أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حدد فترات تزايد وتناقص $f(x) = x^3 - 3x$.

الحل: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ والنقطتان الحرجتان $x = \pm 1$.

فالدالة متزايدة على $]-\infty, -1[$ وعلى $]1, \infty[$ ومتناقصة على $]-1, 1[$.

مثال 2: حدد فترات تزايد وتناقص $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

الحل: $f'(x) = 2(x-2)$ والنقطة الحرجة $x = 2$. متناقصة عندما $x < 2$ ومتزايدة عندما $x > 2$.

مثال 3: حدد فترات تزايد وتناقص $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$.

الحل: $f'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$. المقام موجب دائمًا فإشارة $f'$ هي إشارة $(1-x)(1+x)$. متزايدة على $]-1, 1[$ ومتناقصة على $]-\infty, -1[$ وعلى $]1, \infty[$.

مثال 4: حدد فترات تزايد وتناقص $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$.

الحل: $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$. عند $x = 0$ تكون $f' = 9 > 0$، وعند $x = 2$ تكون $f' = -3 < 0$، وعند $x = 4$ تكون $f' = 9 > 0$. فهي متزايدة على $]-\infty, 1[$ وعلى $]3, \infty[$ ومتناقصة على $]1, 3[$.

مثال 5: أثبت أن $f(x) = x^3 + x$ متزايدة على $\mathbb{R}$.

الحل: $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ لكل $x$ فالدالة متزايدة على $\mathbb{R}$ ولا نقاط حرجة لها.

مثال 6 (دالة مثلثية): حدد فترات تزايد وتناقص $f(x) = 2x + 4\cos x$ حيث $0 < x < 2\pi$.

الحل: $f'(x) = 2 - 4\sin x = 0$ عندما $\sin x = \dfrac{1}{2}$ أي $x = \dfrac{\pi}{6}$ أو $x = \dfrac{5\pi}{6}$. عند $x = 0.1$ تكون $f' > 0$، وعند $x = \dfrac{\pi}{2}$ تكون $f' = -2 < 0$، وعند $x = \pi$ تكون $f' = 2 > 0$. متزايدة على $\left]0, \dfrac{\pi}{6}\right[$ وعلى $\left]\dfrac{5\pi}{6}, 2\pi\right[$ ومتناقصة على $\left]\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right[$.

مثال 7 (لوغاريتمية): حدد فترات تزايد وتناقص $f(x) = x^2 - 8\ln x$.

الحل: المجال $x > 0$ و$f'(x) = 2x - \dfrac{8}{x} = \dfrac{2(x^2-4)}{x}$ وتنعدم عند $x = 2$ (فقط في المجال). متناقصة على $]0, 2[$ ومتزايدة على $]2, \infty[$.

مثال 8 (أسية): حدد فترات تزايد وتناقص $f(x) = x\,e^{-x}$.

الحل: $f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$ و$e^{-x} > 0$. فـ $f' > 0$ عندما $x < 1$ (متزايدة) و$f' < 0$ عندما $x > 1$ (متناقصة).

مثال 9 (مشتقة غير موجودة): حدد فترات تزايد وتناقص $f(x) = (x-1)^{2/3}$.

الحل: $f'(x) = \dfrac{2}{3}(x-1)^{-1/3}$ غير موجودة عند $x = 1$ وهي نقطة حرجة (تنتمي إلى المجال). عندما $x < 1$ تكون $f' < 0$ وعندما $x > 1$ تكون $f' > 0$. فهي متناقصة على $]-\infty, 1[$ ومتزايدة على $]1, \infty[$.

مثال 10 (إثبات): أثبت أن $f(x) = \tan x - x$ متزايدة على $\left]0, \dfrac{\pi}{4}\right[$.

الحل: $f'(x) = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x > 0$ لكل $x$ في الفترة (لأن $\tan x \neq 0$ عندما $0 < x < \dfrac{\pi}{4}$) فالدالة متزايدة.