ملخص الأسس الكسرية — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

تعلمت أن $3^2=9$ وأن $\sqrt{9}=3$ ، وأن $2^3=8$ وأن $\sqrt[3]{8}=2$ . فكيف نفهم عددًا مثل $8^{\frac{2}{3}}$ أو $32^{0.2}$ ؟ الفكرة أن الأس الكسري طريقة أخرى لكتابة الجذر، وبها نستطيع استخدام قوانين الأسس التي نعرفها في تبسيط مقادير تحتوي جذورًا.

أهداف التعلم

أن يحدد الطالب عدد الجذور الحقيقية للمعادلة $x^n=a$ حسب زوجية $n$ وإشارة $a$ .
أن يوجد الطالب الجذر النوني لعدد ويستخدم خواص الجذور في التبسيط.
أن يحوّل الطالب بين الصورة الجذرية والصورة ذات الأس الكسري.
أن يطبق الطالب قوانين الأسس على الأسس الكسرية.
أن يحل الطالب معادلات بسيطة على الصورة $x^{\frac{m}{n}}=a$ .

شرح الدرس

الجذر النوني

إذا كان $x^n=a$ حيث $n$ عدد صحيح أكبر من $1$ ، فإن $x$ يسمى جذرًا نونيًّا للعدد $a$ . عدد الجذور الحقيقية يعتمد على $n$ وعلى إشارة $a$ :

الحالة	عدد الجذور الحقيقية	مثال
$n$ زوجي و $a>0$	جذران متعاكسان: $\pm\sqrt[n]{a}$	$x^4=16$ تعطي $x=\pm2$
$n$ زوجي و $a<0$	لا توجد جذور حقيقية	$x^2=-9$
$n$ فردي و $a\ne0$	جذر حقيقي وحيد له إشارة $a$	$x^3=-27$ تعطي $x=-3$
$a=0$	جذر وحيد هو $0$	$x^5=0$

الرمز $\sqrt[n]{a}$ يعني الجذر النوني الأساسي: وهو الجذر غير السالب عندما يكون $n$ زوجيًّا، والجذر الوحيد عندما يكون $n$ فرديًّا. لذلك $\sqrt[4]{81}=3$ وليس $-3$ ، و $\sqrt[3]{-125}=-5$ ، بينما $\sqrt[4]{-16}$ غير معرف في $\mathbb{R}$ .

ملاحظة مهمة: $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ إذا كان $n$ زوجيًّا، و $\sqrt[n]{a^n}=a$ إذا كان $n$ فرديًّا. فمثلًا $\sqrt{(-4)^2}=4$ لكن $\sqrt[3]{(-4)^3}=-4$ .

خواص الجذور النونية

إذا كان $\sqrt[n]{a}$ و $\sqrt[n]{b}$ معرّفين في $\mathbb{R}$ فإن:

\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\times\sqrt[n]{b},\qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\quad (b\ne0)

مثال: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times2}=3\sqrt[3]{2}$ ، و $\sqrt[4]{\frac{16}{81}}=\frac{2}{3}$ .

تعريف الأس الكسري

نعرّف $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ عندما يكون الجذر معرّفًا. وبصورة أعم، إذا كان $\frac{m}{n}$ كسرًا في أبسط صورة و $n>1$ فإن:

a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}

البسط $m$ هو القوة، والمقام $n$ هو رتبة الجذر. ويفضّل حساب الجذر أولًا لأن الأعداد تبقى صغيرة:

27^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9

قوانين الأسس تبقى صحيحة

لأي أسس نسبية $m$ و $n$ ولأعداد موجبة $a$ و $b$ :

القانون	مثال
$a^m\times a^n=a^{m+n}$	$5^{\frac{1}{2}}\times5^{\frac{3}{2}}=5^{2}=25$
$a^m\div a^n=a^{m-n}$	$8^{\frac{5}{3}}\div8^{\frac{2}{3}}=8^{1}=8$
$\left(a^m\right)^n=a^{mn}$	$\left(16^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{3}{2}}=16^{\frac{3}{4}}=8$
$(ab)^m=a^m b^m$	$(4\times9)^{\frac{1}{2}}=2\times3=6$
$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$	$32^{-\frac{2}{5}}=\frac{1}{4}$
$a^0=1$	$\left(\frac{7}{3}\right)^0=1$

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد قيمة $16^{\frac{3}{4}}$ و $\left(\frac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}$ .

16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8

\left(\frac{1}{125}\right)^{-\frac{2}{3}}=125^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{125}\right)^2=5^2=25

مثال 2: ضع في أبسط صورة: $\sqrt[3]{24x^6y^4}$ حيث $y>0$ .

\sqrt[3]{8\times3\times x^6\times y^3\times y}=2x^2y\sqrt[3]{3y}

مثال 3: بسّط $\frac{9^{\frac{1}{3}}\times 3^{\frac{4}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}$ .

نكتب كل الأعداد بالأساس $3$ : $9^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{3}}$ و $27^{\frac{1}{3}}=3$ ، إذن المقدار يساوي

3^{\frac{2}{3}+\frac{4}{3}-1}=3^{1}=3

مثال 4: أوجد مجموعة حل $x^{\frac{3}{2}}=64$ .

نرفع الطرفين للقوة $\frac{2}{3}$ : $x=64^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{64}\right)^2=16$ . (لاحظ أن $x^{\frac{3}{2}}$ معرفة فقط عندما $x\ge0$ .) مجموعة الحل $\{16\}$ .

مثال 5: أوجد مجموعة حل $x^{\frac{2}{3}}=9$ .

$\left(\sqrt[3]{x}\right)^2=9$ ، إذن $\sqrt[3]{x}=\pm3$ ، ومنه $x=27$ أو $x=-27$ . مجموعة الحل $\{-27,27\}$ .

ملاحظات مهمة

$\sqrt[4]{16}=2$ فقط، أما المعادلة $x^4=16$ فحلاها $\pm2$ .
$(-8)^{\frac{1}{3}}=-2$ معرّف، لكن $(-16)^{\frac{1}{4}}$ غير معرف في $\mathbb{R}$ .
الأس السالب لا يجعل الناتج سالبًا: $4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$ .
لا تجمع الجذور المختلفة مباشرة: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$ وليس $\sqrt{25}$ .

المفاهيم الأساسية

المعادلة $x^n=a$ : جذران متعاكسان إذا $n$ زوجي و $a>0$ ، ولا جذور حقيقية إذا $n$ زوجي و $a<0$ ، وجذر وحيد إذا $n$ فردي.
$a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ : المقام رتبة الجذر والبسط القوة.
$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ و $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ .
قوانين الأسس الصحيحة تنطبق على الأسس الكسرية.

ملخص الدرس

الجذر النوني يعكس الرفع للقوة النونية، وعدد الجذور الحقيقية يعتمد على زوجية الرتبة وإشارة العدد. والأس الكسري يجمع الجذر والقوة في رمز واحد، فتتحول مسائل الجذور إلى مسائل أسس نحلها بقوانين الضرب والقسمة والرفع للقوة المعتادة، مع الانتباه إلى أن الجذر الزوجي لعدد سالب غير معرف في الأعداد الحقيقية.

أسئلة للتدريب

أوجد في $\mathbb{R}$ مجموعة حل كل من: $x^4=625$ ، $x^3=-64$ ، $x^6=-1$ .
أوجد قيمة: $81^{\frac{3}{4}}$ و $(-32)^{\frac{3}{5}}$ و $\left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}$ .
ضع في أبسط صورة: $\sqrt[4]{48a^8}$ حيث $a\ne 0$ .
بسّط: $\frac{4^{\frac{3}{2}}\times 2^{-1}}{8^{\frac{2}{3}}}$ .
أوجد مجموعة حل المعادلة $(x-1)^{\frac{2}{5}}=4$ .