أسئلة: طرق التكامل

الإجابة الصحيحة: عندما يحتوي التكامل على دالة مركبة تصاحبها (بمعامل ثابت) مشتقة دالتها الداخلية

الصورة $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ تؤول بوضع $u=g(x)$ إلى $\int f(u)\,du$.

الإجابة الصحيحة: التعبير الداخلي في الدالة المركبة

نضع $u=g(x)$ ثم نحسب $du=g'(x)\,dx$ ونعوّض في التكامل.

الإجابة الصحيحة: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$

نحصل عليها بتكامل طرفي قاعدة اشتقاق حاصل الضرب $\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$.

الإجابة الصحيحة: يكون $du$ أبسط من $u$ ويسهل تكامل $dv$ لإيجاد $v$

الهدف أن يصبح $\int v\,du$ أسهل من التكامل الأصلي، فنختار $u$ يبسط عند الاشتقاق و$dv$ يمكن تكامله.

الإجابة الصحيحة: $2\,dx$

بما أن $u = 2x+3$ فإن مشتقة $u$ بالنسبة لـ $x$ تساوي 2، إذن $du = 2\,dx$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}\,du$

من $du = 2\,dx$ نحصل على $dx = \frac{1}{2}\,du$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{(2x + 3)^6}{12} + c$

بالتعويض $u=2x+3$: $\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6}+c = \frac{(2x+3)^6}{12}+c$.

الإجابة الصحيحة: $u = \sin x$

نضع $u = \sin x$ فيكون $du = \cos x\,dx$، وهو موجود بالفعل في التكامل.

الإجابة الصحيحة: $\frac{\sin^4 x}{4} + c$

بالتعويض $u=\sin x$: $\int u^3\,du = \frac{u^4}{4}+c = \frac{\sin^4 x}{4}+c$.

الإجابة الصحيحة: $u=x$ و$dv=e^x\,dx$

باشتقاق $x$ نحصل على $du=dx$ الأبسط، ويسهل تكامل $e^x\,dx$ فتصبح $v=e^x$.

الإجابة الصحيحة: $e^x(x - 1) + c$

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + c = e^x(x-1)+c$.

الإجابة الصحيحة: $\sin x$

$v = \int dv = \int \cos x\,dx = \sin x$.

الإجابة الصحيحة: $x\sin x + \cos x + c$

$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + c$.

الإجابة الصحيحة: $u = \ln x$

اللوغاريتمية لها الأولوية الأولى، فنأخذ $u = \ln x$ و$dv = dx$.

الإجابة الصحيحة: $x$

$v = \int dv = \int dx = x$.

الإجابة الصحيحة: $x\ln x - x + c$

$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + c$.

الإجابة الصحيحة: نبدّل اختيار $u$ و$dv$

ليست كل اختيارات $u$ و$dv$ مناسبة؛ ونبحث عن اختيار يجعل $\int v\,du$ أبسط.

الإجابة الصحيحة: لوغاريتم

$\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+c$.

الإجابة الصحيحة: التجزيء

تعكس طريقة التجزيء قاعدة اشتقاق حاصل الضرب وتناسب حواصل ضرب دوال من نوعين مختلفين.

الإجابة الصحيحة: $\int x^2 e^x\,dx$

نشتق $x^2$ فنحصل على $2x$ ويبقى تكامل $x\,e^x$ الذي يحتاج تجزيئًا ثانيًا.

الإجابة الصحيحة: $8(2x+5)^3\,dx$

$dy=y'\,dx=4(2x+5)^3\cdot2\,dx=8(2x+5)^3\,dx$.

الإجابة الصحيحة: $e^{\tan x}+c$

نضع $u=\tan x$ فـ $du=\sec^2x\,dx$ ويؤول التكامل إلى $\int e^{u}du=e^{u}+c$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+c$

نأخذ $u=\ln x$ و$dv=x\,dx$ فـ $du=\frac{dx}{x}$ و$v=\frac{x^2}{2}$ ثم $\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x}{2}dx$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{(x-3)^7}{7}+\frac{(x-3)^6}{2}+c$

نضع $u=x-3$ فـ $x=u+3$ و$dx=du$ ويصير التكامل $\int(u^6+3u^5)du=\frac{u^7}{7}+\frac{u^6}{2}$.

تُستخدم طريقة التعويض حين يحتوي التكامل على دالة مركّبة تصاحبها (بمعامل ثابت) مشتقة دالتها الداخلية. الخطوات: أولًا نضع $u$ مساويًا للتعبير الداخليّ في الدالة المركّبة. ثانيًا نحسب $du = u'(x)\,dx$، ونعبّر عن $dx$ بدلالة $du$ إذا لزم الأمر. ثالثًا نعوّض في التكامل الأصلي بحيث يصبح التكامل بالكامل بدلالة $u$ فقط (بما في ذلك $dx$). رابعًا نحسب التكامل الأبسط الناتج بدلالة $u$. وأخيرًا نعيد التعويض بالقيمة الأصليّة لـ$u$ بدلالة $x$ للوصول إلى الناتج النهائي.

طريقة التجزيء تعتمد على قاعدة اشتقاق حاصل الضرب، وصيغتها: $\int u\,dv = u\,v - \int v\,du$. نختار جزءًا من الدالة ليكون $u$ (نشتقّه لنحصل على $du$) والباقي مع $dx$ ليكون $dv$ (نكامله لنحصل على $v$). القاعدة الاسترشادية لترتيب اختيار $u$ (من الأولى إلى الأخيرة) هي: اللوغاريتمية، ثم الجبرية (كثيرات الحدود)، ثم المثلثية، ثم الأسية. والهدف من الاختيار الجيّد أن يصبح التكامل الناتج $\int v\,du$ أبسط من التكامل الأصليّ.

نضع $u = 2x + 3$، فتكون $du = 2\,dx$، وبالتالي $dx = \frac{1}{2}\,du$. نعوّض في التكامل: $\int (2x+3)^5\,dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int u^5\,du$. نكامل: $\frac{1}{2}\int u^5\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^6}{6} + c = \frac{u^6}{12} + c$. نعيد التعويض $u = 2x+3$ فنحصل على الناتج النهائي: $\int (2x+3)^5\,dx = \frac{(2x+3)^6}{12} + c$.

نلاحظ أن مشتقة $\sin x$ هي $\cos x$ الموجودة في التكامل، فنضع $u = \sin x$، فتكون $du = \cos x\,dx$. نعوّض في التكامل: $\int \sin^3 x \cos x\,dx = \int u^3\,du$. نكامل: $\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} + c$. نعيد التعويض $u = \sin x$ فنحصل على الناتج النهائي: $\int \sin^3 x \cos x\,dx = \frac{\sin^4 x}{4} + c$.

نلاحظ أن التكامل حاصل ضرب دالة جبرية ($x$) ودالة أسّية ($e^x$)، فوفق ترتيب الأولوية نأخذ $u = x$ (جبرية) و$dv = e^x\,dx$ (أسّية). نشتقّ ونكامل: $du = dx$ و$v = \int e^x\,dx = e^x$. نطبّق صيغة التجزيء: $\int x\,e^x\,dx = u\,v - \int v\,du = x\,e^x - \int e^x\,dx$. نكامل التكامل المتبقي: $\int e^x\,dx = e^x$. فيكون الناتج: $\int x\,e^x\,dx = x\,e^x - e^x + c = e^x(x - 1) + c$.

التكامل حاصل ضرب دالة جبرية ($x$) ودالة مثلثية ($\cos x$)، فنأخذ $u = x$ (جبرية) و$dv = \cos x\,dx$ (مثلثية). نشتقّ ونكامل: $du = dx$ و$v = \int \cos x\,dx = \sin x$. نطبّق صيغة التجزيء: $\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx$. نكامل التكامل المتبقي: $\int \sin x\,dx = -\cos x$. فيكون الناتج: $\int x\cos x\,dx = x\sin x - (-\cos x) + c = x\sin x + \cos x + c$.

بما أن الدالة اللوغاريتمية لها الأولوية الأولى في اختيار $u$، نأخذ $u = \ln x$ و$dv = dx$. نشتقّ ونكامل: $du = \frac{1}{x}\,dx$ و$v = \int dx = x$. نطبّق صيغة التجزيء: $\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx$. نكامل التكامل المتبقي: $\int 1\,dx = x$. فيكون الناتج: $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + c$.

إذا وُجدت دالة داخلية ومعها مشتقتها (بمعامل ثابت) داخل التكامل فنستخدم التعويض. وإذا كان التكامل حاصل ضرب نوعين مختلفين من الدوال ليست إحداهما مشتقة للأخرى (كثيرة حدود في دالة أسية أو مثلثية، أو لوغاريتم منفرد) فنستخدم التجزيء. وإذا كان كسرًا بسطه مشتقة مقامه فالناتج لوغاريتم مباشرة.

إذا أصبح $\int v\,du$ أعقد من التكامل الأصلي فنبدل اختيار $u$ و$dv$. وللتحقق من الناتج النهائي نشتقه، فإن حصلنا على الدالة المطلوب تكاملها كان الحل صحيحًا.

التعويض: نضع $u=g(x)$ ونحسب $du=g'(x)\,dx$ فيؤول التكامل إلى $\int f(u)\,du$ ثم نعود إلى $x$. التجزيء: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ ونختار $u$ بحيث يكون $du$ أبسط و$dv$ سهل التكامل. وعند أي ناتج نتحقق بالاشتقاق.

نستخدم التجزيء مرتين. أولًا $u=x^2$ و$dv=e^{-x}dx$ فـ $du=2x\,dx$ و$v=-e^{-x}$: $\int x^2e^{-x}dx=-x^2e^{-x}+2\int xe^{-x}dx$. ثانيًا $u=x$ و$dv=e^{-x}dx$: $\int xe^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}$. إذن الناتج $-e^{-x}\left(x^2+2x+2\right)+c$.

نضع $u=x-3$ فيكون $x=u+3$ و$dx=du$. التكامل $\int(u+3)u^5du=\int\left(u^6+3u^5\right)du=\frac{u^7}{7}+\frac{u^6}{2}+c=\frac{(x-3)^7}{7}+\frac{(x-3)^6}{2}+c$.

نأخذ $u=\ln x$ فـ $du=\frac{1}{x}dx$ ونأخذ $dv=x\,dx$ فـ $v=\frac{x^2}{2}$. بالتجزيء: $\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+c$.