أسئلة: تطبيقات على القيم العظمى والصغرى

الإجابة الصحيحة: تحديد الكمية المطلوب تعظيمها أو تصغيرها وتسميتها

أول خطوة في أسلوب حل مسائل التعظيم والتصغير هي تحديد الكمية المستهدفة (كالمساحة أو الحجم) وتسميتها برمز مناسب.

الإجابة الصحيحة: علاقة إضافية معطاة تربط بين المتغيرات وتُستخدم لحذف متغيّر

القيد هو ما يربط المتغيرات (كمحيط ثابت أو حجم ثابت)، وبدونه تبقى الدالة في متغيرين ولا يمكن اشتقاقها لمتغيّر واحد.

الإجابة الصحيحة: $P(x) = x(20 - x)$

العدد الآخر هو $20-x$، فحاصل الضرب $P(x) = x(20-x) = 20x - x^2$.

الإجابة الصحيحة: 10

$20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$.

الإجابة الصحيحة: 100

العددان هما $10$ و$10$، وحاصل ضربهما $10 \times 10 = 100$.

الإجابة الصحيحة: لأن $P''(x) = -2 < 0$

المشتقة الثانية $P''(x) = -2$ سالبة دائمًا، وهذا يعني أن النقطة الحرجة قيمة عظمى.

الإجابة الصحيحة: $2x + y = 100$

السياج يغطي الضلعين العموديين على النهر (كل منهما $x$) والضلع الموازي له ($y$)، أما الضلع الرابع فيحدّه النهر ولا يحتاج سياجًا، فالقيد $2x+y=100$.

الإجابة الصحيحة: $A(x) = 100x - 2x^2$

$y = 100-2x$، فالمساحة $A(x) = xy = x(100-2x) = 100x - 2x^2$.

الإجابة الصحيحة: 25

$A'(x) = 100 - 4x = 0 \Rightarrow x = 25$، و$A''(x) = -4 < 0$ فهي قيمة عظمى.

الإجابة الصحيحة: 1250 متر مربع

عند $x=25$ فإن $y=50$، فأكبر مساحة $= 25 \times 50 = 1250$ متر مربع.

الإجابة الصحيحة: 50

$y = 100 - 2x = 100 - 2(25) = 50$.

الإجابة الصحيحة: $V(x) = x(12 - 2x)^2$

أبعاد القاعدة $(12-2x)\times(12-2x)$ والارتفاع $x$، فالحجم $V(x)=x(12-2x)^2$.

الإجابة الصحيحة: $(12-2x)(12-6x)$

$V'(x) = (12-2x)^2 + x \times 2(12-2x)(-2) = (12-2x)[(12-2x)-4x] = (12-2x)(12-6x)$.

الإجابة الصحيحة: لأنها تجعل حجم الصندوق يساوي صفرًا

عند $x=6$ يصبح بُعد القاعدة $(12-2x)=0$ فيصبح الحجم صفرًا، وهي أيضًا تقع على طرف المجال $0<x<6$.

الإجابة الصحيحة: 2 سم

الجذر المقبول من $V'(x)=0$ داخل المجال $0<x<6$ هو $x=2$.

الإجابة الصحيحة: 128

$V(2) = 2 \times (12-4)^2 = 2 \times 8^2 = 128$ سم³.

الإجابة الصحيحة: $xy = 36$

مساحة المستطيل هي حاصل ضرب بعديه، فالقيد $xy=36$.

الإجابة الصحيحة: $P(x) = 2x + \frac{72}{x}$

$y = \frac{36}{x}$، فالمحيط $P(x) = 2x+2y = 2x + \frac{72}{x}$.

الإجابة الصحيحة: 6

$P'(x) = 2 - \frac{72}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6$ (نرفض $x=-6$ لأن $x>0$).

الإجابة الصحيحة: مربع طول ضلعه $6$

عند $x=6$ فإن $y = \frac{36}{6}=6$، فيكون المستطيل مربعًا ضلعه $6$.

الإجابة الصحيحة: $4$ سم

$h=\frac{128}{r^2}$ و$S=2\pi r^2+\frac{256\pi}{r}$ و$S'=4\pi r-\frac{256\pi}{r^2}=0$ فـ $r^3=64$ أي $r=4$، وتتحقق الصغرى لأن $S''>0$.

الإجابة الصحيحة: $25$ سم²

$L=20-2r$ و$A=\frac{1}{2}rL=10r-r^2$ وأكبر قيمة عند $r=5$: $A=50-25=25$.

الإجابة الصحيحة: $10$

$\bar{C}=2x+\frac{200}{x}$ و$\bar{C}'=2-\frac{200}{x^2}=0$ فـ $x=10$ وتتحقق الصغرى لأن $\bar{C}''>0$.

الإجابة الصحيحة: $40$ جنيهًا

عند $x=10$: $\bar{C}=2(10)+\frac{200}{10}=20+20=40$ جنيهًا.

1) حدّد الكمية المطلوب تعظيمها أو تصغيرها وسمِّها (مثل المساحة $A$، الحجم $V$، المحيط $P$، التكلفة). 2) ارسم شكلًا وأدخل رموزًا للمتغيّرات. 3) اكتب الكمية المطلوبة بدلالة المتغيّرات، ثم استخدم قيد المسألة (علاقة إضافية معطاة) لحذف متغيّر، حتى تصبح دالة في متغيّر واحد. 4) حدّد مجال المتغيّر المنطقيّ من سياق المسألة (أطوال موجبة مثلًا). 5) أوجد النقاط الحرجة بمساواة المشتقة الأولى بالصفر، وصنّفها باختبار المشتقة الأولى أو الثانية، أو بمقارنة القيم عند الطرفين. 6) أجب على المطلوب بالقيمة القصوى وأبعادها، مع الوحدات.

قيد المسألة هو العلاقة الإضافية المعطاة التي تربط بين متغيّرات المسألة، مثل محيط ثابت أو حجم ثابت أو مجموع ثابت أو معادلة منحنى معيّن. تُستخدم هذه العلاقة لحذف أحد المتغيّرات والتعبير عنه بدلالة الآخر، بحيث تتحوّل الكمية المطلوب تعظيمها أو تصغيرها من دالة في متغيّرين إلى دالة في متغيّر واحد فقط. لا يمكن الاستغناء عن القيد لأن الدالة في متغيّرين لا يمكن اشتقاقها بالطريقة العادية (اشتقاق دالة في متغيّر واحد) لإيجاد نقاطها الحرجة؛ فبدون القيد تبقى الدالة غير قابلة للحل بأدوات هذا الدرس.

ليكن العددان الموجبان $x$ و$20-x$ حيث $0 < x < 20$. دالة حاصل الضرب: $P(x) = x(20-x) = 20x - x^2$. المشتقة الأولى: $P'(x) = 20 - 2x$. النقطة الحرجة: $P'(x)=0 \Rightarrow 20-2x=0 \Rightarrow x=10$. التحقق من نوعها: $P''(x) = -2 < 0$، إذن $x=10$ تعطي قيمة عظمى. العدد الآخر يساوي $20-x=20-10=10$. إذن العددان هما $10, 10$، وأكبر حاصل ضرب ممكن هو $10 \times 10 = 100$.

ليكن عرض المستطيل (الضلعان العموديان على النهر) $x$ وطوله (الضلع الموازي للنهر) $y$. القيد: $2x + y = 100$، ومنه $y = 100 - 2x$. دالة المساحة: $A(x) = xy = x(100-2x) = 100x - 2x^2$، حيث $0 < x < 50$. المشتقة الأولى: $A'(x) = 100 - 4x$. النقطة الحرجة: $A'(x)=0 \Rightarrow 100-4x=0 \Rightarrow x=25$. التحقق من نوعها: $A''(x) = -4 < 0$، إذن $x=25$ تعطي قيمة عظمى. عندئذٍ $y = 100 - 2(25) = 50$. إذن أبعاد المستطيل $25 \times 50$، وأكبر مساحة ممكنة $= 25 \times 50 = 1250$ مترًا مربعًا.

أبعاد قاعدة الصندوق بعد القص والثني هي $(12-2x) \times (12-2x)$، وارتفاعه $x$، حيث $0 < x < 6$. دالة الحجم: $V(x) = x(12-2x)^2$. باشتقاق $V(x)$ بقاعدة الضرب: $V'(x) = (12-2x)^2 + x \times 2(12-2x)(-2) = (12-2x)^2 - 4x(12-2x) = (12-2x)\,[(12-2x) - 4x] = (12-2x)(12-6x)$. النقاط الحرجة من $V'(x)=0$: إما $12-2x=0 \Rightarrow x=6$، أو $12-6x=0 \Rightarrow x=2$. القيمة $x=6$ تُرفض لأنها تجعل الحجم صفرًا (وتقع على طرف المجال). عند $x=2$ يكون $V'(x)$ موجبًا قبلها وسالبًا بعدها ضمن المجال $0<x<6$، فهي قيمة عظمى. الحجم عندها: $V(2) = 2 \times (12-4)^2 = 2 \times 8^2 = 128$ سم³. إذن $x=2$ سم يعطي أكبر حجم ممكن، وهو $128$ سم³.

ليكن بعدا المستطيل $x$ و$y$ حيث $xy = 36 \Rightarrow y = \frac{36}{x}$، $x>0$. دالة المحيط: $P(x) = 2x + 2y = 2x + \frac{72}{x}$. المشتقة الأولى: $P'(x) = 2 - \frac{72}{x^2}$. النقطة الحرجة: $P'(x) = 0 \Rightarrow 2 = \frac{72}{x^2} \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6$ (نرفض $x=-6$ لأن $x>0$). التحقق من نوعها: $P''(x) = \frac{144}{x^3}$، وعند $x=6$: $P''(6) = \frac{144}{216} > 0$، إذن $x=6$ تعطي قيمة صغرى. عندئذٍ $y = \frac{36}{6} = 6$. إذن أبعاد المستطيل $6 \times 6$ (أي مربع)، وأصغر محيط ممكن $= 2(6)+2(6) = 24$.

في مثال المزارع، $x$ يمثّل عرض المستطيل (طول الضلع العمودي على النهر)، ويجب أن يكون موجبًا، كما يجب أن يبقى الطول $y=100-2x$ موجبًا أيضًا، أي $100-2x>0 \Rightarrow x<50$، فيكون المجال المنطقيّ $0<x<50$. يُستبعد الطرفان $x=0$ و$x=50$ لأن كلًّا منهما يجعل أحد بُعدي المستطيل صفرًا، فلا يوجد مستطيل حقيقي وتكون المساحة صفرًا. وفي مثال الصندوق، $x$ يمثّل طول ضلع المربع المقصوص من كل ركن، ويجب أن يكون موجبًا وأصغر من نصف طول ضلع الصفيحة (12 سم) حتى يبقى بُعد القاعدة $(12-2x)$ موجبًا، أي $12-2x>0 \Rightarrow x<6$، فيكون المجال $0<x<6$. يُستبعد الطرفان $x=0$ (لا يوجد ارتفاع للصندوق) و$x=6$ (يصبح بُعد القاعدة صفرًا فيصبح الحجم صفرًا) لأن كليهما يجعل الحجم صفرًا، أي لا يوجد صندوق حقيقي.

اختبار المشتقة الثانية: بعد إيجاد النقطة الحرجة من $f'(x)=0$، تُحسب $f''(x)$ عند تلك النقطة؛ فإذا كانت $f''(x)<0$ فالنقطة عظمى، وإذا كانت $f''(x)>0$ فالنقطة صغرى. استُخدم هذا الاختبار في مثال العددين ومثال المزارع ومثال المستطيل ذي المحيط الأصغر؛ ففي مثال العددين كان $P''(x)=-2<0$ عند $x=10$ فكانت القيمة عظمى، وفي مثال المحيط الأصغر كان $P''(x)=\frac{144}{x^3}>0$ عند $x=6$ فكانت القيمة صغرى. اختبار المشتقة الأولى: تُفحص إشارة $f'(x)$ على يمين ويسار النقطة الحرجة ضمن المجال المسموح؛ فإذا تغيرت الإشارة من موجبة إلى سالبة فالنقطة عظمى، والعكس يعطي نقطة صغرى. استُخدم أسلوب مشابه في مثال الصندوق عند فحص إشارة $V'(x)$ حول $x=2$ (بعد استبعاد الجذر $x=6$ الذي يجعل الحجم صفرًا) للتأكد من أنها تعطي القيمة العظمى للحجم.

عند $x=6$ يصبح بُعد قاعدة الصندوق $(12-2x) = 12-12 = 0$، وبالتالي يصبح حجم الصندوق $V(6) = 6 \times 0^2 = 0$، أي لا يوجد صندوق حقيقي بهذا الحجم؛ فحجم صفري لا معنى له في سياق المسألة (تعظيم الحجم). كما أن $x=6$ تقع على طرف المجال المفتوح $0<x<6$ وليست داخله فعليًّا كنقطة تعظيم صالحة. وهذا يطابق تمامًا ما ورد في النقاط الرئيسية من ضرورة "التحقّق أن الحلّ يقع داخل المجال المنطقيّ، ورفض الجذور غير المقبولة"؛ فالجذر المقبول رياضيًّا وفيزيائيًّا هو $x=2$ فقط، وهو الذي يقع داخل المجال ويُعطي القيمة العظمى الفعلية للحجم، وهي $128$ سم³.

تنص الملاحظة على أن الحل الأمثل في كثير من مسائل التعظيم والتصغير يكون شكلًا متماثلًا، مثل عددين متساويين أو شكل مربّع. يظهر ذلك بوضوح في مثال العددين: عند تعظيم حاصل ضرب عددين موجبين مجموعهما ثابت (20)، كان الحل الأمثل هو تساوي العددين، إذ $x=10$ والعدد الآخر $20-x=10$، أي العددان $10, 10$، وليس أي زوج آخر مجموعه 20. ويظهر أيضًا في مثال المستطيل الذي مساحته 36: عند تصغير محيطه، كان الحل الأمثل هو أن يكون المستطيل مربعًا ضلعه $6$ (أي $x=y=6$)، بدلًا من أي مستطيل آخر مساحته 36 بأبعاد غير متساوية، مما يؤكّد أن التماثل غالبًا ما يرافق القيمة المثلى في هذا النوع من المسائل.

$\pi r^2h=54\pi$ فـ $h=\frac{54}{r^2}$. المساحة $S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{108\pi}{r}$ حيث $r>0$. $S'=4\pi r-\frac{108\pi}{r^2}=0$ فـ $r^3=27$ أي $r=3$ و$h=6$. وبما أن $S''=4\pi+\frac{216\pi}{r^3}>0$ فهي قيمة صغرى. أقل مساحة $S=18\pi+36\pi=54\pi$ سم².

محيط القطاع $2r+L=20$ فـ $L=20-2r$ حيث $0<r<10$. المساحة $A=\frac{1}{2}rL=10r-r^2$ و$A'=10-2r=0$ فـ $r=5$ و$A''=-2<0$ فهي عظمى. $L=10$ والزاوية المركزية $\theta=\frac{L}{r}=2$ راديان وأكبر مساحة $25$ سم².

متوسط التكلفة $\bar{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=2x+\frac{200}{x}$ حيث $x>0$. $\bar{C}'=2-\frac{200}{x^2}=0$ فـ $x=10$. $\bar{C}''=\frac{400}{x^3}>0$ فهي صغرى. أقل متوسط $=20+20=40$ جنيهًا للوحدة.