ملخص النسبة بين حدين متتاليين من مفكوك ذات الحدين — ثالثة ثانوي

مقدمة

حين تحسب مفكوكًا طويلًا عند قيمة عددية للمتغير، تظهر أعداد تكبر ثم تصغر. أين يقع أكبر حد؟ وإذا أُعطيت ثلاثة معاملات متتالية فكيف تعرف الأس $n$ ومكانها في المفكوك؟ تجيب عن ذلك قاعدة بسيطة تربط كل حد بالحد الذي قبله دون حساب أي منهما كاملًا.

أهداف التعلم

تشتق النسبة $\dfrac{T_{r+1}}{T_r}$ بين حدين متتاليين في مفكوك $(a+b)^n$ وتستخدمها.
تحسب النسبة بين حدين أو بين معاملين متتاليين دون كتابة المفكوك.
تعيّن أكبر حد عدديًّا عند قيمة معطاة للمتغير.
تحل مسائل المعاملات المتتالية لإيجاد $n$ ورتبة الحدود.

شرح الدرس

اشتقاق القاعدة

في مفكوك $(a+b)^n$ يكون $T_r = \binom{n}{r-1}a^{\,n-r+1}b^{\,r-1}$ و $T_{r+1} = \binom{n}{r}a^{\,n-r}b^{\,r}$ . بقسمة الثاني على الأول وتبسيط التوافيق:

\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n-r+1}{r}\cdot\frac{b}{a}

وتُكتب القاعدة نفسها بإزاحة الرتبة (حدٌّ ثم الذي يليه) على الصورة:

\frac{T_{r+2}}{T_{r+1}} = \frac{n-r}{r+1}\cdot\frac{b}{a}

يقال: نسبة الحد إلى سابقه تساوي « $\frac{n-r+1}{r}$ مضروبة في نسبة الحد الثاني إلى الأول». وللمعاملات وحدها (دون المتغير) نستعمل الكسر $\frac{n-r+1}{r}$ مضروبًا في نسبة المعاملين العدديين.

إيجاد أكبر حد عدديًّا

عند قيمة عددية للمتغير تصير الحدود أعدادًا ونريد أكبرها. نستخدم القاعدة:

اكتب النسبة $\dfrac{T_{r+1}}{T_r}$ بدلالة $r$ .
الحدود تتزايد ما دامت النسبة أكبر من $1$ ، وتتناقص حين تصبح أقل من $1$ .
حُل $\dfrac{T_{r+1}}{T_r} \ge 1$ لإيجاد قيم $r$ التي يبقى عندها الحد التالي أكبر أو مساويًا سابقه، فيكون أكبر حد هو $T_{r+1}$ عند أكبر قيمة صحيحة لـ $r$ .
إذا نتجت مساواة تامة (النسبة $=1$ ) كان هناك حدّان متتاليان متساويان وهما الأكبر.
عند قيمة سالبة للمتغير نأخذ القيمة المطلقة للنسبة.

المعاملات المتتالية

إذا عُلمت ثلاثة معاملات متتالية (أو نسبتان بينها) فإن النسبتين $\frac{n-r+1}{r}$ و $\frac{n-r}{r+1}$ تعطيان معادلتين خطيتين في $n$ و $r$ نحلهما معًا.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: في مفكوك $(x+3)^{9}$ أوجد النسبة $\dfrac{T_4}{T_3}$ .

الحل: $r = 3$ ، $a = x$ ، $b = 3$ :

\frac{T_4}{T_3} = \frac{9-3+1}{3}\cdot\frac{3}{x} = \frac{7}{x}

مثال 2: في مفكوك $(2x+1)^{10}$ أوجد النسبة بين معاملي الحدّين الخامس والرابع.

الحل: $r = 4$ ونسبة المعاملين العدديين $\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$ :

\frac{\text{معامل } T_5}{\text{معامل } T_4} = \frac{10-4+1}{4}\cdot\frac{1}{2} = \frac{7}{8}

(تحقق: معامل $T_5 = \binom{10}{4}2^6 = 13440$ ومعامل $T_4 = \binom{10}{3}2^7 = 15360$ ونسبتهما $\frac{7}{8}$ .)

مثال 3 (أكبر حد): أوجد أكبر حد عدديًّا في مفكوك $(1+3x)^{8}$ عند $x = 1$ .

الحل: $a = 1$ و $b = 3$ :

\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{9-r}{r}\cdot 3 \ge 1 \;\Longrightarrow\; 27 - 3r \ge r \;\Longrightarrow\; r \le 6.75

أكبر قيمة صحيحة $r = 6$ ، فيكون الحد $T_7$ هو الأكبر:

T_7 = \binom{8}{6}3^{6} = 28 \times 729 = 20412

تحقق: $T_8 = \binom{8}{7}3^7 = 17496$ وهو أصغر.

مثال 4 (معاملات متتالية): كانت معاملات ثلاثة حدود متتالية في مفكوك $(1+x)^n$ هي $36$ و $84$ و $126$ بهذا الترتيب. أوجد $n$ ورتب الحدود.

الحل: نفرض أن الحدود $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ . النسبة الأولى $\frac{84}{36} = \frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3}$ فيكون $3n + 3 = 10r$ . والنسبة الثانية $\frac{126}{84} = \frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2}$ فيكون $2n = 5r + 3$ . بالحل: $r = 3$ و $n = 9$ ، والحدود هي $T_3, T_4, T_5$ .

مثال 5 (نسبة معطاة): في مفكوك $(1+x)^n$ نسبة معامل الحد الرابع إلى معامل الحد الخامس تساوي $\frac{2}{3}$ . أوجد $n$ .

الحل: معامل $T_4 = \binom{n}{3}$ ومعامل $T_5 = \binom{n}{4}$ ، والنسبة $\frac{T_5}{T_4}$ (بوضع $r = 4$ ) $= \frac{n-3}{4}$ ، إذن $\frac{4}{n-3} = \frac{2}{3}$ ومنه $n = 9$ .

مثال 6: أثبت أن النسبة بين معاملي حدين متتاليين في مفكوك $(1+x)^{n}$ تساوي $\frac{n-r+1}{r}$ .

الحل: معامل $T_{r+1} = \binom{n}{r}$ ومعامل $T_r = \binom{n}{r-1}$ ، فالنسبة $\frac{n!}{r!(n-r)!}\cdot\frac{(r-1)!(n-r+1)!}{n!} = \frac{n-r+1}{r}$ .

ملاحظات مهمة

تأكد من أن $T_{r+1}$ هو الحد الذي يلي $T_r$ مباشرة قبل أخذ النسبة.
في مسائل أكبر حد عوّض بالقيمة العددية للمتغير داخل $\frac{b}{a}$ قبل حل المتباينة.
إذا كانت $r$ الناتجة كسرية فخذ الجزء الصحيح؛ وإن كانت صحيحة والنسبة تساوي $1$ فالحدّان متساويان.
نسبة المعاملات تستثني القوى (المتغيرات) ولا تتغير مع $x$ .

المفاهيم الأساسية

$\dfrac{T_{r+1}}{T_r} = \dfrac{n-r+1}{r}\cdot\dfrac{b}{a}$ .
الحدود تتزايد ما دامت النسبة $>1$ وتتناقص بعدها.
أكبر حد عدديًّا يقع عند آخر قيمة لـ $r$ تحقق $\dfrac{T_{r+1}}{T_r} \ge 1$ .
مسائل المعاملات المتتالية تُحوَّل إلى معادلتين في $n$ و $r$ .

ملخص الدرس

القاعدة $\frac{T_{r+1}}{T_r} = \frac{n-r+1}{r}\cdot\frac{b}{a}$ تتيح الانتقال من حد إلى آخر دون حساب كامل. نستخدمها لتحديد موضع أكبر حد عند قيمة عددية، ولاستنتاج $n$ ومواضع الحدود من معاملات متتالية أو من نسبة بين معاملين.

أسئلة للتدريب

أوجد النسبة $\dfrac{T_6}{T_5}$ في مفكوك $(2x + y)^{12}$ .
أوجد أكبر حد عدديًّا في مفكوك $(1 + 2x)^{10}$ عند $x = 1$ .
في مفكوك $(1+x)^{n}$ كان معاملا حدين متتاليين $\binom{n}{r}$ و $\binom{n}{r+1}$ متناسبين مع $3 : 5$ ، وكانت $r = 2$ . أوجد $n$ .
إذا كانت معاملات ثلاثة حدود متتالية من مفكوك $(1+x)^n$ هي $1, 7, 21$ فأوجد $n$ .