أسئلة: تكامل الدوال الأسية واللوغاريتمية

الإجابة الصحيحة: $e^x + c$

تكامل الدالة الأسية $e^x$ ينتج $e^x$ نفسها زائد ثابت التكامل؛ إذ إن مشتقة $e^x$ هي $e^x$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{5}e^{5x} + c$

بتطبيق القاعدة $\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+c$ مع $a=5$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{1}{2}e^{-2x} + c$

بتطبيق $\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+c$ مع $a=-2$، وبالتحقق: مشتقة $-\frac{1}{2}e^{-2x}$ هي $\left(-\frac{1}{2}\right)\times(-2)\,e^{-2x}=e^{-2x}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3^x}{\ln 3} + c$

بتطبيق القاعدة $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+c$ مع $a=3$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{7^x}{\ln 7} + c$

قاعدة تكامل الدالة الأسية ذات الأساس الثابت: $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+c$.

الإجابة الصحيحة: $\ln|x| + c$

قاعدة القوة تفشل عند الأُس $-1$، وتسدّها قاعدة $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+c$.

الإجابة الصحيحة: الناتج $\ln|x| + c$ لأن مجال الدالة $\frac{1}{x}$ قد يشمل قيم $x$ السالبة

نكتب القيمة المطلقة لأن دالة $\ln x$ غير معرّفة عند $x$ السالبة، بينما $\ln|x|$ معرّفة لكل $x\neq0$.

الإجابة الصحيحة: $\ln(x^2+1) + c$

بسط الكسر $2x$ هو مشتقة المقام $x^2+1$، فيكون التكامل $\ln(x^2+1)+c$ (بلا قيمة مطلقة لأن $x^2+1>0$ دائمًا).

الإجابة الصحيحة: $2\ln(x^2+3) + c$

مشتقة المقام $x^2+3$ هي $2x$، والبسط $4x=2\times 2x$، فنُخرج الثابت $2$: التكامل $=2\ln(x^2+3)+c$.

الإجابة الصحيحة: $\ln|x^3+1| + c$

البسط $3x^2$ هو مشتقة المقام $x^3+1$ بالضبط، فيكون التكامل $\ln|x^3+1|+c$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{3}\ln|x^3+1| + c$

مشتقة المقام $x^3+1$ هي $3x^2$، والبسط $x^2=\frac{1}{3}\times 3x^2$، فنضبط بالضرب والقسمة على $3$: التكامل $=\frac{1}{3}\ln|x^3+1|+c$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}e^{x^2} + c$

بوضع $u=x^2$ فإن $du=2x\,dx$، أي $x\,dx=\frac{1}{2}\,du$، فيصبح التكامل $\frac{1}{2}\int e^u\,du=\frac{1}{2}e^{x^2}+c$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{3}e^{x^3} + c$

بوضع $u=x^3$ فإن $du=3x^2\,dx$، أي $x^2\,dx=\frac{1}{3}\,du$، فيصبح التكامل $\frac{1}{3}\int e^u\,du=\frac{1}{3}e^{x^3}+c$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{4}e^{4x} + c$

بتطبيق $\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+c$ مع $a=4$.

الإجابة الصحيحة: $a=6$

بما أن $\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+c$، فإن مطابقة $\frac{1}{a}e^{ax}$ مع $\frac{1}{6}e^{6x}$ تعطي $a=6$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2^x}{\ln 2} + c$

بتطبيق القاعدة $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+c$ مع $a=2$.

الإجابة الصحيحة: نسيان ضرب الناتج في $\frac{1}{7}$ فيكتبون $e^{7x}+c$ بدلاً من $\frac{1}{7}e^{7x}+c$

نسيان عامل $\frac{1}{a}$ عند تكامل $e^{ax}$ خطأ شائع يجب الانتباه إليه دائمًا.

الإجابة الصحيحة: $3\ln(x^2+5) + c$

مشتقة المقام $x^2+5$ هي $2x$، والبسط $6x=3\times 2x$، فالتكامل $=3\ln(x^2+5)+c$.

الإجابة الصحيحة: $\ln|x^5-2| + c$

البسط $5x^4$ هو مشتقة المقام $x^5-2$ بالضبط، فالتكامل $=\ln|x^5-2|+c$.

الإجابة الصحيحة: $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + c$

قاعدة تكامل الدالة الأسية ذات الأساس الثابت $a$ هي $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+c$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{x^3}{3}-4x+2\ln|x|+c$

نكامل كل حد على حدة: $\int x^2dx=\frac{x^3}{3}$ و$\int4\,dx=4x$ و$\int\frac{2}{x}dx=2\ln|x|$.

الإجابة الصحيحة: $e^{\sin x}+c$

بوضع $u=\sin x$ نجد $du=\cos x\,dx$ فيؤول التكامل إلى $\int e^{u}du=e^{u}+c$.

الإجابة الصحيحة: $\ln|\ln x|+c$

نضع $u=\ln x$ فـ $du=\frac{1}{x}dx$ ويؤول التكامل إلى $\int\frac{du}{u}=\ln|u|+c=\ln|\ln x|+c$.

الإجابة الصحيحة: $y=3x+2\ln x+2$

$y=\int\left(3+\frac{2}{x}\right)dx=3x+2\ln x+c$ وبالتعويض بالنقطة $(1,5)$: $5=3+0+c$ فـ $c=2$.

بتطبيق القاعدة $\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+c$ مع $a=6$: $\int e^{6x}\,dx=\frac{1}{6}e^{6x}+c$. للتحقق: مشتقة $\frac{1}{6}e^{6x}$ هي $\frac{1}{6}\times 6\times e^{6x}=e^{6x}$، وهو نفس الدالة المطلوب تكاملها، فالناتج صحيح.

بتطبيق قاعدة تكامل الدالة الأسية ذات الأساس الثابت $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+c$ مع $a=4$: $\int 4^x\,dx=\frac{4^x}{\ln 4}+c$.

الناتج هو $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+c$. السبب أن مجال الدالة $\frac{1}{x}$ يشمل قيم $x$ الموجبة والسالبة معًا (باستثناء الصفر)، بينما دالة $\ln x$ غير معرّفة عند $x$ السالبة. أما $\ln|x|$ فمعرّفة لكل $x\neq0$، ومشتقتها تساوي $\frac{1}{x}$ سواء كان $x$ موجبًا أو سالبًا، لذلك تُستخدم القيمة المطلقة لتغطية المجال كاملًا.

مشتقة المقام $x^2+9$ هي $2x$. البسط $8x=4\times 2x$، أي أن البسط يساوي $4$ أمثال مشتقة المقام، فنُخرج الثابت $4$ خارج التكامل: $\int \frac{8x}{x^2+9}\,dx=4\int \frac{2x}{x^2+9}\,dx=4\ln(x^2+9)+c$ (بلا قيمة مطلقة لأن $x^2+9>0$ دائمًا).

نضع $u=x^4$، فيكون $du=4x^3\,dx$، أي $x^3\,dx=\frac{1}{4}\,du$. بالتعويض: $\int x^3\,e^{x^4}\,dx=\frac{1}{4}\int e^{u}\,du=\frac{1}{4}e^{u}+c=\frac{1}{4}e^{x^4}+c$. للتحقق: مشتقة $\frac{1}{4}e^{x^4}$ هي $\frac{1}{4}\times 4x^3\times e^{x^4}=x^3e^{x^4}$، وهو المطلوب.

مشتقة المقام $x^2+4$ هي $2x$. البسط $x=\frac{1}{2}\times 2x$، فنضبط بالضرب والقسمة على $2$: $\int \frac{x}{x^2+4}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+4}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^2+4)+c$ (بلا قيمة مطلقة لأن $x^2+4>0$ دائمًا).

بتطبيق القاعدة $\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+c$ مع $a=-5$: $\int e^{-5x}\,dx=-\frac{1}{5}e^{-5x}+c$. للتحقق: مشتقة $-\frac{1}{5}e^{-5x}$ هي $\left(-\frac{1}{5}\right)\times(-5)\times e^{-5x}=e^{-5x}$، وهي نفس الدالة الأصلية، فالناتج صحيح.

قاعدة القوة $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$ تفشل عند $n=-1$ (أي عند $\frac{1}{x}=x^{-1}$) لأن المقام يصبح $n+1=0$، وهذا يعني قسمة على صفر، وهو غير معرّف. لذلك تحتاج هذه الحالة إلى قاعدة مختلفة. بالاشتقاق العكسي: مشتقة $\ln x$ لـ$x>0$ تساوي $\frac{1}{x}$، ومشتقة $\ln(-x)$ لـ$x<0$ تساوي $\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$ أيضًا؛ أي أن مشتقة $\ln|x|$ تساوي $\frac{1}{x}$ لكل $x\neq0$. لذلك $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+c$.

مشتقة المقام $x^4+7$ هي $4x^3$. البسط $2x^3=\frac{1}{2}\times 4x^3$، فنضبط بالضرب والقسمة على $2$: $\int \frac{2x^3}{x^4+7}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{4x^3}{x^4+7}\,dx=\frac{1}{2}\ln(x^4+7)+c$ (بلا قيمة مطلقة لأن $x^4+7>0$ دائمًا).

بتطبيق القاعدة $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+c$ مع $a=6$: $\int 6^x\,dx=\frac{6^x}{\ln 6}+c$. للتحقق: مشتقة $\frac{6^x}{\ln 6}$ تساوي $\frac{6^x\ln 6}{\ln 6}=6^x$ (باستخدام أن مشتقة $a^x$ هي $a^x\ln a$)، وهو المطلوب.

نفك المربع أولًا: $\left(e^{x}+e^{-x}\right)^2=e^{2x}+2+e^{-2x}$. ثم نكامل: $\int\left(e^{2x}+2+e^{-2x}\right)dx=\frac{1}{2}e^{2x}+2x-\frac{1}{2}e^{-2x}+c$.

$y=\int\left(e^{2x}+1\right)dx=\frac{1}{2}e^{2x}+x+c$. بالتعويض بالنقطة $(0,2)$: $2=\frac{1}{2}+0+c$ فـ $c=\frac{3}{2}$. المعادلة $y=\frac{1}{2}e^{2x}+x+\frac{3}{2}$.

$A=\int3e^{0.5t}dt=6e^{0.5t}+c$. من $A(0)=10$ نجد $6+c=10$ فـ $c=4$ فتكون $A(t)=6e^{0.5t}+4$. عند $t=2$: $A=6e+4\approx20.3$ سم².