أسئلة: القيم العظمى والصغرى (القيم القصوى)

الإجابة الصحيحة: إذا كانت $f(c) \ge f(x)$ لكل $x$ في جوار $c$

هذا هو تعريف القيمة العظمى المحلية المعتمد: $f(c) \ge f(x)$ لكل $x$ في جوار $c$.

الإجابة الصحيحة: $f(c) \le f(x)$ لكل $x$ في جوار $c$

هذا هو تعريف القيمة الصغرى المحلية المعتمد.

الإجابة الصحيحة: النقاط الحرجة فقط

القاعدة: تقع القيم القصوى المحلية عند النقاط الحرجة فقط.

الإجابة الصحيحة: قيمة عظمى محلية

حسب اختبار المشتقة الأولى: تغيّر إشارة $f'$ من $+$ إلى $-$ يدل على قيمة عظمى محلية.

الإجابة الصحيحة: قيمة صغرى محلية

تغيّر إشارة $f'$ من $-$ إلى $+$ يدل على قيمة صغرى محلية.

الإجابة الصحيحة: ليست قيمة قصوى

إذا لم تتغيّر الإشارة فليست قيمة قصوى (قد تكون نقطة انقلاب).

الإجابة الصحيحة: $6$ عند $x=1$

$f'(x)=3(x-1)(x-3)$ وتتغير إشارتها من $+$ إلى $-$ عند $x=1$ فعندها قيمة عظمى محلية $f(1)=1-6+9+2=6$.

الإجابة الصحيحة: $2$ عند $x=3$

تتغير إشارة $f'$ من $-$ إلى $+$ عند $x=3$ فعندها قيمة صغرى محلية $f(3)=27-54+27+2=2$.

الإجابة الصحيحة: نقطة حرجة وليست قيمة قصوى

$f'(x)=\frac{4}{3}x^{-2/3}(x+1)$ غير موجودة عند $0$ وهي في المجال فهي نقطة حرجة، لكن إشارة $f'$ موجبة على جانبيها فلا تتغير، فليست قيمة عظمى أو صغرى.

الإجابة الصحيحة: نقطة حرجة داخل الفترة أو عند أحد طرفيها

قيم $f$ القصوى المطلقة على فترة مغلقة تقع عند نقطة حرجة داخلية أو عند أحد الطرفين.

الإجابة الصحيحة: $x = \pm 1$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$.

الإجابة الصحيحة: $2$ عند $x = -1$

تتغير إشارة $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ من $+$ إلى $-$ عند $x=-1$ فتكون قيمة عظمى محلية، ومقدارها $f(-1) = -1 + 3 = 2$.

الإجابة الصحيحة: $-2$ عند $x = 1$

تتغير إشارة $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ من $-$ إلى $+$ عند $x=1$ فتكون قيمة صغرى محلية، ومقدارها $f(1) = 1 - 3 = -2$.

الإجابة الصحيحة: $x = 2$

$f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$.

الإجابة الصحيحة: $3$ عند $x = 0$

$f(0)=3$، $f(2)=-1$، $f(3)=0$، فأكبر قيمة هي $3$ عند $x=0$.

الإجابة الصحيحة: $-1$ عند $x = 2$

$f(0)=3$، $f(2)=-1$، $f(3)=0$، فأصغر قيمة هي $-1$ عند $x=2$.

الإجابة الصحيحة: $x = 0, \pm 1$

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 1$.

الإجابة الصحيحة: $0$ عند $x = 0$

تتغير إشارة $f'(x)=4x(x-1)(x+1)$ من $+$ إلى $-$ عند $x=0$ فتكون قيمة عظمى محلية، $f(0) = 0$.

الإجابة الصحيحة: $x = 2$

$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ (لأن $x > 0$).

الإجابة الصحيحة: $4$

تتغير إشارة $f'(x)=1-\frac{4}{x^2}$ من $-$ إلى $+$ عند $x=2$ فهي قيمة صغرى محلية، $f(2) = 2 + 2 = 4$.

الإجابة الصحيحة: $6$ عند $x=3$

$f'(x)=\frac{x^2-9}{x^2}$ وتتغير إشارتها من $-$ إلى $+$ عند $x=3$ فعندها قيمة صغرى محلية $f(3)=3+3=6$. أما عند $x=-3$ فقيمة عظمى محلية $-6$.

الإجابة الصحيحة: $12$

$f'(x)=6(x-2)(x+1)$ والنقطتان الحرجتان $-1$ و$2$ داخل الفترة. $f(-2)=1$ و$f(-1)=12$ و$f(2)=-15$ و$f(3)=-4$ فأكبرها $12$.

الإجابة الصحيحة: $-15$

من قيم الدالة عند الطرفين وعند النقطتين الحرجتين: $1$ و$12$ و$-15$ و$-4$، وأصغرها $-15$ عند $x=2$.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{2}$

$f'(x)=\cos x-\sin x=0$ عند $x=\frac{\pi}{4}$. $f(0)=1$ و$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}$ و$f(\pi)=-1$ فالعظمى المطلقة $\sqrt{2}$.

$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ والنقطتان الحرجتان $x=1$ و$x=3$. إشارة $f'$: موجبة على $]-\infty,1[$ وسالبة على $]1,3[$ وموجبة على $]3,\infty[$. فعند $x=1$ تتغير الإشارة من $+$ إلى $-$ فتوجد قيمة عظمى محلية $f(1)=6$، وعند $x=3$ تتغير من $-$ إلى $+$ فتوجد قيمة صغرى محلية $f(3)=2$.

بما أن $f$ متصلة على $[0,3]$ فإن قيمها القصوى المطلقة تقع عند نقطة حرجة داخلية أو عند أحد الطرفين. أولًا نوجد النقاط الحرجة: $f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$، وهي تقع داخل $]0, 3[$. ثانيًا نحسب قيمة $f$ عند النقطة الحرجة وعند الطرفين: $f(0) = 3$، $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$، $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$. بمقارنة القيم الثلاث: $3, -1, 0$، فإن القيمة العظمى المطلقة هي $3$ عند $x = 0$، والقيمة الصغرى المطلقة هي $-1$ عند $x = 2$.

$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$ والنقاط الحرجة $x=0,\pm1$. إشارة $f'$: سالبة على $]-\infty,-1[$ وموجبة على $]-1,0[$ وسالبة على $]0,1[$ وموجبة على $]1,\infty[$. فعند $x=\pm1$ قيمة صغرى محلية $f(\pm1)=-1$، وعند $x=0$ قيمة عظمى محلية $f(0)=0$.

$f'(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}$ وتنعدم عند $x=2$ (نرفض $x=-2$ لأن $x>0$). عندما $0<x<2$ تكون $f'<0$ وعندما $x>2$ تكون $f'>0$، أي تتغير الإشارة من $-$ إلى $+$ فعند $x=2$ قيمة صغرى محلية $f(2)=2+2=4$.

النقاط الحرجة كما سبق: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$. ندرس إشارة $f'$ على الفترات الثلاث: للفترة $x < -1$ (مثلًا $x=-2$): $f'(-2) = 3(-3)(-1) = 9 > 0$. للفترة $-1 < x < 1$ (مثلًا $x=0$): $f'(0) = 3(-1)(1) = -3 < 0$. للفترة $x > 1$ (مثلًا $x=2$): $f'(2) = 3(1)(3) = 9 > 0$. عند $x = -1$: تغيّرت الإشارة من $+$ إلى $-$، إذن قيمة عظمى محلية. عند $x = 1$: تغيّرت الإشارة من $-$ إلى $+$، إذن قيمة صغرى محلية. وهذه النتيجة مطابقة تمامًا لما نتج من اختبار المشتقة الثانية.

القيمة القصوى المحلية تُقارن فيها $f(c)$ بقيم $f$ في جوار (منطقة قريبة من الطرفين) حول $c$ فقط، بينما القيمة القصوى المطلقة هي أكبر أو أصغر قيمة تأخذها الدالة على كامل مجالها المدروس. في مثال $f(x) = x^2 - 4x + 3$ على $[0, 3]$، وجدنا أن $f(0) = 3$ هي أكبر قيمة بين $f(0)=3$، $f(2)=-1$، $f(3)=0$، فهي قيمة عظمى مطلقة. لكنها ليست قيمة عظمى محلية لأن $x=0$ نقطة طرفية (ليس لها جوار كامل من الجهتين داخل الفترة)، والقيم القصوى المحلية تقع عند النقاط الحرجة فقط، و$x=0$ ليست نقطة حرجة (فالنقطة الحرجة الوحيدة هي $x=2$). إذن قيمة عظمى مطلقة عند طرف الفترة لا تُعد بالضرورة قيمة عظمى محلية.

ندرس إشارة $f'$ على جانبي $c$. الحالة الأولى: إذا تغيرت الإشارة من موجبة إلى سالبة فعند $c$ قيمة عظمى محلية. الحالة الثانية: إذا تغيرت من سالبة إلى موجبة فعند $c$ قيمة صغرى محلية. الحالة الثالثة: إذا لم تتغير الإشارة فلا توجد عند $c$ قيمة عظمى أو صغرى محلية.

تقع القيم القصوى المحلية عند النقاط الحرجة فقط، أي أن أي قيمة عظمى أو صغرى محلية لا يمكن أن تحدث إلا عند نقطة حرجة للدالة. لكن العكس غير صحيح دائمًا: ليست كل نقطة حرجة قيمة قصوى. فبحسب اختبار المشتقة الأولى، إذا كانت $c$ نقطة حرجة ولم تتغيّر إشارة $f'$ عند الانتقال من قبل $c$ إلى بعدها (أي بقيت موجبة في الجهتين أو سالبة في الجهتين)، فإن $f(c)$ ليست قيمة قصوى محلية، وقد تكون هذه النقطة نقطة انقلاب بدلًا من ذلك. إذن كون النقطة حرجة شرط لازم لوجود قيمة قصوى محلية عندها، لكنه ليس شرطًا كافيًا.

$f'(x)=-1$ عندما $x<2$ و$f'(x)=1$ عندما $x>2$ و$f'(2)$ غير موجودة، لكن $x=2$ في مجال الدالة فهي نقطة حرجة. تتغير إشارة $f'$ من $-$ إلى $+$ عند $x=2$ فللدالة قيمة صغرى محلية عندها $f(2)=0$.

إذا كانت $f$ متصلة على الفترة المغلقة $[a, b]$، فإن قيمها القصوى المطلقة تقع إمّا عند نقطة حرجة داخل الفترة المفتوحة $]a, b[$ أو عند أحد طرفيها $a$ أو $b$. لذلك تتلخص الطريقة العامة في الخطوات التالية: أولًا، نوجد جميع النقاط الحرجة لـ $f$ الواقعة داخل $]a, b[$ (أي النقاط التي عندها $f'(x) = 0$ أو لا توجد $f'(x)$). ثانيًا، نحسب قيمة $f$ عند كل نقطة حرجة من هذه النقاط، وكذلك عند الطرفين $a$ و$b$. ثالثًا، نقارن بين جميع القيم الناتجة؛ فأكبرها هو القيمة العظمى المطلقة وأصغرها هو القيمة الصغرى المطلقة على الفترة. ويجب عدم إغفال فحص الطرفين لأن القيمة القصوى المطلقة قد تقع عند أحدهما وليس بالضرورة عند نقطة حرجة داخلية، كما في مثال $f(x) = x^2 - 4x + 3$ على $[0, 3]$ حيث وقعت القيمة العظمى المطلقة عند الطرف $x = 0$ وليس عند النقطة الحرجة $x = 2$.

$f'(x)=e^{-x}(1-x)$ والنقطة الحرجة $x=1$. نحسب: $f(0)=0$ و$f(1)=\frac{1}{e}\approx0.37$ و$f(3)=3e^{-3}\approx0.15$. فالقيمة العظمى المطلقة $\frac{1}{e}$ عند $x=1$ والقيمة الصغرى المطلقة $0$ عند $x=0$.

$f'(x)=3x^2+2ax+b$ جذراها $-1$ و$3$ لأن $f'=0$ عندهما. مجموع الجذرين $2=-\frac{2a}{3}$ فـ $a=-3$، وحاصل ضربهما $-3=\frac{b}{3}$ فـ $b=-9$. وبالتحقق: $f'(x)=3(x+1)(x-3)$ وإشارتها تتغير من $+$ إلى $-$ عند $-1$ ومن $-$ إلى $+$ عند $3$.

$f'(x)=\frac{4}{3}x^{-2/3}(x+1)$. تنعدم عند $x=-1$ وغير موجودة عند $x=0$ (وهي في مجال $f$). إشارة $f'$: سالبة عندما $x<-1$ وموجبة عندما $-1<x<0$ وموجبة عندما $x>0$. فعند $x=-1$ قيمة صغرى محلية $f(-1)=1-4=-3$، وعند $x=0$ لا تتغير الإشارة فليست قيمة قصوى رغم أنها نقطة حرجة.