أسئلة: مقاييس النزعة المركزية للجدول التكراري ذي المجموعات

الإجابة الصحيحة: $15$

مركز الفئة يساوي مجموع الحد الأدنى والحد الأعلى مقسومًا على 2: $(10 + 20) / 2 = 30 / 2 = 15$.

الإجابة الصحيحة: المنوال

الفئة المنوالية هي الفئة الأكثر شيوعًا أو تكرارًا في البيانات، وعليه يُعرّف المنوال.

الإجابة الصحيحة: $20$

نحسب أولاً نصف مجموع التكرارات $\frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20$، ثم نبحث عن أول فئة يصل عندها التكرار المتجمع الصاعد إلى 20 أو يتجاوزه.

الإجابة الصحيحة: المدرج التكراري

نقدّر المنوال بيانيًا من المدرج التكراري برسم قطعتين متقاطعتين داخل مستطيل المجموعة المنوالية وإسقاط نقطة تقاطعهما على المحور الأفقي.

الإجابة الصحيحة: الوسط الحسابي

الوسط الحسابي يأخذ في الاعتبار جميع القيم والتكرارات عبر مراكز الفئات، مما يجعله حساسًا للقيم المتطرفة.

الإجابة الصحيحة: $40$

حاصل الضرب يُحسب بضرب التكرار في مركز الفئة: $5 \times 8 = 40$.

الإجابة الصحيحة: افتراض أن جميع قيم الفئة تتركز عند منتصفها لعدم معرفة القيم الفردية

في الجدول ذي المجموعات لا نعرف القيم الفردية داخل كل مجموعة، فنفترض أنها تتركز عند مركز المجموعة (منتصفها) ونستخدمه ممثلًا لها في الحساب.

الإجابة الصحيحة: (3 – 5)

الفئة المنوالية هي الفئة التي لها أكبر تكرار، وأكبر تكرار هنا هو 6 المقابل للفئة (3 – 5).

الإجابة الصحيحة: $6$

الوسط الحسابي = مجموع حاصل ضرب التكرار في مركز الفئة ÷ مجموع التكرارات = $150 / 25 = 6$.

الإجابة الصحيحة: القيمة التي تقسم البيانات المرتبة إلى نصفين متساويين تقريبًا

الوسيط هو المقياس الذي يتوسط البيانات المرتبة ويقسمها إلى نصفين متساويين في عدد المفردات تقريبًا.

الإجابة الصحيحة: $25$

$n = 32$ فترتيب الوسيط $= 16$، ويقع بين $12$ (عند $20$) و $20$ (عند $30$): الوسيط $= 20 + 10 \times \frac{16 - 12}{20 - 12} = 25$.

الإجابة الصحيحة: التوزيع ذو منوالين

إذا وُجدت فئتان لهما نفس التكرار الأكبر، يقال إن التوزيع ثنائي المنوال أو ذو منوالين.

1. مراكز المجموعات: $4$ ، $8$ ، $12$ ، $16$. 2. حواصل الضرب $f \cdot x_m$: $4 \times 4 = 16$ ، $8 \times 8 = 64$ ، $6 \times 12 = 72$ ، $2 \times 16 = 32$. 3. $\sum f = 20$ و $\sum (f \cdot x_m) = 16 + 64 + 72 + 32 = 184$. 4. $\bar{x} = \frac{184}{20} = 9.2$.

- المجموعة المنوالية هي $6 -$ لأن تكرارها $8$ هو الأكبر. - نرسم المدرج التكراري، ثم نصل الركن الأيمن العلوي لمستطيل المجموعة المنوالية بالركن الأيمن العلوي للمستطيل السابق، والركن الأيسر العلوي لها بالركن الأيسر العلوي للمستطيل التالي، ونُسقط نقطة التقاطع على المحور الأفقي. - تكرار المجموعة السابقة $4$ وتكرار التالية $6$، والتالية أكبر، فيقع المنوال أقرب إلى $10$ (بالرسم الدقيق ≈ $8.7$).

1. الجدول المتجمع الصاعد: أقل من $2$ ← $0$ ، أقل من $6$ ← $4$ ، أقل من $10$ ← $12$ ، أقل من $14$ ← $18$ ، أقل من $18$ ← $20$. 2. ترتيب الوسيط $= \frac{20}{2} = 10$، ويقع بين $4$ (عند $6$) و $12$ (عند $10$). 3. بالتناسب: $\frac{\text{الوسيط} - 6}{10 - 6} = \frac{10 - 4}{12 - 4} = \frac{6}{8}$، إذن الوسيط $= 6 + 4 \times \frac{3}{4} = 9$. (ويمكن قراءة القيمة نفسها من المنحنى التكراري المتجمع الصاعد.)

- الوسيط: نحسب ترتيبه $\frac{n}{2}$، ونكوّن الجدول المتجمع الصاعد ونرسم منحناه، ثم نقرأ على المحور الأفقي القيمة المقابلة لترتيب الوسيط. - المنوال: نرسم المدرج التكراري، ونحدد المجموعة الأكبر تكرارًا (المنوالية)، ونرسم داخل مستطيلها قطعتين متقاطعتين تصلان ركنيه العلويين بركني المستطيلين المجاورين، ثم نُسقط نقطة التقاطع على المحور الأفقي.

1. المراكز: $2.5$ ، $7.5$ ، $12.5$. 2. $f \cdot x_m$: $5$ ، $37.5$ ، $37.5$. 3. $\sum f = 10$ و $\sum (f \cdot x_m) = 80$. 4. $\bar{x} = \frac{80}{10} = 8$ ساعات.

يحدث هذا الاختلاف عادةً بسبب وجود قيم متطرفة أو شاذة في البيانات (مثل درجات منخفضة جداً أو مرتفعة جداً في فئات أطراف الجدول). - **الوسط الحسابي** يتأثر بشكل كبير بهذه القيم لأنه يأخذ في الحسبان جميع القيم والتكرارات عبر مراكز الفئات. - أما **الوسيط** فهو لا يتأثر بالقيم المتطرفة لأنه يعتمد على ترتيب البيانات وموقعه يتحدد بمنتصف التكرار المتجمع الصاعد، مما يجعله أكثر تمثيلاً للوسط في حال وجود التواء أو قيم شاذة.