أسئلة: مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية

الإجابة الصحيحة: $e^{x}$

الدالة الأسية $e^{x}$ مميّزة لأنها تساوي مشتقتها.

الإجابة الصحيحة: $a^{x}\ln a$

القاعدة الأساسية: $\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{x}$

القاعدة الأساسية: $\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$ لكل $x>0$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{x\ln a}$

القاعدة الأساسية: $\frac{d}{dx}\log_{a}x=\frac{1}{x\ln a}$.

الإجابة الصحيحة: $2.718$

ثابت $e$ هو الأساس الطبيعي، وقيمته التقريبية $2.718$.

الإجابة الصحيحة: $3e^{3x}$

بوضع $u=3x$ فإن $u'=3$، ومن قاعدة السلسلة $y'=e^{u}u'=3e^{3x}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2x}{x^{2}+1}$

بوضع $u=x^{2}+1$ فإن $u'=2x$، ومن قاعدة $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$ نحصل على $y'=\frac{2x}{x^{2}+1}$.

الإجابة الصحيحة: $e^{x}(x^{2}+2x)$

بقاعدة الضرب: $y'=2xe^{x}+x^{2}e^{x}=e^{x}(x^{2}+2x)$.

الإجابة الصحيحة: $\cot x$

بوضع $u=\sin x$ فإن $u'=\cos x$، فيكون $y'=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$.

الإجابة الصحيحة: $x^{x}(\ln x+1)$

بأخذ $\ln$ للطرفين: $\ln y=x\ln x$، وبالاشتقاق الضمني $\frac{y'}{y}=\ln x+1$، ومن ثم $y'=x^{x}(\ln x+1)$.

الإجابة الصحيحة: $e^{u}u'$

مع قاعدة السلسلة: $\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}u'$.

الإجابة الصحيحة: $a^{u}\ln a\cdot u'$

مع قاعدة السلسلة: $\frac{d}{dx}a^{u}=a^{u}\ln a\cdot u'$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{u'}{u}$

مع قاعدة السلسلة: $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{u'}{u\ln a}$

مع قاعدة السلسلة: $\frac{d}{dx}\log_{a}u=\frac{u'}{u\ln a}$.

الإجابة الصحيحة: لأن الأساس والأُس كلاهما متغيّر في آنٍ واحد

الأساس $f(x)$ والأُس $g(x)$ كلاهما دالة في $x$، فلا تنطبق قاعدة القوة (أساس متغير، أُس ثابت) ولا قاعدة الأُس (أساس ثابت، أُس متغير) بمفردها.

الإجابة الصحيحة: أخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفي المعادلة

نأخذ $\ln$ للطرفين فنحصل على $\ln y=g(x)\ln f(x)$، ثم نشتقّ ضمنيًّا.

الإجابة الصحيحة: $g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}$

باشتقاق $\ln y=g(x)\ln f(x)$ ضمنيًّا (بقاعدة الضرب) نحصل على $\frac{y'}{y}=g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}$.

الإجابة الصحيحة: $e^{x}$

بالتعويض $a=e$ فإن $\ln e=1$، فتصبح $a^{x}\ln a=e^{x}\cdot1=e^{x}$، وهذا يتفق مع أن $e^{x}$ تساوي مشتقتها.

الإجابة الصحيحة: $ax^{a-1}$

هنا الأساس $x$ متغيّر والأُس $a$ ثابت، فتُستخدم قاعدة القوة $ax^{a-1}$، بخلاف $a^{x}$ (أساس ثابت وأُس متغيّر) التي مشتقتها $a^{x}\ln a$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{x}$

رغم أن $\ln x$ معرّفة فقط عند $x>0$، فإن مشتقة $\ln|x|$ تساوي $\frac{1}{x}$ لكل $x\neq0$.

الإجابة الصحيحة: $\cos x\,e^{\sin x}$

نطبق قاعدة السلسلة: $\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}u'$ مع $u=\sin x$ و$u'=\cos x$.

الإجابة الصحيحة: $y=2x+1$

النقطة $(0,1)$ ومشتقة الدالة $2e^{2x}$ فالميل عند $0$ يساوي $2$ والمعادلة $y-1=2(x-0)$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2}{2x-5}$

$\frac{d}{dx}\ln|u|=\frac{u'}{u}$ مع $u=2x-5$ و$u'=2$.

الإجابة الصحيحة: $(1,0)$ و$(e,1)$

$\ln1=0$ و$\ln e=1$، فالمنحنى يمر بالنقطتين $(1,0)$ و$(e,1)$ وهو منحنى الدالة العكسية للدالة $e^{x}$.

نضع $u=5x$ فتكون $u'=5$. باستخدام قاعدة السلسلة $\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}u'$ نحصل على: $y'=e^{5x}\cdot5=5e^{5x}$.

نضع $u=3x^{2}-1$ فتكون $u'=6x$. باستخدام قاعدة $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$ نحصل على: $y'=\frac{6x}{3x^{2}-1}$.

باستخدام قاعدة الضرب على $u=x^{3}$ و$v=e^{x}$، حيث $u'=3x^{2}$ و$v'=e^{x}$: $y'=u'v+uv'=3x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}$. وبإخراج العامل المشترك $x^{2}e^{x}$: $y'=x^{2}e^{x}(3+x)$.

نضع $u=\cos x$ فتكون $u'=-\sin x$. باستخدام قاعدة $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u}$ نحصل على: $y'=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$.

نأخذ $\ln$ للطرفين: $\ln y=2x\ln x$. بالاشتقاق الضمني (بقاعدة الضرب على الطرف الأيمن): $\frac{y'}{y}=2\ln x+2x\cdot\frac{1}{x}=2\ln x+2$. وبضرب الطرفين في $y=x^{2x}$: $y'=x^{2x}(2\ln x+2)=2x^{2x}(\ln x+1)$.

نأخذ $\ln$ لطرفي المعادلة $y=x^{x}$ فنحصل على $\ln y=x\ln x$. نشتقّ الطرفين ضمنيًّا بالنسبة لـ $x$؛ الطرف الأيسر يعطي $\frac{y'}{y}$، والطرف الأيمن بقاعدة الضرب (على $x$ و$\ln x$) يعطي $1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1$. إذن $\frac{y'}{y}=\ln x+1$. وبضرب الطرفين في $y=x^{x}$ نحصل على $y'=x^{x}(\ln x+1)$.

في $a^{x}$ يكون الأساس $a$ ثابتًا والأُس $x$ متغيّرًا، فتُستخدم قاعدة الدالة الأسية ومشتقتها $a^{x}\ln a$. أما في $x^{a}$ فيكون الأساس $x$ متغيّرًا والأُس $a$ ثابتًا، فتُستخدم قاعدة القوة ومشتقتها $ax^{a-1}$. الخلط بين الحالتين خطأ شائع لأن القاعدتين مختلفتان تمامًا.

نضع $u=x^{2}+3$ فتكون $u'=2x$. باستخدام قاعدة $\frac{d}{dx}\log_{a}u=\frac{u'}{u\ln a}$ مع $a=2$ نحصل على: $y'=\frac{2x}{(x^{2}+3)\ln2}$.

نضع $u=x^{2}$ فتكون $u'=2x$. باستخدام قاعدة السلسلة $\frac{d}{dx}e^{u}=e^{u}u'$ نحصل على: $y'=2xe^{x^{2}}$.

باستخدام قاعدة الضرب على $u=\ln x$ و$v=e^{x}$، حيث $u'=\frac{1}{x}$ و$v'=e^{x}$: $y'=u'v+uv'=\frac{1}{x}e^{x}+\ln x\cdot e^{x}$. وبإخراج العامل المشترك $e^{x}$: $y'=e^{x}\left(\frac{1}{x}+\ln x\right)$.

نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين: $\ln y=x\ln(x+2)$. نشتق ضمنيًّا بقاعدة الضرب: $\frac{y'}{y}=\ln(x+2)+\frac{x}{x+2}$. نضرب في $y$: $y'=(x+2)^{x}\left[\ln(x+2)+\frac{x}{x+2}\right]$.

$y'=e^{-x}-x\,e^{-x}=(1-x)e^{-x}$ بقاعدة الضرب. إذن $x\,y'=(1-x)\,x\,e^{-x}=(1-x)\,y$ وهو المطلوب.

$y'=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{\frac{\sqrt{x^{2}+1}+x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x+\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}$.