ملخص النظام الإحداثي المتعامد في ثلاثة أبعاد — ثالثة ثانوي

مقدمة

لتحديد موضع جسم على خط مستقيم يكفي عدد واحد، وعلى سطح مستوٍ نحتاج عددين، أما موضع طائرة في السماء أو نقطة في غرفة فيلزمنا ثلاثة أعداد. في هذا الدرس نبني نظامًا إحداثيًّا في الفراغ ونتعلّم كيف نحدد النقطة ونقيس المسافة بين نقطتين ونعيّن منتصف قطعة مستقيمة، وهي مهارات يقوم عليها ما بعدها من المتجهات والمستقيمات والمستويات.

أهداف التعلم

تحدّد موضع نقطة في الفراغ بثلاثة إحداثيات $(x, y, z)$ وتعيّنها في نظام ثلاثي الأبعاد.
تعرف المستويات الإحداثية ومعادلاتها وتحسب بُعد النقطة عنها.
تحسب البعد بين نقطتين في الفراغ وتستخدمه في إثبات خواص الأشكال.
تعيّن إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة وتوجد أحد طرفيها إذا علمت المنتصف والطرف الآخر.

شرح الدرس

المحاور والمستويات الإحداثية

يتكون النظام الإحداثي في الفراغ من ثلاثة محاور مستقيمة $x$ و $y$ و $z$ متعامدة مثنى مثنى وتلتقي في نقطة الأصل $O$ . ولتحديد الاتجاهات نستخدم قاعدة اليد اليمنى: إذا أشارت أصابع اليد اليمنى المنحنية من الاتجاه الموجب لمحور $x$ إلى الاتجاه الموجب لمحور $y$ فإن الإبهام يشير إلى الاتجاه الموجب لمحور $z$ .

كل محورين يحددان مستوًى إحداثيًّا:

مستوى $xy$ ومعادلته $z = 0$ (كل نقطة فيه على الصورة $(x, y, 0)$ ).
مستوى $xz$ ومعادلته $y = 0$ (كل نقطة فيه $(x, 0, z)$ ).
مستوى $yz$ ومعادلته $x = 0$ (كل نقطة فيه $(0, y, z)$ ).

وتقسم المستويات الإحداثية الثلاثة الفراغ إلى ثمانية أقسام تُسمّى الأثمان.

تعيين النقطة وأبعادها

نعيّن النقطة $P(x, y, z)$ بأن نبدأ من الأصل ونتحرك $x$ على محور $x$ ثم $y$ موازيًا لمحور $y$ ثم $z$ موازيًا لمحور $z$ (للأعلى إن كانت موجبة وللأسفل إن كانت سالبة). فالنقطة $(3, 4, 2)$ هي رأس متوازي مستطيلات أبعاده $3$ و $4$ و $2$ رأسه الآخر الأصل.

النقطة P ذات الإحداثيات 3 و4 و2 في الفراغ ممثلة داخل متوازي مستطيلات أبعاده 3 و4 و2، والمسافة OP تساوي جذر 29

أبعاد النقطة $(x, y, z)$ عن المستويات الإحداثية هي: $|z|$ عن مستوى $xy$ و $|y|$ عن مستوى $xz$ و $|x|$ عن مستوى $yz$ . وإذا كان أحد إحداثيات النقطة صفرًا فهي تقع في أحد المستويات الإحداثية، وإذا كان اثنان منها صفرًا فهي تقع على أحد المحاور.

البعد بين نقطتين

البعد بين $A(x_1, y_1, z_1)$ و $B(x_2, y_2, z_2)$ امتداد لنظرية فيثاغورس إلى ثلاثة أبعاد:

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

وبُعد النقطة $(x, y, z)$ عن نقطة الأصل $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . ويُستخدم القانون في إثبات أن مثلثًا قائم الزاوية (بعكس نظرية فيثاغورس) أو متساوي الساقين أو الأضلاع.

منتصف قطعة مستقيمة

منتصف $\overline{AB}$ هو متوسط إحداثيات الطرفين:

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2},\; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

وإذا علمنا المنتصف $M$ وأحد الطرفين $A$ فالطرف الآخر $B = 2M - A$ (أي نضاعف إحداثيات المنتصف ونطرح إحداثيات الطرف المعلوم).

تعريفات

المستوى الإحداثي: المستوى الذي يضم محورين إحداثيين.
الإسقاط: موضع النقطة على محور أو مستوى بمسقط عمودي.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: عيّن موضع النقطة $A(-2, 3, 2)$ ثم أوجد بُعدها عن كل مستوى إحداثي.

الحل: نتحرك من الأصل $2$ للخلف على محور $x$ ثم $3$ على محور $y$ ثم $2$ للأعلى. بُعدها عن مستوى $xy$ يساوي $|2| = 2$ ، وعن مستوى $xz$ يساوي $3$ ، وعن مستوى $yz$ يساوي $2$ .

مثال 2: أوجد البعد بين $A(1, 2, 3)$ و $B(4, 6, 3)$ .

الحل: $AB = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5$ .

مثال 3: أثبت أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية ومتساوي الساقين حيث $A(0,0,0)$ و $B(2,2,1)$ و $C(2,-1,-2)$ .

الحل: $AB^2 = 4+4+1 = 9$ و $AC^2 = 4+1+4 = 9$ و $BC^2 = 0+9+9 = 18$ . بما أن $AB = AC$ و $AB^2 + AC^2 = BC^2$ فالمثلث متساوي الساقين وقائم الزاوية في $A$ (عكس نظرية فيثاغورس).

مثال 4: أثبت أن النقاط $A(1,0,0)$ و $B(0,1,0)$ و $C(0,0,1)$ رؤوس مثلث متساوي الأضلاع، واحسب طول ضلعه.

الحل: $AB = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$ وكذلك $BC = \sqrt{2}$ و $AC = \sqrt{2}$ . فالمثلث متساوي الأضلاع وطول ضلعه $\sqrt{2}$ .

مثال 5: أوجد منتصف القطعة الواصلة بين $A(2, -1, 4)$ و $B(6, 3, 0)$ .

الحل: $M = \left(\frac{2+6}{2},\, \frac{-1+3}{2},\, \frac{4+0}{2}\right) = (4,\, 1,\, 2)$ .

مثال 6: النقطة $M(1, -1, 4)$ منتصف $\overline{AB}$ حيث $B(4, -2, 1)$ . أوجد $A$ .

الحل: $A = 2M - B = (2 - 4,\; -2 + 2,\; 8 - 1) = (-2,\, 0,\, 7)$ .

مثال 7: مكعب طول ضلعه $3$ أحد رؤوسه نقطة الأصل وأضلاعه على المحاور الموجبة. أوجد إحداثيات رؤوسه وطول قطره.

الحل: الرؤوس $(0,0,0)$ و $(3,0,0)$ و $(0,3,0)$ و $(0,0,3)$ و $(3,3,0)$ و $(3,0,3)$ و $(0,3,3)$ و $(3,3,3)$ . وطول القطر الواصل بين الأصل و $(3,3,3)$ يساوي $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ .

ملاحظات مهمة

إشارة الإحداثي تدل على جهة النقطة بالنسبة للمستوى الإحداثي المقابل.
بُعد النقطة عن مستوى إحداثي يساوي القيمة المطلقة للإحداثي المقابل.
لإثبات أن المثلث قائم قارن مربع أكبر ضلع بمجموع مربعي الضلعين الآخرين.
في قانون البعد لا يهم ترتيب طرح الإحداثيات لأن الفروق تُربَّع.

المفاهيم الأساسية

النقطة في الفراغ $(x, y, z)$ ومعادلات المستويات $z = 0$ و $y = 0$ و $x = 0$ .
$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ .
منتصف $\overline{AB}$ متوسط إحداثيات الطرفين.
قاعدة اليد اليمنى تحدد اتجاه المحاور.

ملخص الدرس

نحدد النقطة في الفراغ بثلاثة إحداثيات على محاور متعامدة، وتقسم المستويات الإحداثية الفراغ. نقيس المسافة بين نقطتين بتعميم فيثاغورس، ونحسب منتصف القطعة بمتوسط الإحداثيات، ونستخدم ذلك في إثبات خواص الأشكال الفراغية البسيطة.

أسئلة للتدريب

عيّن النقطة $(-1, 3, -2)$ وأوجد بُعدها عن كل مستوى إحداثي وعن نقطة الأصل.
أثبت أن $A(1, 2, 3)$ و $B(2, 4, 5)$ و $C(4, 3, 3)$ رؤوس مثلث متساوي الساقين ثم أوجد محيطه.
أوجد منتصف القطعة الواصلة بين $(5, -2, 7)$ و $(-3, 4, 1)$ .
إذا كانت $C(2, 2, 6)$ منتصف $\overline{AB}$ حيث $A(1, 4, 0)$ فأوجد $B$ .
أوجد قيمة $k$ التي تجعل $A(1, 2, k)$ على بعد $3$ وحدات من نقطة الأصل.