ملخص التكامل المحدد — ثالثة ثانوي

مقدمة

التكامل غير المحدد يعطينا دالة فيها ثابت اختياري، أما التكامل المحدد فيعطينا عددًا محددًا. ولو حسبنا الفرق بين قيمتي الدالة الأصلية عند نهايتي فترة لاختفى الثابت. هذه الفكرة هي النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، وبها نحسب التكامل المحدد، ثم نوظفه في المساحات والحجوم في الدرس التالي.

أهداف التعلم

تتعرف على مفهوم التكامل المحدد وتحسبه بالنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.
تستخدم خواص التكامل المحدد، وخواص الدوال الزوجية والفردية.
تحسب التكامل المحدد بالتعويض مع تغيير حدود التكامل، وتكامل دالة المقياس.

شرح الدرس

مفهوم التكامل المحدد

إذا كانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ فإن $\int f(x)\,dx = F(x) + c$ ثابت اختياري. أما الفرق بين قيمتي التكامل عند $x = b$ و $x = a$ فهو $F(b) - F(a)$ ولا يعتمد على قيمة $c$ ، ويُسمى التكامل المحدد من $a$ إلى $b$ للدالة $f$ .

مستطيلات رفيعة تغطي المنطقة تحت منحنى بين a وb، ومجموع مساحاتها يقترب من التكامل المحدد كلما زاد عددها

إذا كانت $f(x) \ge 0$ على $[a, b]$ فإن قيمة التكامل المحدد تساوي مساحة المنطقة تحت المنحنى بين $x = a$ و $x = b$ (والمخطط يوضح تقريب هذه المساحة بمجموع مساحات مستطيلات رفيعة).

النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل

إذا كانت $f$ متصلة على $[a, b]$ وكانت $F$ أي دالة أصلية لـ $f$ على الفترة نفسها فإن:

\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)

ويُقرأ تكامل $f(x)$ بالنسبة إلى $x$ من $a$ إلى $b$ . وهو عدد حقيقي يتوقف على الحدين $a$ و $b$ وعلى قاعدة الدالة، ولا يتوقف على رمز المتغير. ولا نحتاج إلى ثابت التكامل لأنه يُحذف عند الطرح. والدالة المتصلة على فترة قابلة للتكامل عليها.

خواص التكامل المحدد

إذا كانت $f$ و $g$ متصلتين على $[a, b]$ و $c \in [a, b]$ :

\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx, \qquad \int_a^a f(x)\,dx = 0, \qquad \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx

\int_a^b \big[f(x) \pm g(x)\big]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx \pm \int_a^b g(x)\,dx, \qquad \int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx

الدوال الزوجية والفردية

إذا كانت $f$ متصلة على $[-a, a]$ :

إذا كانت $f$ فردية ( $f(-x) = -f(x)$ ) فإن $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$ .
إذا كانت $f$ زوجية ( $f(-x) = f(x)$ ) فإن $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$ .

التعويض في التكامل المحدد

نحسب التكامل المحدد بالتعويض بإحدى طريقتين: إيجاد التكامل غير المحدد بالتعويض ثم العودة إلى $x$ والتعويض بالحدين، أو (الأسهل) إيجاد قيمتي $u$ المقابلتين لحدي $x$ وتغيير الحدين ثم التكامل في $u$ مباشرة.

تعريفات

التكامل المحدد: العدد $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .
حدا التكامل: $a$ (الحد السفلي) و $b$ (الحد العلوي).

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: احسب $\int_0^2 (3x^2 + 2)\,dx$ .

الحل: $\left[x^3 + 2x\right]_0^2 = (8 + 4) - 0 = 12$ .

مثال 2: احسب $\int_1^{e} \dfrac{1}{x}\,dx$ .

الحل: $\left[\ln x\right]_1^{e} = \ln e - \ln 1 = 1$ .

مثال 3: احسب $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$ .

الحل: $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$ .

مثال 4: احسب $\int_0^1 e^{2x}\,dx$ .

الحل: $\left[\dfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2}(e^2 - 1)$ .

مثال 5 (تعويض مع تغيير الحدود): احسب $\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3\,dx$ .

الحل: $u = x^2 + 1$ و $du = 2x\,dx$ . عند $x = 0$ يكون $u = 1$ وعند $x = 1$ يكون $u = 2$ . فالتكامل $\int_1^2 u^3\,du = \left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^2 = \dfrac{16 - 1}{4} = \dfrac{15}{4}$ .

مثال 6 (دالة مقياس): احسب $\int_{-1}^{2} |x|\,dx$ .

الحل: $|x| = -x$ عندما $x < 0$ و $|x| = x$ عندما $x \ge 0$ ، فنقسم الفترة عند $0$ : $\int_{-1}^{0}(-x)\,dx + \int_0^2 x\,dx = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}$ .

مثال 7 (خاصية تجزئة الفترة): إذا كان $\int_1^4 f(x)\,dx = 7$ و $\int_1^3 f(x)\,dx = 5$ فأوجد $\int_3^4 f(x)\,dx$ .

الحل: $\int_3^4 f(x)\,dx = \int_1^4 f(x)\,dx - \int_1^3 f(x)\,dx = 7 - 5 = 2$ .

مثال 8: احسب $\int_0^5 |x - 2|\,dx$ .

الحل: $|x - 2| = 2 - x$ للقيم $x < 2$ و $x - 2$ للقيم $x \ge 2$ . فالتكامل $\int_0^2 (2 - x)\,dx + \int_2^5 (x - 2)\,dx = \left[2x - \dfrac{x^2}{2}\right]_0^2 + \left[\dfrac{x^2}{2} - 2x\right]_2^5 = 2 + \dfrac{9}{2} = \dfrac{13}{2}$ .

مثال 9 (زوجية وفردية): احسب $\int_{-2}^{2} \dfrac{x^3 - 3x}{x^2 + 4}\,dx$ و $\int_{-2}^{2} (x^4 - 3x^2 + 5)\,dx$ .

الحل: الأولى فردية لأن $f(-x) = -f(x)$ فالتكامل $0$ . والثانية زوجية فالتكامل $2\int_0^2 (x^4 - 3x^2 + 5)\,dx = 2\left[\dfrac{x^5}{5} - x^3 + 5x\right]_0^2 = 2\left(\dfrac{32}{5} + 2\right) = \dfrac{84}{5}$ .

مثال 10 (تعويض): احسب $\int_0^2 x\sqrt{x^2 + 5}\,dx$ .

الحل: $u = x^2 + 5$ و $x\,dx = \dfrac{1}{2}du$ والحدان من $5$ إلى $9$ . فالتكامل $\dfrac{1}{2}\int_5^9 u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{3}\left[u^{3/2}\right]_5^9 = \dfrac{27 - 5\sqrt{5}}{3}$ .

ملاحظات مهمة

إذا وقع جزء من المنحنى تحت المحور $x$ فإن التكامل هناك سالب؛ ولحساب المساحة الفعلية نجزّئ التكامل عند أصفار الدالة.
تحقق من اتصال الدالة على فترة التكامل قبل تطبيق النظرية الأساسية.
عند تغيير حدي التعويض لا نعود إلى المتغير $x$ في النهاية.
رمز المتغير لا يؤثر في قيمة التكامل المحدد.

المفاهيم الأساسية

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ حيث $F' = f$ .
$\int_a^b = -\int_b^a$ و $\int_a^a = 0$ وللتكامل المحدد خاصية الخطية وتجزئة الفترة.
فردية: $\int_{-a}^{a} = 0$ ، وزوجية: $2\int_0^a$ .

ملخص الدرس

التكامل المحدد من $a$ إلى $b$ هو $F(b) - F(a)$ لأي دالة أصلية $F$ للدالة المتصلة $f$ . يتبع التكامل المحدد خواص الخطية والتجزئة وتبديل الحدين، ونستفيد من زوجية الدالة وفرديتها، ونحسبه بالتعويض بتغيير حدي التكامل.

أسئلة للتدريب

احسب $\int_1^3 \left(2x - \dfrac{1}{x^2}\right)dx$ .
احسب $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\,dx$ .
احسب $\int_{-3}^{3} \left(x^3 + x\right)dx$ و $\int_{-1}^{1} \left(3x^2 + 1\right)dx$ .
احسب $\int_1^e \dfrac{(\ln x)^2}{x}\,dx$ بالتعويض.
احسب $\int_0^4 |x - 1|\,dx$ .