ملخص نهاية الدالة عند اللانهاية — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: النهايات والاتصال

ماذا يحدث لقيمة $\frac{1}{x}$ عندما يصبح $x$ ألفًا ثم مليونًا ثم مليارًا؟ القيمة تصبح $0.001$ ثم $0.000001$ ثم أصغر؛ أي أنها تقترب من الصفر. دراسة سلوك الدالة عندما يكبر المتغير بلا حد تسمى النهاية عند اللانهاية، وهي تخبرنا بما تستقر عليه الكميات على المدى الطويل، مثل متوسط التكلفة عند إنتاج أعداد ضخمة من سلعة.

أهداف التعلم

أن يفسر الطالب معنى $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ بيانيًّا وعدديًّا.
أن يستخدم الطالب النتيجة $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{k}{x^n}=0$ .
أن يوجد الطالب نهاية كثيرة الحدود عند $\pm\infty$ .
أن يوجد الطالب نهاية الدالة الكسرية عند اللانهاية بالقسمة على أعلى قوة.
أن يربط الطالب النهاية عند اللانهاية بخط التقارب الأفقي.

شرح الدرس

المعنى

نكتب $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$ إذا اقتربت قيم $f(x)$ من $L$ كلما كبر $x$ بلا حد. في هذه الحالة يكون المستقيم $y=L$ خط تقارب أفقي لمنحنى الدالة.

$x$	$10$	$100$	$1000$	$10\,000$
$3+\frac{1}{x}$	$3.1$	$3.01$	$3.001$	$3.0001$

منحنى y يساوي 3 زائد واحد على x يقترب من المستقيم y يساوي 3 كلما كبر x أو صغر بلا حد

نتيجة أساسية

لأي ثابت $k$ ولأي عدد صحيح موجب $n$ :

\lim_{x\to\infty}\frac{k}{x^{n}}=0,\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{k}{x^{n}}=0

لأن البسط ثابت والمقام يكبر بلا حد.

نهاية كثيرة الحدود عند اللانهاية

عندما يكبر $x$ يسيطر الحد ذو أعلى قوة على باقي الحدود. فمثلًا:

\lim_{x\to\infty}\left(2x^3-5x^2+7\right)=\lim_{x\to\infty}x^3\left(2-\frac{5}{x}+\frac{7}{x^3}\right)=\infty

لأن ما بين القوسين يقترب من $2$ و $x^3\to\infty$ . أما $\lim_{x\to-\infty}\left(2x^3-5x^2+7\right)=-\infty$ لأن $x^3\to-\infty$ .

نهاية الدالة الكسرية: القسمة على أعلى قوة

التعويض المباشر في $\frac{3x^2+1}{x^2-4}$ يعطي $\frac{\infty}{\infty}$ ، وهي كمية غير معيّنة. نقسم البسط والمقام على أعلى قوة للمتغير في المقام ( $x^2$ هنا):

\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-4}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}=\frac{3+0}{1-0}=3

قاعدة مختصرة: مقارنة الدرجتين

إذا كانت $f(x)=\frac{a_nx^{n}+\dots}{b_mx^{m}+\dots}$ (كثيرتا حدود درجتاهما $n$ و $m$ )، فإن نهايتها عند $\pm\infty$ :

المقارنة	النهاية	خط التقارب الأفقي
درجة البسط أقل ( $n<m$ )	$0$	$y=0$
الدرجتان متساويتان ( $n=m$ )	$\frac{a_n}{b_m}$ (نسبة المعاملين الرئيسيين)	$y=\frac{a_n}{b_m}$
درجة البسط أكبر ( $n>m$ )	$\infty$ أو $-\infty$ (ليست عددًا)	لا يوجد

دوال بها جذور

عند وجود جذر تربيعي نتذكر أن $\sqrt{x^2}=|x|$ ، ويساوي $x$ عندما $x\to\infty$ . مثال:

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x+3}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{3}{x}}=\frac{2}{1}=2

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: $\lim_{x\to\infty}\frac{5x-2}{2x+7}$ .

الدرجتان متساويتان، إذن النهاية $\frac{5}{2}$ .

مثال 2: $\lim_{x\to\infty}\frac{4x+1}{x^2+3}$ .

نقسم على $x^2$ : $\frac{\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}}\to\frac{0}{1}=0$ .

مثال 3: $\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-x}{6x^3+5x^2}$ .

الدرجتان متساويتان، فالنهاية $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ .

مثال 4: $\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x-4}$ .

درجة البسط أكبر، ونقسم على $x$ : $\frac{x+\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x}}$ ، والبسط يكبر بلا حد، إذن النهاية $\infty$ .

مثال 5: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{x+1}-\frac{2}{x}\right)$ .

$\frac{3x}{x+1}\to3$ و $\frac{2}{x}\to0$ ، إذن النهاية $3$ .

مثال 6 (تطبيق): تكلفة إنتاج $x$ وحدة من منتج هي $C(x)=20x+5000$ جنيه، فمتوسط تكلفة الوحدة $\frac{C(x)}{x}$ . ما النهاية عندما $x\to\infty$ ؟

$\lim_{x\to\infty}\frac{20x+5000}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(20+\frac{5000}{x}\right)=20$ جنيهًا. أي أن متوسط التكلفة يقترب من $20$ جنيهًا للوحدة عند الإنتاج الضخم.

ملاحظات مهمة

$\frac{\infty}{\infty}$ كمية غير معيّنة وليست $1$ .
اقسم على أعلى قوة في المقام، ثم استخدم $\frac{k}{x^n}\to0$ .
انتبه للإشارة عند $x\to-\infty$ في القوى الفردية.
النهاية $L$ عند اللانهاية تعني أن $y=L$ خط تقارب أفقي.

المفاهيم الأساسية

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{k}{x^n}=0$ لكل عدد صحيح موجب $n$ .
نهاية كثيرة الحدود عند $\pm\infty$ تحددها حدها ذو أعلى قوة.
نهاية الدالة الكسرية: $0$ إذا كانت درجة البسط أقل، ونسبة المعاملين الرئيسيين إذا تساوت الدرجتان، وليست عددًا إذا كانت درجة البسط أكبر.

ملخص الدرس

عند اللانهاية تفقد الحدود الصغيرة تأثيرها، ويبقى الحد الأعلى قوة هو المتحكم. لذلك نقسم على أعلى قوة لنحوّل الحدود الأخرى إلى كسور تقترب من الصفر، أو نقارن درجتي البسط والمقام مباشرة. والنهاية العددية عند اللانهاية تعطي خط التقارب الأفقي لمنحنى الدالة.

أسئلة للتدريب

أوجد $\lim_{x\to\infty}\frac{7}{x^3}$ و $\lim_{x\to-\infty}\left(x^2-4x\right)$ .
أوجد $\lim_{x\to\infty}\frac{6x^2-x}{3x^2+2}$ .
أوجد $\lim_{x\to\infty}\frac{x+5}{2x^3-1}$ .
أوجد $\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2+4}}{2x-1}$ .
ما معادلة خط التقارب الأفقي لمنحنى $f(x)=\frac{4x-3}{x+2}$ ؟