أسئلة: تزايد وتناقص الدوال

الإجابة الصحيحة: متزايدة

نص الدرس: إذا كان $f'(x) > 0$ لكل $x$ في الفترة، فإن $f$ متزايدة على تلك الفترة.

الإجابة الصحيحة: متناقصة

نص الدرس: إذا كان $f'(x) < 0$ لكل $x$ في الفترة، فإن $f$ متناقصة على تلك الفترة.

الإجابة الصحيحة: ثابتة

نص الدرس: إذا كان $f'(x) = 0$ على فترة كاملة، فإن $f$ ثابتة على تلك الفترة.

الإجابة الصحيحة: ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة

نص الدرس: السبب الهندسيّ هو أن $f'(x)$ ميل المماس؛ فالميل الموجب يعني منحنى صاعدًا، والميل السالب يعني منحنى هابطًا.

الإجابة الصحيحة: $f'(c) = 0$ أو $f'(c)$ غير موجودة

نص الدرس: $x = c$ تُسمّى نقطة حرجة إذا كان $f'(c) = 0$ أو $f'(c)$ غير موجودة.

الإجابة الصحيحة: عند نقطة حرجة أو عند قيمة لا تنتمي إلى مجال الدالة فقط

المشتقة دالة متصلة بين النقاط الحرجة وأصفار المقام، فلا تغير إشارتها إلا عند قيمة تنعدم عندها أو تكون غير موجودة أو لا تنتمي إلى المجال.

الإجابة الصحيحة: إيجاد $f'(x)$ وتبسيطها (وتحليلها إن أمكن)

نص الدرس: أول خطوات بناء جدول إشارة المشتقة هي إيجاد $f'(x)$ وتبسيطها (وتحليلها إن أمكن).

الإجابة الصحيحة: $3x^2 - 3$

بالاشتقاق: $f'(x) = 3x^2 - 3$ كما ورد في المثال الأول بالدرس.

الإجابة الصحيحة: $3(x - 1)(x + 1)$

نص الدرس: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$.

الإجابة الصحيحة: $x = -1$ و $x = 1$

من $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1) = 0$ نحصل على النقطتين الحرجتين $x = -1$ و $x = 1$.

الإجابة الصحيحة: $\left]-1, 1\right[$

من جدول الإشارة: $f'(x) < 0$ على $\left]-1, 1\right[$، فتكون $f$ متناقصة عليها.

الإجابة الصحيحة: $\left]-\infty, -1\right[$ وعلى $\left]1, \infty\right[$

من جدول الإشارة: $f'(x) > 0$ على $\left]-\infty, -1\right[$ وعلى $\left]1, \infty\right[$، فتكون $f$ متزايدة عليهما.

الإجابة الصحيحة: $2x - 4$

نص الدرس: $f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2)$.

الإجابة الصحيحة: $x = 2$

من $f'(x) = 2(x - 2) = 0$ نحصل على النقطة الحرجة $x = 2$.

الإجابة الصحيحة: $x < 2$

نص الدرس: عند $x < 2$ تكون $f' < 0$ (متناقصة).

الإجابة الصحيحة: $x > 2$

نص الدرس: عند $x > 2$ تكون $f' > 0$ (متزايدة).

الإجابة الصحيحة: $\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$

نص الدرس: $f'(x) = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$.

الإجابة الصحيحة: $\left]-1, 1\right[$

نص الدرس: $f' > 0$ عندما $-1 < x < 1$ (متزايدة)، لأن المقام موجب دائمًا وإشارة $f'$ هي إشارة $1 - x^2$.

الإجابة الصحيحة: $\left]-\infty, -1\right[$ وعلى $\left]1, \infty\right[$

نص الدرس: $f' < 0$ عندما $x < -1$ أو $x > 1$ (متناقصة).

الإجابة الصحيحة: كلما زاد $x$ زادت $f(x)$

نص الدرس: «متزايدة على الفترة» تعني: كلّما زاد $x$ زادت $f(x)$، ولا يلزم أن يكون المنحنى مستقيمًا.

الإجابة الصحيحة: $\left]\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right[$

$f'(x)=2-4\sin x$ وتنعدم عند $\sin x=\frac{1}{2}$ أي $x=\frac{\pi}{6}$ و$x=\frac{5\pi}{6}$. وتكون $f'<0$ حين $\sin x>\frac{1}{2}$ أي بين هاتين القيمتين.

الإجابة الصحيحة: $]0,2[$

المجال $x>0$ و$f'(x)=2x-\frac{8}{x}=\frac{2(x^2-4)}{x}$ فتنعدم عند $x=2$ وتكون سالبة على $]0,2[$.

الإجابة الصحيحة: $]-\infty,1[$

$f'(x)=e^{-x}(1-x)$ و$e^{-x}>0$ دائمًا، فإشارة $f'$ هي إشارة $1-x$ وتكون موجبة عندما $x<1$.

الإجابة الصحيحة: نقطة حرجة لأن $f'(1)$ غير موجودة

$f'(x)=\frac{2}{3}(x-1)^{-1/3}$ غير معرّفة عند $x=1$ بينما $1$ تنتمي إلى مجال $f$، فهي نقطة حرجة. وتتغير إشارة $f'$ عندها من سالبة إلى موجبة.

إذا كان $f'(x) > 0$ لكل $x$ في فترة مفتوحة، فإن $f$ متزايدة على تلك الفترة. وإذا كان $f'(x) < 0$ لكل $x$ في الفترة، فإن $f$ متناقصة على تلك الفترة. وإذا كان $f'(x) = 0$ على فترة كاملة، فإن $f$ ثابتة على تلك الفترة. والسبب الهندسيّ لذلك أن $f'(x)$ تمثّل ميل المماس للمنحنى عند $x$؛ فالميل الموجب يعني أن المنحنى صاعد كلّما تحرّكنا يمينًا (تزايد)، والميل السالب يعني أن المنحنى هابط كلّما تحرّكنا يمينًا (تناقص).

النقطة الحرجة هي $x = c$ (من مجال $f$) التي يكون عندها $f'(c) = 0$ أو $f'(c)$ غير موجودة. وتكمن أهميتها في أنه عند هذه النقاط فقط (أو عند نقاط الانقطاع في المجال) يمكن أن تتغيّر إشارة $f'$، ومن ثمّ يتغيّر سلوك الدالة بين التزايد والتناقص؛ فهي بمثابة الحدود التي تُقسَّم عندها فترات دراسة إشارة المشتقة.

الخطوات هي: (1) إيجاد $f'(x)$ وتبسيطها (وتحليلها إلى عوامل إن أمكن). (2) إيجاد النقاط الحرجة (أصفار البسط، وأصفار المقام حيث تنعدم $f'$ أو تنعدم $f$). (3) ترتيب هذه القيم على خطّ الأعداد، فيقسمها إلى فترات. (4) اختبار إشارة $f'$ في كل فترة بقيمة اختبار واحدة. (5) الاستنتاج: $f'$ موجبة تعني تزايد الدالة، و$f'$ سالبة تعني تناقصها.

بالاشتقاق: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$. بوضع $f'(x) = 0$ نحصل على النقطتين الحرجتين $x = -1$ و $x = 1$. نرتّب هاتين القيمتين على خطّ الأعداد فتنتج ثلاث فترات: $x < -1$، و $-1 < x < 1$، و $x > 1$. باختبار إشارة $f'$: عند $x = -2$ (في الفترة الأولى): $f'(-2) = 3(4) - 3 = 9 > 0$، فالإشارة موجبة. عند $x = 0$ (في الفترة الثانية): $f'(0) = -3 < 0$، فالإشارة سالبة. عند $x = 2$ (في الفترة الثالثة): $f'(2) = 3(4) - 3 = 9 > 0$، فالإشارة موجبة. إذن $f$ متزايدة على $\left]-\infty, -1\right[$ وعلى $\left]1, \infty\right[$، ومتناقصة على $\left]-1, 1\right[$.

بالاشتقاق: $f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2)$. بوضع $f'(x) = 0$ نحصل على النقطة الحرجة الوحيدة $x = 2$. باختبار إشارة $f'$: عند $x < 2$، مثلًا $x = 0$: $f'(0) = -4 < 0$، فتكون $f$ متناقصة على الفترة $x < 2$. وعند $x > 2$، مثلًا $x = 3$: $f'(3) = 2 > 0$، فتكون $f$ متزايدة على الفترة $x > 2$.

بقاعدة القسمة: $f'(x) = \frac{(x^2+1)(1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$. بما أن المقام $(x^2+1)^2$ موجب دائمًا لكل $x$ حقيقي، فإن إشارة $f'(x)$ تتحدّد بإشارة البسط $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$. النقطتان الحرجتان هما $x = -1$ و $x = 1$. عند $-1 < x < 1$، مثلًا $x = 0$: $1 - x^2 = 1 > 0$، فتكون $f$ متزايدة على $\left]-1, 1\right[$. عند $x < -1$ أو $x > 1$، مثلًا $x = 2$: $1 - x^2 = -3 < 0$، فتكون $f$ متناقصة على $\left]-\infty, -1\right[$ وعلى $\left]1, \infty\right[$.

لأن $x^2 \geq 0$ لكل $x$ حقيقي، فإن $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ دائمًا، أي أن هذا المقدار موجب مهما كانت قيمة $x$ ولا يمكن أن يساوي صفرًا أو يكون سالبًا. ولأن مقام $f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$ هو مربّع لهذا المقدار الموجب، فهو موجب دائمًا أيضًا. لذلك فإن إشارة $f'(x)$ بالكامل تتحدّد فقط بإشارة البسط $1 - x^2$، فاستُغني عن اختبار إشارة المقام، واقتصر التحليل على دراسة إشارة $(1 - x)(1 + x)$.

$f'(x)$ تمثّل ميل خطّ المماس لمنحنى الدالة عند النقطة $x$. فإذا كان هذا الميل موجبًا، فإن المماس (وبالتالي المنحنى بالقرب من تلك النقطة) يتّجه صاعدًا كلّما تحرّكنا يمينًا على محور $x$، أي أن قيم $f$ تزداد، وهذا هو معنى التزايد. أمّا إذا كان الميل سالبًا، فإن المماس يتّجه هابطًا كلّما تحرّكنا يمينًا، أي أن قيم $f$ تتناقص، وهذا هو معنى التناقص.

للدالة $f(x) = x^3 - 3x$: نقطتان حرجتان ($x = -1$، $x = 1$)، وينتج عنهما ثلاث فترات: متزايدة على $\left]-\infty, -1\right[$، متناقصة على $\left]-1, 1\right[$، متزايدة على $\left]1, \infty\right[$. للدالة $f(x) = x^2 - 4x + 3$: نقطة حرجة واحدة ($x = 2$)، وينتج عنها فترتان فقط: متناقصة عند $x < 2$، ومتزايدة عند $x > 2$. للدالة $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$: نقطتان حرجتان ($x = -1$، $x = 1$) رغم أن المشتقة معرّفة في كل مكان (المقام لا ينعدم أبدًا)، وينتج عنهما ثلاث فترات: متناقصة على $\left]-\infty, -1\right[$، متزايدة على $\left]-1, 1\right[$، متناقصة على $\left]1, \infty\right[$. ويُلاحَظ أن سلوك هذه الدالة الأخيرة عكس سلوك $x^3 - 3x$ تمامًا رغم تطابق نقطتيهما الحرجتين.

النقطة الحرجة هي نقطة داخل مجال الدالة يكون عندها $f'(c) = 0$ أو $f'(c)$ غير موجودة، رغم أن $f(c)$ نفسها معرّفة. أمّا نقطة الانقطاع فهي نقطة لا تنتمي إلى مجال الدالة أصلًا (كأصفار المقام في دالة كسرية)، أي أن $f$ غير معرّفة عندها من الأساس. ويجب فصل الفترات عند نقاط الانقطاع لأن الدالة غير موجودة هناك، فلا يصحّ وصل الاستنتاج بين الفترتين الواقعتين على جانبيها حتى لو تصادف أن إشارة $f'$ متماثلة عليهما؛ فكل فترة تُدرَس وتُوصَف بشكل منفصل.

$f'(x)=3x^2-18x+15=3(x-1)(x-5)$ والنقطتان الحرجتان $x=1$ و$x=5$. عند $x=0$ تكون $f'=15>0$ وعند $x=2$ تكون $f'=-9<0$ وعند $x=6$ تكون $f'=33>0$. فالدالة متزايدة على $]-\infty,1[$ وعلى $]5,\infty[$ ومتناقصة على $]1,5[$.

مجال الدالة $x>0$ و$f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$ والمقام موجب. فإذا كان $0<x<1$ كان البسط سالبًا فـ $f'<0$ والدالة متناقصة، وإذا كان $x>1$ كان البسط موجبًا فـ $f'>0$ والدالة متزايدة.

$h'(x)=f'(x)-g'(x)>0$ لكل $x$ حقيقي. وبما أن المشتقة الأولى للدالة $h$ موجبة على $\mathbb{R}$ فإن $h$ متزايدة على $\mathbb{R}$.

$f'(x)=\sec^2x-1=\tan^2x$. في الفترة $\left]0,\frac{\pi}{4}\right[$ يكون $\tan x>0$ فـ $\tan^2x>0$ أي $f'(x)>0$ لكل $x$ في الفترة، إذن $f$ متزايدة عليها.