أسئلة: حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة

الإجابة الصحيحة: $\{-6,6\}$

العددان اللذان يبعدان 6 وحدات عن الصفر هما $6$ و$-6$.

الإجابة الصحيحة: $\{-3,7\}$

$x-2=5$ تعطي $x=7$، و$x-2=-5$ تعطي $x=-3$.

الإجابة الصحيحة: $\varnothing$

المقياس لا يكون سالبًا أبدًا، فلا يوجد عدد حقيقي يحقق المعادلة.

الإجابة الصحيحة: $\left\{\frac{3}{2}\right\}$

المقياس يساوي صفرًا فقط عندما يكون ما بداخله صفرًا: $2x-3=0$.

الإجابة الصحيحة: $\{-5,1\}$

$3x+6=9$ تعطي $x=1$، و$3x+6=-9$ تعطي $x=-5$.

الإجابة الصحيحة: $\{-1\}$

$x-1=x+3$ مستحيلة، و$x-1=-(x+3)$ تعطي $2x=-2$ أي $x=-1$.

الإجابة الصحيحة: $\{1\}$

الحالة $x-3=2x$ تعطي $x=-3$ ويُرفض لأن $2x=-6<0$. الحالة $x-3=-2x$ تعطي $x=1$ ويتحقق: $|1-3|=2=2(1)$.

الإجابة الصحيحة: $|x-5|$

$x^2-10x+25=(x-5)^2$ و$\sqrt{A^2}=|A|$.

الإجابة الصحيحة: $|a+b|\le|a|+|b|$

المتباينة المثلثية $|a+b|\le|a|+|b|$ صحيحة دائمًا، ويتحقق التساوي فقط عندما يكون للعددين الإشارة نفسها أو يكون أحدهما صفرًا.

الإجابة الصحيحة: $(-3,3)$

$|x|<3$ تكافئ $-3<x<3$، والطرفان غير داخلين لأن المتباينة تامة.

الإجابة الصحيحة: $(-\infty,-3]\cup[5,\infty)$

$x-1\ge4$ تعطي $x\ge5$، أو $x-1\le-4$ تعطي $x\le-3$.

الإجابة الصحيحة: $(-3,2)$

$-5<2x+1<5$، ومنه $-6<2x<4$، أي $-3<x<2$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R}$

المقياس غير سالب دائمًا، فهو أكبر من أي عدد سالب لكل $x\in\mathbb{R}$.

الإجابة الصحيحة: $|x-6|\le4$

منتصف الفترة $\frac{2+10}{2}=6$ ونصف طولها $4$، فالفترة هي الأعداد التي لا يزيد بعدها عن 6 على 4.

الإجابة الصحيحة: $-4<x<2$

المنحنى أسفل المستقيم عندما $|x+1|<3$، أي $-3<x+1<3$، ومنه $-4<x<2$.

الإجابة الصحيحة: $\{-5,3\}$

$\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|=4$، إذن $x+1=4$ أو $x+1=-4$.

الحالة الأولى: $2x-3=x+3$ ومنها $x=6$، والتحقق: $|12-3|=9$ و$6+3=9$، مقبول. الحالة الثانية: $2x-3=-(x+3)$ ومنها $3x=0$ أي $x=0$، والتحقق: $|0-3|=3$ و$0+3=3$، مقبول. مجموعة الحل $\{0,6\}$.

$-9\le3x-6\le9$، نضيف 6: $-3\le3x\le15$، نقسم على 3: $-1\le x\le5$. مجموعة الحل $[-1,5]$، وتمثل على خط الأعداد بقطعة مستقيمة من $-1$ إلى $5$ بنقطتين مظللتين عند الطرفين.

$\sqrt{x^2-8x+16}=\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|$. نحل $|x-4|=2x+1$: الحالة الأولى $x-4=2x+1$ تعطي $x=-5$، ويُرفض لأن $2x+1=-9<0$. الحالة الثانية $x-4=-2x-1$ تعطي $3x=3$ أي $x=1$، والتحقق: $|1-4|=3=2(1)+1$. مجموعة الحل $\{1\}$.

الشرط: $|L-120|\le0.5$. إذن $-0.5\le L-120\le0.5$، ومنه $119.5\le L\le120.5$. فالقضيب مقبول إذا كان طوله في الفترة $[119.5,120.5]$ سم.