2 = 2\left(\cos 20^\circ + i\sin 20^\circ\right)$ فأوجد $z_1z_2$ و $\dfrac{z_1}{z_2}$ بالصورة المثلثية.
أثبت أن $|z|^2 = z\bar{z}$ لعدد مركب $z = x + yi$ .