أسئلة: التمثيل البياني للدوال والتحويلات الهندسية

الإجابة الصحيحة: إزاحة 5 وحدات لأعلى

إضافة عدد موجب خارج الدالة ترفع كل نقطة من المنحنى بمقداره.

الإجابة الصحيحة: اليمين

استبدال $x$ بـ $x-4$ يزيح المنحنى أفقيًّا عكس الإشارة، أي 4 وحدات لليمين.

الإجابة الصحيحة: اليسار

$f(x+3)$ إزاحة أفقية 3 وحدات لليسار، ونقطة بدء الشعاعين تصبح $(-3,0)$.

الإجابة الصحيحة: $(2,3)$

الرأس ينتقل من $(0,0)$ إلى $(2,3)$: وحدتان يمينًا و3 وحدات لأعلى.

الإجابة الصحيحة: $(3,4)$

منحنى $\frac{1}{x}$ مزاح 3 وحدات يمينًا و4 لأعلى، فنقطة التماثل $(3,4)$.

الإجابة الصحيحة: $[-5,\infty)$

المنحنى مفتوح لأعلى ورأسه $(-1,-5)$، فأصغر قيمة للدالة $-5$.

الإجابة الصحيحة: $(-\infty,4]$

$-|x|\le 0$، إذن $4-|x|\le4$ وتتحقق القيمة 4 عند $x=0$.

الإجابة الصحيحة: الانعكاس في محور السينات

ضرب الدالة في $-1$ يغيّر إشارة كل إحداثي صادي، وهذا انعكاس في محور السينات.

الإجابة الصحيحة: $y=3x^2$

الضرب في $a>1$ تمدد رأسي يجعل المنحنى أضيق، أما الإزاحات فلا تغيّر شكله.

الإجابة الصحيحة: $y=(x+2)^3-5$

اليسار يعني $x+2$ داخل الدالة، ولأسفل يعني طرح 5 خارجها.

الإجابة الصحيحة: $(-\infty,1)$

نقطة بدء الشعاعين $(1,2)$ والمنحنى مفتوح لأعلى؛ فهو متناقص يسار $x=1$ ومتزايد يمينها.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$

المقام يساوي صفرًا عند $x=-2$ فتُستبعد هذه القيمة وحدها.

الإجابة الصحيحة: $[2,4]$

مدى $\sin x$ هو $[-1,1]$، والإزاحة لأعلى 3 وحدات تجعله $[2,4]$.

الإجابة الصحيحة: $(3,1)$

إزاحة 3 يمينًا ثم انعكاس في محور السينات ثم إزاحة وحدة لأعلى، فتنتقل $(0,0)$ إلى $(3,1)$.

الإجابة الصحيحة: $[0,\infty)$

الجزء $x^2$ على $(-\infty,2)$ يأخذ كل القيم في $[0,\infty)$ لأن $x$ السالبة الكبيرة تعطي مربعات كبيرة، والجزء الثاني يضيف القيمة 4 الموجودة أصلًا؛ فالمدى $[0,\infty)$.

إزاحة وحدة واحدة لليسار، ثم انعكاس في محور السينات، ثم إزاحة 4 وحدات لأعلى. رأس المنحنى $(-1,4)$ وهو مفتوح لأسفل، إذن المدى $(-\infty,4]$. الدالة متزايدة على $(-\infty,-1)$ ومتناقصة على $(-1,\infty)$.

المنحنى هو منحنى $y=\frac{1}{x}$ مزاحًا وحدتين لليسار ووحدة لأعلى، فنقطة التماثل $(-2,1)$. خطا التقارب: $x=-2$ و$y=1$. المجال $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$، والمدى $\mathbb{R}\setminus\{1\}$، والدالة متناقصة على كل من $(-\infty,-2)$ و$(-2,\infty)$.

القاعدة: $f(x)=2|x-3|-1$. نقطة بدء الشعاعين $(3,-1)$. لإيجاد التقاطع مع محور السينات: $2|x-3|-1=0$، أي $|x-3|=\frac{1}{2}$، ومنه $x=3.5$ أو $x=2.5$. إذن النقطتان $(2.5,0)$ و$(3.5,0)$.

الجزء الأول مستقيم ميله 1 ينتهي بنقطة مفرغة عند $(0,2)$ ويأخذ القيم $(-\infty,2)$. الجزء الثاني نصف قطع مكافئ مفتوح لأسفل يبدأ بنقطة مظللة عند $(0,2)$ ويأخذ القيم $(-\infty,2]$. إذن مدى الدالة $(-\infty,2]$.