ملخص بحث وجود نهاية للدالة عند نقطة — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: النهايات والاتصال

تخيّل طريقًا فيه جسر ينقطع فجأة عند نقطة معينة، فيبدأ الجزء الآخر من الطريق على ارتفاع مختلف. السيارة القادمة من اليسار تقترب من ارتفاع، والقادمة من اليمين تقترب من ارتفاع آخر. هل للطريق «ارتفاع واحد» عند تلك النقطة؟ لا. هذه هي فكرة بحث وجود النهاية: ندرس الاقتراب من كل جهة على حدة، ثم نقارن.

أهداف التعلم

أن يوجد الطالب النهاية من اليمين والنهاية من اليسار لدالة عند نقطة.
أن يحدد الطالب وجود النهاية أو عدم وجودها بمقارنة النهايتين.
أن يبحث الطالب وجود النهاية للدوال متعددة القاعدة عند نقطة التحول.
أن يبحث الطالب وجود النهاية لدوال المقياس.
أن يوجد الطالب قيمة ثابت مجهول يجعل للدالة نهاية عند نقطة.

شرح الدرس

النهاية من اليمين والنهاية من اليسار

النهاية من اليمين $\lim_{x\to a^{+}}f(x)$ : قيمة ما تقترب منه $f(x)$ عندما يقترب $x$ من $a$ بقيم أكبر من $a$ .
النهاية من اليسار $\lim_{x\to a^{-}}f(x)$ : قيمة ما تقترب منه $f(x)$ عندما يقترب $x$ من $a$ بقيم أصغر من $a$ .

شرط وجود النهاية

\lim_{x\to a}f(x)=L\iff \lim_{x\to a^{+}}f(x)=\lim_{x\to a^{-}}f(x)=L

أي أن النهاية توجد إذا وجدت النهايتان من الجهتين وتساوتا. فإذا اختلفتا، أو لم توجد إحداهما، فالنهاية غير موجودة.

الدالة متعددة القاعدة

عند نقطة التحول $a$ نستخدم القاعدة الصالحة لـ $x>a$ لحساب النهاية من اليمين، والقاعدة الصالحة لـ $x<a$ لحساب النهاية من اليسار. أما قيمة $f(a)$ نفسها فلا تؤثر في وجود النهاية.

منحنى دالة متعددة القاعدة: الجزء الأيسر x زائد 2 والجزء الأيمن 4 ناقص x يلتقيان عند الارتفاع 3 مع نقطة مفرغة، والنقطة المظللة عند 1 و1

في الشكل: $f(x)=x+2$ عندما $x<1$ ، و $f(x)=4-x$ عندما $x>1$ ، و $f(1)=1$ .

\lim_{x\to1^{-}}f(x)=1+2=3,\qquad \lim_{x\to1^{+}}f(x)=4-1=3

النهايتان متساويتان، إذن $\lim_{x\to1}f(x)=3$ ، مع أن $f(1)=1$ .

منحنى دالة متعددة القاعدة لها قفزة عند x يساوي 1: الجزء الأيسر ينتهي عند الارتفاع 2 والجزء الأيمن يبدأ من الارتفاع 4

وفي هذا الشكل: $g(x)=x+1$ عندما $x\le1$ ، و $g(x)=x+3$ عندما $x>1$ . النهاية من اليسار $2$ ومن اليمين $4$ ؛ فهما مختلفتان، و $\lim_{x\to1}g(x)$ غير موجودة.

دوال المقياس

نعيد كتابة دالة المقياس بدون مقياس (دالة متعددة القاعدة)، ثم نبحث النهايتين. مثال: $f(x)=\frac{|x|}{x}$ عند $x=0$ .

\frac{|x|}{x}=\begin{cases}1, & x>0\\ -1, & x<0\end{cases}

النهاية من اليمين $1$ ومن اليسار $-1$ ، فالنهاية غير موجودة عند $0$ .

الدالة المعرّفة على جهة واحدة

الدالة $f(x)=\sqrt{x-2}$ معرّفة فقط عندما $x\ge2$ . عند $x=2$ توجد النهاية من اليمين وتساوي $0$ ، لكن لا توجد نهاية من اليسار، فلا نقول إن $\lim_{x\to2}f(x)$ موجودة بالمعنى الكامل. أما عند نقطة داخل المجال مثل $x=6$ فالنهاية $\sqrt{4}=2$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: ابحث وجود $\lim_{x\to2}f(x)$ حيث $f(x)=x^2+1$ عندما $x<2$ ، و $f(x)=3x-1$ عندما $x\ge2$ .

من اليسار: $4+1=5$ . من اليمين: $6-1=5$ . متساويتان، إذن النهاية $5$ .

مثال 2: ابحث وجود $\lim_{x\to3}\frac{|x-3|}{x-3}$ .

لـ $x>3$ تكون الدالة $1$ ، ولـ $x<3$ تكون $-1$ . النهايتان مختلفتان، فالنهاية غير موجودة.

مثال 3: إذا كانت $f(x)=ax+3$ عندما $x<-1$ ، و $f(x)=x^2-a$ عندما $x\ge-1$ ، فأوجد $a$ التي تجعل $\lim_{x\to-1}f(x)$ موجودة.

من اليسار: $-a+3$ ، ومن اليمين: $1-a$ . هل يمكن أن يتساويا؟ $-a+3=1-a$ تعطي $3=1$ ، وهذا مستحيل. إذن لا توجد قيمة لـ $a$ تجعل النهاية موجودة.

مثال 4: إذا كانت $f(x)=kx+1$ عندما $x<2$ ، و $f(x)=x^2-k$ عندما $x>2$ ، فأوجد $k$ لتكون النهاية موجودة عند $2$ .

$2k+1=4-k$ ، إذن $3k=3$ و $k=1$ ، وتكون النهاية $3$ .

مثال 5: ابحث وجود $\lim_{x\to0}f(x)$ حيث $f(x)=\frac{\sin 2x}{x}$ عندما $x<0$ ، و $f(x)=x+2$ عندما $x>0$ .

من اليسار: $2$ (نهاية مثلثية)، ومن اليمين: $2$ . إذن النهاية $2$ .

ملاحظات مهمة

قيمة الدالة عند النقطة لا تؤثر في وجود النهاية.
عند نقطة التحول احسب كل نهاية من القاعدة الخاصة بجهتها فقط.
أعد كتابة المقياس بقاعدتين قبل بحث النهاية.
إذا لم تكن الدالة معرّفة على إحدى الجهتين فلا تكفي النهاية من الجهة الأخرى لوجود النهاية.

المفاهيم الأساسية

$\lim_{x\to a^{+}}f(x)$ من القيم الأكبر من $a$ ، و $\lim_{x\to a^{-}}f(x)$ من القيم الأصغر.
النهاية موجودة $\iff$ النهايتان من الجهتين موجودتان ومتساويتان.
الدالة متعددة القاعدة: قاعدة كل جهة تحدد نهايتها.
$\frac{|x-a|}{x-a}$ ليس لها نهاية عند $a$ .

ملخص الدرس

لكي نحكم بوجود نهاية دالة عند نقطة، نقترب من النقطة من اليمين ومن اليسار كلٌّ على حدة. فإذا وصلنا إلى العدد نفسه من الجهتين كانت النهاية موجودة وتساوي هذا العدد، وإلا فالنهاية غير موجودة. وهذا ضروري خصوصًا عند نقاط التحول في الدوال متعددة القاعدة ودوال المقياس.

أسئلة للتدريب

ابحث وجود $\lim_{x\to0}f(x)$ حيث $f(x)=2x+1$ عندما $x<0$ ، و $f(x)=\cos x$ عندما $x\ge0$ .
ابحث وجود $\lim_{x\to-2}\frac{|x+2|}{x+2}$ .
أوجد $m$ التي تجعل $\lim_{x\to1}f(x)$ موجودة إذا كانت $f(x)=mx^2$ عندما $x<1$ ، و $f(x)=5-x$ عندما $x>1$ .
ارسم $f(x)=|x-1|$ وابحث وجود نهايتها عند $x=1$ .
هل يمكن أن توجد $\lim_{x\to a}f(x)$ وتكون $f(a)$ غير معرّفة؟ وضح بمثال.