ملخص بعض خواص اللوغاريتمات — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

قبل انتشار الآلات الحاسبة، كان العلماء يضربون الأعداد الكبيرة بجمع لوغاريتماتها؛ لأن اللوغاريتم يحوّل الضرب إلى جمع. هذه الفكرة ما زالت مفيدة: فخواص اللوغاريتمات تبسّط المقادير المعقدة، وتساعدنا على حل معادلات أسية لا يمكن فيها توحيد الأساس، مثل $2^x=7$ .

أهداف التعلم

أن يستخدم الطالب خواص الضرب والقسمة والقوة في اللوغاريتمات.
أن يستخدم الطالب خاصية تغيير الأساس وخاصية المعكوس الضربي.
أن يكتب الطالب المقادير اللوغاريتمية في أبسط صورة.
أن يحل الطالب معادلات لوغاريتمية وأسية باستخدام الخواص والآلة الحاسبة.
أن يطبق الطالب اللوغاريتمات في مواقف حياتية.

شرح الدرس

الخواص الأساسية

لكل $a>0$ و $a\ne1$ ، ولكل عددين موجبين $x$ و $y$ ، ولكل $n\in\mathbb{R}$ :

الخاصية	الصيغة	مثال
لوغاريتم الواحد والأساس	$\log_a1=0$ ، $\log_a a=1$	$\log_5 5=1$
الضرب	$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$	$\log 4+\log 25=\log100=2$
القسمة	$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$	$\log_2 40-\log_2 5=\log_2 8=3$
القوة	$\log_a x^{n}=n\log_a x$	$\log_3\sqrt{3}=\frac{1}{2}$
تغيير الأساس	$\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}$	$\log_2 7=\frac{\log 7}{\log 2}$
المعكوس الضربي	$\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$	$\log_8 2=\frac{1}{\log_2 8}=\frac{1}{3}$

من خاصية القسمة: $\log_a\frac{1}{x}=-\log_a x$ .

لماذا تصح خاصية الضرب؟

نضع $\log_a x=m$ و $\log_a y=n$ ، أي $x=a^m$ و $y=a^n$ . إذن $xy=a^{m+n}$ ، وبالتحويل إلى الصورة اللوغاريتمية: $\log_a(xy)=m+n=\log_a x+\log_a y$ . وبالطريقة نفسها نثبت خاصيتي القسمة والقوة.

أخطاء شائعة

$\log_a(x+y)\ne\log_a x+\log_a y$ ؛ لا توجد خاصية للوغاريتم مجموع.
$\frac{\log_a x}{\log_a y}\ne\log_a x-\log_a y$ ؛ خاصية القسمة للوغاريتم خارج القسمة.
$(\log_a x)^2\ne 2\log_a x$ ؛ خاصية القوة للقوة داخل اللوغاريتم.

حل المعادلات اللوغاريتمية

نحدد مجال التعريف (ما داخل كل لوغاريتم موجب).
نجمع اللوغاريتمات في لوغاريتم واحد بالخواص.
نحوّل إلى الصورة الأسية ونحل.
نرفض أي حل خارج مجال التعريف.

وإذا كان $\log_a u=\log_a v$ فإن $u=v$ (لأن الدالة اللوغاريتمية أحادية)، مع التحقق من أن $u,v>0$ .

حل المعادلات الأسية باللوغاريتمات

إذا تعذر توحيد الأساس نأخذ لوغاريتم الطرفين. فمثلًا $2^{x}=7$ تعطي $x=\log_2 7=\frac{\log7}{\log2}\approx\frac{0.8451}{0.3010}\approx2.807$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: اختصر: $\log 8+\log 125$ .

$\log(8\times125)=\log1000=3$ .

مثال 2: اختصر: $2\log_3 6-\log_3 4$ .

$\log_3 36-\log_3 4=\log_3\frac{36}{4}=\log_3 9=2$ .

مثال 3: إذا كان $\log 2\approx0.3010$ و $\log 3\approx0.4771$ فأوجد $\log 12$ و $\log 1.5$ .

$\log12=\log(4\times3)=2\log2+\log3\approx0.6020+0.4771=1.0791$ .

$\log1.5=\log\frac{3}{2}=\log3-\log2\approx0.1761$ .

مثال 4: بسّط: $\log_2 5\times\log_5 8$ .

بتغيير الأساس: $\frac{\log5}{\log2}\times\frac{\log8}{\log5}=\frac{\log8}{\log2}=\log_2 8=3$ .

مثال 5: حل $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$ .

المجال: $x>0$ و $x>2$ ، أي $x>2$ . نجمع: $\log_2\big(x(x-2)\big)=3$ ، إذن $x^2-2x=8$ و $(x-4)(x+2)=0$ . القيمة $x=-2$ مرفوضة لأنها خارج المجال. مجموعة الحل $\{4\}$ .

مثال 6: حل $\log(x+6)-\log(x-3)=1$ .

المجال $x>3$ . $\log\frac{x+6}{x-3}=1$ تعني $\frac{x+6}{x-3}=10$ ، أي $x+6=10x-30$ و $x=4$ . وهي في المجال. مجموعة الحل $\{4\}$ .

مثال 7: حل $3^{x+1}=20$ لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.

$x+1=\log_3 20=\frac{\log20}{\log3}\approx\frac{1.3010}{0.4771}\approx2.727$ ، إذن $x\approx1.727$ .

مثال 8 (تطبيق حياتي): مبلغ مودع بفائدة مركبة $8\%$ سنويًّا. بعد كم سنة يتضاعف تقريبًا؟

$(1.08)^{n}=2$ ، إذن $n=\frac{\log2}{\log1.08}\approx\frac{0.3010}{0.0334}\approx9$ سنوات تقريبًا.

ملاحظات مهمة

ابدأ حل المعادلة اللوغاريتمية بتحديد المجال، وانتهِ بالتحقق.
عند استخدام الآلة الحاسبة احتفظ بعدة أرقام عشرية ثم قرّب في النهاية فقط.
لوغاريتم عدد بين $0$ و $1$ سالب، ولوغاريتم عدد أكبر من $1$ (بأساس أكبر من $1$ ) موجب.

المفاهيم الأساسية

$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ و $\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ .
$\log_a x^{n}=n\log_a x$ .
$\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}$ و $\log_a b\times\log_b a=1$ .
$a^{x}=c\Rightarrow x=\log_a c=\frac{\log c}{\log a}$ .

ملخص الدرس

خواص اللوغاريتمات تحوّل الضرب إلى جمع، والقسمة إلى طرح، والقوة إلى ضرب. وبها نختصر المقادير، ونجمع لوغاريتمات المعادلة في لوغاريتم واحد ثم نحولها إلى صورة أسية. وتسمح خاصية تغيير الأساس بحساب أي لوغاريتم بالآلة الحاسبة، وبحل المعادلات الأسية التي لا يمكن توحيد أساساتها، مع الحرص دائمًا على مجال التعريف.

أسئلة للتدريب

اختصر: $\log_6 4+\log_6 9$ ، و $\log_5 250-\log_5 2$ .
إذا كان $\log 2\approx0.3010$ فأوجد $\log 5$ و $\log 0.8$ .
أثبت أن $\log_3 8\times\log_4 9=3$ .
حل: $\log_3(x+1)+\log_3(x-1)=1$ .
حل: $5^{x}=40$ لأقرب رقمين عشريين.