أسئلة: الصورة المثلثية للعدد المركب

الإجابة الصحيحة: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$

المقياس هو بُعد النقطة $(x,y)$ عن نقطة الأصل، ويُحسب بالعلاقة $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

الإجابة الصحيحة: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

بالتعويض عن $x=r\cos\theta$ و$y=r\sin\theta$ في $z=x+yi$ نحصل على $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{2}$

$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{\pi}{4}$

النقطة $(1,1)$ تقع في الربع الأول، و$\cos\theta=\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$، إذن $\theta=\frac{\pi}{4}$.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

بما أن $r=\sqrt{2}$ و$\theta=\frac{\pi}{4}$ فإن $z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.

الإجابة الصحيحة: $2$

$r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2\pi}{3}$

النقطة $(-1,\sqrt{3})$ تقع في الربع الثاني، و$\cos\theta=-\frac{1}{2}$، $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$، إذن $\theta=\frac{2\pi}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$

بما أن $r=2$ و$\theta=\frac{2\pi}{3}$ فإن $z=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$.

الإجابة الصحيحة: تُضرب المقاييس وتُجمع السعات

$z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)]$.

الإجابة الصحيحة: تُقسم المقاييس وتُطرح السعات

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)]$.

الإجابة الصحيحة: $6i$

$r=2\times3=6$، $\theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$، فـ $z_1z_2=6\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=6i$.

الإجابة الصحيحة: $2$

$r=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{\pi}{6}$

النقطة $(\sqrt{3},1)$ في الربع الأول، و$\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$، $\sin\theta=\frac{1}{2}$، إذن $\theta=\frac{\pi}{6}$.

الإجابة الصحيحة: $2+2\sqrt{3}\,i$

$z=4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=4\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=2+2\sqrt{3}\,i$.

الإجابة الصحيحة: $(-\pi,\pi]$

تُسمّى القيمة الواقعة في الفترة $(-\pi,\pi]$ السعة الرئيسية.

الإجابة الصحيحة: $r=0$ والسعة غير معرَّفة

عند $z=0$ يكون $r=0$ والسعة غير معرّفة كما ورد في ملاحظات الدرس.

الإجابة الصحيحة: لأن $\theta$ قد تكون $\frac{\pi}{4}$ (ربع أول) أو $\frac{5\pi}{4}$ (ربع ثالث)، ولا بد من تحديد الربع من إشارتي $x$ و$y$

كما ورد في ملاحظات الدرس: يجب التحقق من الربع قبل تثبيت السعة، فإشارتا $x,y$ هما ما يحسم الاختيار.

الإجابة الصحيحة: $3$

$r=\sqrt{(-3)^2+0^2}=3$، والمقياس دائمًا عدد غير سالب.

الإجابة الصحيحة: $\frac{\pi}{2}$

النقطة $(0,4)$ تقع على المحور التخيلي الموجب، فالسعة $\theta=\frac{\pi}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $8i$

$r=4\times2=8$، $\theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$، فـ $z_1z_2=8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=8i$.

الإجابة الصحيحة: $-\dfrac{3\pi}{4}$

النقطة $(-2,-2)$ في الربع الثالث والزاوية الحادة $\frac{\pi}{4}$ فالسعة الأساسية $\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$ وتقع في الفترة $]-\pi,\pi]$.

الإجابة الصحيحة: $-\theta$

المرافق نظير العدد بالنسبة للمحور الحقيقي فتنعكس زاويته وتصبح $-\theta$ ويبقى المقياس نفسه.

الإجابة الصحيحة: $\dfrac{1}{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)$

$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\left[\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\right]$ فالمقياس $\frac{1}{2}$ والسعة $-\frac{\pi}{3}$.

المقياس: $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. النقطة $(1,1)$ تقع في الربع الأول، و$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$، $\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$، إذن $\theta=\frac{\pi}{4}$. وبالتالي الصورة المثلثية: $z=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$.

المقياس: $r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=2$. النقطة $(-1,\sqrt{3})$ تقع في الربع الثاني، و$\cos\theta=-\frac{1}{2}$، $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$، إذن $\theta=\frac{2\pi}{3}$. وبالتالي الصورة المثلثية: $z=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$.

نضرب المقياسين ونجمع السعتين: $r=2\times3=6$، $\theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$. إذن $z_1z_2=6\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=6(0+i)=6i$.

المقياس: $r=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$. النقطة $(\sqrt{3},1)$ في الربع الأول، و$\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$، $\sin\theta=\frac{1}{2}$، إذن $\theta=\frac{\pi}{6}$. الصورة المثلثية: $z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$.

المقياس: $r=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$. النقطة $(-2,2)$ تقع في الربع الثاني، و$\cos\theta=\frac{-2}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$، $\sin\theta=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$، إذن $\theta=\frac{3\pi}{4}$. الصورة المثلثية: $z=2\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$.

الضرب: $r=4\times2=8$، $\theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$، فـ $z_1z_2=8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=8i$. القسمة: $r=\frac{4}{2}=2$، $\theta=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$، فـ $\frac{z_1}{z_2}=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i$.

$\tan\theta=\frac{-1}{-1}=1$، وهذه القيمة نفسها تنتج من $\theta=\frac{\pi}{4}$ أو $\theta=\frac{5\pi}{4}$، فلا تكفي وحدها لتحديد السعة. النقطة $(-1,-1)$ تقع في الربع الثالث (كلا الإحداثيين سالب)، و$\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{2}}$، $\sin\theta=-\frac{1}{\sqrt{2}}$، فتُحسم السعة لصالح الربع الثالث: $\theta=\frac{5\pi}{4}$ (وهو ما يكافئ $-\frac{3\pi}{4}$ ضمن مجال السعة الرئيسية $(-\pi,\pi]$)، والمقياس $r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$.

$z=6(\cos\pi+i\sin\pi)=6(-1+0i)=-6$. وللتحقق: مقياس $-6$ هو $\sqrt{(-6)^2+0^2}=6=r$، وهو مطابق للمعطى.

المقياس: $r=\sqrt{(-4)^2+0^2}=4$. النقطة $(-4,0)$ تقع على المحور الحقيقي السالب، حيث $\cos\theta=\frac{-4}{4}=-1$ و$\sin\theta=0$، وهذا يتحقق عند $\theta=\pi$. إذن $z=4(\cos\pi+i\sin\pi)$.

لـ $z_1$: $r_1=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$، والنقطة $(-\sqrt{3},1)$ في الربع الثاني حيث $\cos\theta_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}$، $\sin\theta_1=\frac{1}{2}$، إذن $\theta_1=\frac{5\pi}{6}$. لـ $z_2$: $r_2=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$، والنقطة $(\sqrt{3},1)$ في الربع الأول حيث $\cos\theta_2=\frac{\sqrt{3}}{2}$، $\sin\theta_2=\frac{1}{2}$، إذن $\theta_2=\frac{\pi}{6}$. الضرب: $r=2\times2=4$، $\theta=\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=\pi$، فـ $z_1z_2=4(\cos\pi+i\sin\pi)=-4$. القسمة: $r=\frac{2}{2}=1$، $\theta=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}$، فـ $\frac{z_1}{z_2}=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

إذا كان $z = x + yi$ فإن $\bar{z} = x - yi$ ويكون $z\bar{z} = (x+yi)(x-yi) = x^2 - (yi)^2 = x^2 + y^2$ لأن $i^2 = -1$، وهذا يساوي $|z|^2 = \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^2$. للعدد $z = 3 - 4i$: $|z|^2 = 9 + 16 = 25$ فـ $z\bar{z} = 25$.

$r = \sqrt{9 + 27} = 6$. النقطة $(3, -3\sqrt{3})$ في الربع الرابع و$\alpha = \tan^{-1}\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$ فالسعة الأساسية $\theta = -\frac{\pi}{3}$ و$z = 6\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$. ومقلوبه $\frac{1}{z} = \frac{1}{6}\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = \frac{1}{12} + \frac{\sqrt{3}}{12}i$.