ملخص التمثيل البياني للدوال والتحويلات الهندسية — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات

إذا عرفت شكل منحنى بسيط مثل $y=x^2$ أو $y=|x|$ ، فلست مضطرًا إلى إعداد جدول قيم طويل لكل دالة جديدة تشبهه. يكفي أن تلاحظ كيف تغيّرت القاعدة: هل أضيف عدد إلى الدالة؟ هل استُبدل $x$ بـ $x-3$ ؟ هل ضُربت الدالة في عدد؟ كل تغيير من هذه التغييرات يحرّك المنحنى أو يقلبه أو يمدّه بطريقة ثابتة يمكن التنبؤ بها. هذه الطريقة تسمى التحويلات الهندسية لمنحنيات الدوال.

أهداف التعلم

أن يرسم الطالب منحنيات الدوال الأساسية: $y=x$ و $y=x^2$ و $y=x^3$ و $y=|x|$ و $y=\frac{1}{x}$ ، ويذكر مجال كل منها ومداها واطرادها.
أن يرسم الطالب منحنى دالة متعددة القاعدة على فتراتها.
أن يستخدم الطالب الإزاحة الرأسية والأفقية لرسم منحنى جديد من منحنى معلوم.
أن يرسم الطالب منحنيي $y=-f(x)$ و $y=a\,f(x)$ من منحنى $y=f(x)$ .
أن يكتب الطالب قاعدة دالة من وصف التحويلات التي أجريت على منحنى أساسي، والعكس.

شرح الدرس

منحنيات الدوال الأساسية

الدالة	شكل المنحنى	المجال	المدى	ملاحظة
$y=x$	مستقيم يمر بنقطة الأصل ميله $1$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	فردية ومتزايدة على $\mathbb{R}$
$y=x^2$	قطع مكافئ رأسه $(0,0)$ مفتوح لأعلى	$\mathbb{R}$	$[0,\infty)$	زوجية، متناقصة على $(-\infty,0)$ ومتزايدة على $(0,\infty)$
$y=x^3$	منحنى متماثل حول نقطة الأصل	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	فردية ومتزايدة على $\mathbb{R}$
$y=\lvert x\rvert$	شعاعان يبدآن من $(0,0)$	$\mathbb{R}$	$[0,\infty)$	زوجية، متناقصة على $(-\infty,0)$ ومتزايدة على $(0,\infty)$
$y=\frac{1}{x}$	فرعان في الربعين الأول والثالث	$\mathbb{R}\setminus\{0\}$	$\mathbb{R}\setminus\{0\}$	فردية، متناقصة على $(-\infty,0)$ وعلى $(0,\infty)$

تذكّر أن دالة المقياس تعرّف بقاعدتين:

|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0\\ -x, & x<0 \end{cases}

ومنحنى $y=\frac{1}{x}$ يقترب من المحورين دون أن يقطعهما؛ فالمستقيمان $x=0$ و $y=0$ خطا تقارب له.

الدالة متعددة القاعدة

قد تُعطى الدالة بأكثر من قاعدة، لكل قاعدة فترة خاصة بها. نرسم كل قاعدة على فترتها فقط، ونستخدم نقطة مظللة عند طرف مغلق (داخل الفترة) ونقطة مفرغة عند طرف مفتوح. مثلًا إذا كانت $f(x)=x^2$ عندما $x<1$ و $f(x)=3$ عندما $x\ge1$ ، فإننا نرسم جزء القطع المكافئ حتى $x=1$ وننهيه بنقطة مفرغة عند $(1,1)$ ، ثم نرسم شعاعًا أفقيًّا يبدأ بنقطة مظللة عند $(1,3)$ .

الإزاحة الرأسية: $y=f(x)+k$

إضافة عدد $k$ إلى ناتج الدالة ترفع كل نقطة من المنحنى أو تخفضها بالمقدار نفسه:

إذا كان $k>0$ يُزاح المنحنى $k$ وحدة لأعلى.
إذا كان $k<0$ يُزاح المنحنى $|k|$ وحدة لأسفل.

فمنحنى $y=x^2+2$ هو منحنى $y=x^2$ مرفوعًا وحدتين، ورأسه $(0,2)$ .

الإزاحة الأفقية: $y=f(x+h)$

عند استبدال $x$ بـ $x+h$ داخل الدالة يتحرك المنحنى أفقيًّا، لكن في الاتجاه المعاكس لإشارة $h$ :

$y=f(x-3)$ : إزاحة $3$ وحدات إلى اليمين.
$y=f(x+2)$ : إزاحة وحدتين إلى اليسار.

السبب: لكي يعطي $f(x-3)$ القيمة نفسها التي يعطيها $f(0)$ نحتاج إلى $x=3$ ؛ أي أن كل نقطة تتأخر ثلاث وحدات يمينًا.

منحنى y يساوي x تربيع مع ثلاث صور له: مرفوع وحدتين، ومزاح ثلاث وحدات يمينًا، ومزاح وحدتين يسارًا وثلاث وحدات لأسفل

في الشكل: رأس $y=x^2+2$ هو $(0,2)$ ، ورأس $y=(x-3)^2$ هو $(3,0)$ ، ورأس $y=(x+2)^2-3$ هو $(-2,-3)$ .

الانعكاس في محور السينات: $y=-f(x)$

ضرب الدالة كلها في $-1$ يغيّر إشارة كل إحداثي صادي ويُبقي الإحداثي السيني كما هو؛ فتنقلب النقطة $(x,y)$ إلى $(x,-y)$ . لذلك منحنى $y=-x^2$ قطع مكافئ مفتوح لأسفل، ومنحنى $y=-|x|$ على شكل حرف V مقلوب.

التمدد الرأسي: $y=a\,f(x)$ حيث $a>0$

ضرب الدالة في عدد موجب $a$ يضرب كل إحداثي صادي في $a$ :

إذا كان $a>1$ يتمدد المنحنى رأسيًّا (يبدو أضيق وأكثر انحدارًا).
إذا كان $0<a<1$ ينكمش المنحنى رأسيًّا (يبدو أعرض).

النقاط الواقعة على محور السينات لا تتحرك؛ لأن $a\times0=0$ .

منحنى القيمة المطلقة مع صوره: مقلوبًا في محور x، وممددًا بمعامل 2، ومنكمشًا بمعامل نصف

الجمع بين أكثر من تحويل: $y=a\,f(x+h)+k$

نطبق التحويلات بالترتيب: الإزاحة الأفقية، ثم التمدد أو الانعكاس، ثم الإزاحة الرأسية. وتنتقل النقطة المميزة (رأس القطع أو نقطة بدء الشعاعين أو نقطة التماثل) من $(0,0)$ إلى $(-h,k)$ .

الإزاحة في الدوال المثلثية

تنطبق القواعد نفسها على الدوال المثلثية. فمنحنى $y=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ هو منحنى $y=\sin x$ مزاحًا أفقيًّا بمقدار $\frac{\pi}{3}$ إلى اليسار، ومداه ما زال $[-1,1]$ . أما منحنى $y=\sin x+2$ فهو منحنى الجيب مرفوعًا وحدتين، ومداه $[1,3]$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: ارسم $g(x)=(x-1)^2-4$ وحدد مداه واطراده.

منحنى $g$ هو منحنى $y=x^2$ بإزاحة وحدة واحدة يمينًا ثم $4$ وحدات لأسفل؛ فرأسه $(1,-4)$ والمنحنى مفتوح لأعلى. إذن المدى $[-4,\infty)$ ، والدالة متناقصة على $(-\infty,1)$ ومتزايدة على $(1,\infty)$ .

مثال 2: صف التحويلات التي تنقل $y=|x|$ إلى $h(x)=3-|x+2|$ .

نكتب $h(x)=-|x+2|+3$ : إزاحة وحدتين يسارًا، ثم انعكاس في محور السينات، ثم إزاحة $3$ وحدات لأعلى. نقطة بدء الشعاعين $(-2,3)$ ، والمنحنى مفتوح لأسفل، والمدى $(-\infty,3]$ .

مثال 3: ارسم $r(x)=\frac{1}{x-2}+1$ وحدد مجاله ومداه.

منحنى $y=\frac{1}{x}$ مزاح وحدتين يمينًا ووحدة لأعلى؛ فنقطة التماثل $(2,1)$ ، وخطا التقارب $x=2$ و $y=1$ . إذن المجال $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ والمدى $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ، والدالة متناقصة على كل من $(-\infty,2)$ و $(2,\infty)$ .

مثال 4: منحنى دالة هو منحنى $y=x^3$ بعد إزاحة $4$ وحدات يسارًا ثم وحدتين لأسفل. اكتب قاعدتها.

الإزاحة يسارًا تعني $x+4$ ، والإزاحة لأسفل تعني طرح $2$ : $f(x)=(x+4)^3-2$ ، ونقطة تماثل المنحنى $(-4,-2)$ .

ملاحظات مهمة

الإزاحة الأفقية تعاكس الإشارة: $f(x-5)$ إلى اليمين وليس اليسار.
$-f(x)$ انعكاس في محور السينات، ولا يغيّر المجال؛ لكنه يغيّر المدى والاطراد.
في $y=a\,f(x)$ لا تتغير نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات.
في الدالة متعددة القاعدة انتبه إلى النقطة المظللة والنقطة المفرغة عند نقطة التحول.

المفاهيم الأساسية

$y=f(x)+k$ : إزاحة رأسية بمقدار $|k|$ لأعلى إذا $k>0$ ولأسفل إذا $k<0$ .
$y=f(x+h)$ : إزاحة أفقية بمقدار $|h|$ لليسار إذا $h>0$ ولليمين إذا $h<0$ .
$y=-f(x)$ : انعكاس في محور السينات.
$y=a\,f(x)$ مع $a>1$ تمدد رأسي، ومع $0<a<1$ انكماش رأسي.
في $y=a\,f(x+h)+k$ تنتقل النقطة المميزة من $(0,0)$ إلى $(-h,k)$ .

ملخص الدرس

نبدأ من منحنى دالة أساسية نعرفه، ثم نقرأ التغييرات في القاعدة: ما يضاف خارج الدالة يحرّك المنحنى رأسيًّا، وما يضاف إلى $x$ داخلها يحرّكه أفقيًّا عكس إشارته، والإشارة السالبة أمام الدالة تقلبه في محور السينات، والمعامل الموجب يمدّه أو يضغطه رأسيًّا. ومن الرسم الناتج نقرأ المجال والمدى والاطراد مباشرة.

أسئلة للتدريب

ارسم $f(x)=(x+3)^2+1$ ، واكتب إحداثيي رأس المنحنى ومدى الدالة.
صف التحويلات التي تنقل منحنى $y=|x|$ إلى منحنى $y=|x-4|-2$ ، ثم حدد اطراد الدالة.
اكتب قاعدة الدالة الناتجة من إزاحة منحنى $y=\frac{1}{x}$ ثلاث وحدات لليسار ووحدتين لأسفل، وحدد مجالها ومداها.
ارسم الدالة: $f(x)=|x|$ عندما $x<0$ ، و $f(x)=x^2$ عندما $x\ge0$ ، ثم استنتج مداها.
ما مدى الدالة $y=2\sin x-1$ ؟ فسّر إجابتك بالتحويلات الهندسية.