أسئلة: المشتقات العليا للدالة

الإجابة الصحيحة: مشتقة المشتقة الأولى $f'(x)$

مشتقة الدالة $f$ تُسمّى المشتقة الأولى $f'(x)$، وباشتقاقها مرة أخرى نحصل على المشتقة الثانية $f''(x)$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{d^n y}{dx^n}$

من الرموز الشائعة للمشتقة من الرتبة $n$: $f^{(n)}(x)$، $y^{(n)}$، و$\frac{d^n y}{dx^n}$.

الإجابة الصحيحة: $36x^2-4$

$y'=12x^3-4x$ ثم $y''=36x^2-4$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{10}{(x+2)^3}$

$y'=\frac{5}{(x+2)^2}=5(x+2)^{-2}$ ثم $y''=-10(x+2)^{-3}=-\frac{10}{(x+2)^3}$.

الإجابة الصحيحة: $5x^4$

بالاشتقاق: $f'(x) = 5x^4$.

الإجابة الصحيحة: $20x^3$

$f'(x) = 5x^4$، وباشتقاقها مرة أخرى: $f''(x) = 20x^3$.

الإجابة الصحيحة: $60x^2$

$f''(x) = 20x^3$، وباشتقاقها: $f'''(x) = 60x^2$.

الإجابة الصحيحة: $120$

بمتابعة الاشتقاق: $f^{(4)}(x) = 120x$، ثم $f^{(5)}(x) = 120$.

الإجابة الصحيحة: $0$

كل مشتقة بعد الرتبة الخامسة للدالة $f(x)=x^5$ تساوي صفرًا؛ لأن كثيرة الحدود من الدرجة $5$ تنعدم مشتقاتها بعد هذه الرتبة.

الإجابة الصحيحة: $-\sin x$

$y' = \cos x$، وباشتقاقها: $y'' = -\sin x$.

الإجابة الصحيحة: $-\cos x$

$y'' = -\sin x$، وباشتقاقها: $y''' = -\cos x$.

الإجابة الصحيحة: $\sin x$

$y''' = -\cos x$، وباشتقاقها: $y^{(4)} = \sin x$؛ أي تعود الدالة إلى نفسها كل أربع مرات.

الإجابة الصحيحة: $4$

المشتقات: $\cos x, -\sin x, -\cos x, \sin x$ ثم تتكرّر، أي دور مقداره $4$.

الإجابة الصحيحة: $f^{(n)}(x) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$

هذه هي الصيغة العامة لمشتقة $\sin x$ من الرتبة $n$.

الإجابة الصحيحة: $-x^{-2}$

بكتابة $f(x) = x^{-1}$ واشتقاقها: $f'(x) = -x^{-2}$.

الإجابة الصحيحة: $2x^{-3}$

$f'(x) = -x^{-2}$، وباشتقاقها: $f''(x) = 2x^{-3}$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{6}{x^4}$

$f''(x) = 2x^{-3}$، وباشتقاقها: $f'''(x) = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}$.

الإجابة الصحيحة: $\cos x$

مشتقات $\sin x$ دورية بدور $4$ و$25=4\times6+1$ فالمشتقة كالأولى أي $\cos x$.

الإجابة الصحيحة: $2\tan x\,\sec^2x$

$y'=\sec^2x=1+y^2$ ومنه $y''=2y\,y'=2\tan x\sec^2x$.

الإجابة الصحيحة: $0$

باشتقاق $x+y\,y'=0$ مرة أخرى نجد $1+(y')^2+y\,y''=0$.

الإجابة الصحيحة: $-(2x+1)^{-3/2}$

$y'=(2x+1)^{-1/2}$ ثم $y''=-\frac{1}{2}(2x+1)^{-3/2}\times2=-(2x+1)^{-3/2}$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{2}{9}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3t}$ ثم $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-2/(3t^2)}{3t^2}=-\frac{2}{9t^4}$ وعند $t=1$ تساوي $-\frac{2}{9}$.

الإجابة الصحيحة: $60x^2-18$

$y'=5x^4-9x^2+2$ و$y''=20x^3-18x$ و$y'''=60x^2-18$.

مشتقة الدالة $f$ تُسمّى المشتقة الأولى $f'(x)$. وباشتقاق $f'(x)$ نحصل على المشتقة الثانية $f''(x)$، وباشتقاق $f''(x)$ نحصل على المشتقة الثالثة $f'''(x)$، وهكذا نستمرّ في الاشتقاق المتكرّر للحصول على مشتقات من رتب أعلى. الرموز الشائعة للتعبير عن المشتقة من الرتبة $n$ للدالة هي: $f^{(n)}(x)$، أو $y^{(n)}$، أو $\frac{d^n y}{dx^n}$.

$y'=\sec^2x=1+\tan^2x=1+y^2$. نشتق مرة أخرى بالنسبة إلى $x$: $y''=2y\,y'$ ثم نعوّض $y'=1+y^2$ فنحصل على $y''=2y\,(1+y^2)$.

بالاشتقاق المتكرّر: $f'(x) = 5x^4$، ثم $f''(x) = 20x^3$، ثم $f'''(x) = 60x^2$، ثم $f^{(4)}(x) = 120x$، ثم $f^{(5)}(x) = 120$. وكل مشتقة بعد الرتبة الخامسة تساوي صفرًا، أي $f^{(6)}(x) = f^{(7)}(x) = \cdots = 0$؛ لأن $f(x)=x^5$ كثيرة حدود من الدرجة الخامسة، وكثيرة الحدود من الدرجة $m$ تنعدم مشتقتها من الرتبة $m+1$ وما بعدها.

بالاشتقاق المتتالي: $y' = \cos x$، ثم $y'' = -\sin x$، ثم $y''' = -\cos x$، ثم $y^{(4)} = \sin x$. إذن $\frac{d^4y}{dx^4} = \sin x$. تعود الدالة إلى نفسها كل أربع مرّات لأن مشتقات $\sin x$ دورية بدور مقداره $4$، وهو ما تعبّر عنه الصيغة العامة $f^{(n)}(x) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$.

نشتق الطرفين بالنسبة إلى $x$: $2x+2y\,y'=0$ أي $x+y\,y'=0$. نشتق مرة أخرى (مع قاعدة الضرب في الحد الثاني): $1+y'\,y'+y\,y''=0$ أي $1+(y')^2+y\,y''=0$ وهو المطلوب.

نكتب $f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$. بالاشتقاق: $f'(x) = -x^{-2}$. باشتقاق $f'(x)$: $f''(x) = 2x^{-3}$. باشتقاق $f''(x)$: $f'''(x) = -6x^{-4}$، وهو ما يمكن كتابته $f'''(x) = -\frac{6}{x^4}$.

$y'=2\cos2x$ ثم $y''=-4\sin2x$. إذن $y''+4y=-4\sin2x+4\sin2x=0$.

$\frac{dx}{dt}=3t^2$ و$\frac{dy}{dt}=2t$ فـ $\frac{dy}{dx}=\frac{2}{3t}$. نشتق بالنسبة إلى $t$: $-\frac{2}{3t^2}$ ثم نقسم على $\frac{dx}{dt}=3t^2$: $\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{2}{9t^4}$. وعند $t=1$ تساوي $-\frac{2}{9}$.

لاستنتاج صيغة عامة للمشتقة النونية $f^{(n)}(x)$، نحسب أول ثلاث أو أربع مشتقات للدالة ونرصد النمط الظاهر فيها، مثل الإشارة المتغيّرة، أو ظهور المضروب $n!$، أو تغيّر الأُس. بعد تخمين الصيغة العامة، يمكن التحقّق من صحّتها بالتعويض بقيم $n = 1, 2, 3$ ومطابقة الناتج مع المشتقات المحسوبة فعليًّا.

الأول هو المشتقة الثانية أي مشتقة $\frac{dy}{dx}$ بالنسبة إلى $x$، والثاني هو مربع المشتقة الأولى. للدالة $y=x^3$: $\frac{dy}{dx}=3x^2$ فـ $\frac{d^2y}{dx^2}=6x$ بينما $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=9x^4$، وهما مختلفان.

$y'=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}=-2(x-1)^{-2}$ ثم $y''=4(x-1)^{-3}=\frac{4}{(x-1)^3}$ حيث $x\neq1$.

نشتق الطرفين: $y+x\frac{dy}{dx}=0$ فـ $\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}$. نشتق مرة أخرى: $\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{x\frac{dy}{dx}-y}{x^2}=-\frac{-y-y}{x^2}=\frac{2y}{x^2}$. وللتحقق: $y=\frac{4}{x}$ فـ $y''=\frac{8}{x^3}=\frac{2y}{x^2}$.