ملخص المعادلات الأسية — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

متى يصبح $2^x$ مساويًا $32$ ؟ يمكنك التجربة: $2^1=2$ ، $2^2=4$ ، …، $2^5=32$ ، فالإجابة $x=5$ . المعادلة التي يظهر فيها المتغير في الأس تسمى معادلة أسية. في هذا الدرس نتعلم طرقًا منظمة لحلها دون تجربة، معتمدين على أن الدالة الأسية أحادية.

أهداف التعلم

أن يحل الطالب معادلة أسية بكتابة طرفيها بالأساس نفسه.
أن يحل الطالب معادلة أسية طرفاها بأسين متساويين وأساسين مختلفين.
أن يحل الطالب معادلات أسية تؤول إلى معادلة تربيعية.
أن يحل الطالب معادلة أسية بيانيًّا.

شرح الدرس

المعادلة الأسية

المعادلة الأسية معادلة يظهر فيها المتغير في الأس، مثل $3^{x+1}=27$ أو $4^x-5\times2^x+4=0$ .

القاعدة الأولى: تساوي الأساسين

إذا كان $a^{m}=a^{n}$ حيث $a>0$ و $a\ne1$ ، فإن $m=n$ .

هذه القاعدة صحيحة لأن الدالة الأسية أحادية. ولاستخدامها نكتب الطرفين كقوتين للأساس نفسه، ثم نساوي الأسين. أمثلة على الأساسات المشتركة:

الأعداد	بالأساس
$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64$	$2^1,\ 2^2,\ 2^3,\ 2^4,\ 2^5,\ 2^6$
$3,\ 9,\ 27,\ 81,\ 243$	$3^1,\ 3^2,\ 3^3,\ 3^4,\ 3^5$
$5,\ 25,\ 125,\ 625$	$5^1,\ 5^2,\ 5^3,\ 5^4$
$\frac{1}{8},\ \sqrt{2},\ 1$	$2^{-3},\ 2^{\frac{1}{2}},\ 2^{0}$

لماذا نستبعد $a=1$ ؟ لأن $1^{5}=1^{7}$ مع أن $5\ne7$ .

القاعدة الثانية: تساوي الأسين

إذا كان $a^{m}=b^{m}$ حيث $a,b$ موجبان ومختلفان، فإن $m=0$ .

مثلًا $5^{x-3}=2^{x-3}$ تعطي $x-3=0$ ، أي $x=3$ ؛ لأن أي عدد موجب قوته صفر يساوي $1$ ، ولا يتساوى قوتان متماثلتان لأساسين مختلفين إلا عند الأس صفر.

معادلات تؤول إلى معادلة تربيعية

إذا ظهر في المعادلة $a^{2x}$ و $a^{x}$ معًا، نضع $y=a^x$ حيث $y>0$ ، فتصبح المعادلة تربيعية في $y$ . بعد حلها نرفض أي قيمة غير موجبة لـ $y$ لأن $a^x>0$ دائمًا.

الحل البياني

لحل $f(x)=g(x)$ حيث أحد الطرفين أسي، نرسم المنحنيين ونقرأ الإحداثي السيني لنقطة التقاطع. مثلًا لحل $2^x=3-x$ نرسم $y=2^x$ والمستقيم $y=3-x$ ، فيتقاطعان عند النقطة $(1,2)$ ، ومجموعة الحل $\{1\}$ . وهذه الطريقة مفيدة عندما لا يمكن توحيد الأساسات.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حل $3^{x+2}=\frac{1}{27}$ .

$3^{x+2}=3^{-3}$ ، إذن $x+2=-3$ و $x=-5$ . مجموعة الحل $\{-5\}$ .

مثال 2: حل $4^{x-1}=8^{x}$ .

نكتب بالأساس $2$ : $2^{2(x-1)}=2^{3x}$ ، إذن $2x-2=3x$ و $x=-2$ . مجموعة الحل $\{-2\}$ .

مثال 3: حل $\left(\sqrt{5}\right)^{x}=125$ .

$5^{\frac{x}{2}}=5^{3}$ ، إذن $\frac{x}{2}=3$ و $x=6$ .

مثال 4: حل $7^{x^2-4}=1$ .

$7^{x^2-4}=7^{0}$ ، إذن $x^2=4$ و $x=\pm2$ . مجموعة الحل $\{-2,2\}$ .

مثال 5: حل $3^{2x}-10\times3^{x}+9=0$ .

نضع $y=3^x$ : $y^2-10y+9=0$ ، أي $(y-1)(y-9)=0$ . إذن $3^x=1$ فتكون $x=0$ ، أو $3^x=9$ فتكون $x=2$ . مجموعة الحل $\{0,2\}$ .

مثال 6: حل $2^{x+1}+2^{x}=24$ .

نأخذ $2^x$ عاملًا مشتركًا: $2^x(2+1)=24$ ، إذن $2^x=8$ و $x=3$ .

مثال 7: حل $2^{2x}-2^{x}-12=0$ .

نضع $y=2^x$ : $y^2-y-12=0$ ، أي $(y-4)(y+3)=0$ . القيمة $y=-3$ مرفوضة لأن $2^x>0$ . إذن $2^x=4$ و $x=2$ .

ملاحظات مهمة

وحّد الأساس قبل مساواة الأسس، ولا تساوِ أسي أساسين مختلفين إلا في حالة الأس صفر.
$a^x=1$ تعني أن الأس يساوي صفرًا (عندما $a\ne1$ ).
في التعويض $y=a^x$ ارفض القيم السالبة والصفرية لـ $y$ .
$a^{x+1}=a^x\times a$ وليست $a^x+a$ .

المفاهيم الأساسية

$a^m=a^n\Rightarrow m=n$ عندما $a>0$ و $a\ne1$ .
$a^m=b^m\Rightarrow m=0$ عندما $a\ne b$ .
المعادلات التي تحتوي $a^{2x}$ و $a^x$ تحل بالتعويض $y=a^x>0$ .
الحل البياني: الإحداثي السيني لنقطة تقاطع المنحنيين.

ملخص الدرس

نحل المعادلة الأسية غالبًا بتحويلها إلى معادلة بين الأسس: نكتب الطرفين بأساس واحد ثم نساوي الأسين، أو نلاحظ أن تساوي قوتين لأساسين مختلفين يعني أن الأس صفر. وإذا ظهرت قوتان إحداهما مربع الأخرى نستخدم التعويض فنحصل على معادلة تربيعية. وعند تعذر الطرق الجبرية يعطينا الرسم الحل من نقطة التقاطع.

أسئلة للتدريب

حل: $5^{2x-1}=125$ .
حل: $9^{x}=27^{x+1}$ .
حل: $6^{x+2}=7^{x+2}$ .
حل: $2^{2x}-6\times2^{x}+8=0$ .
حل بيانيًّا: $2^{x}=x+2$ باستخدام برنامج رسومي أو ورق رسم بياني، ثم تحقق من حلك بالتعويض.