ملخص قانون قاعدة الجيب — ثانية ثانوي

مقدمة

الوحدة: حساب المثلثات

تعلمت أن تحل المثلث القائم الزاوية باستخدام نسب الجيب وجيب التمام والظل. لكن كثيرًا من المثلثات في الواقع ليست قائمة: مثلث يصل بين ثلاث مدن على خريطة، أو مثلث تكوّنه قمة جبل مع موقعين للرصد. قاعدة الجيب تربط أطوال أضلاع أي مثلث بجيوب زواياه، فتمكّننا من حساب ما لا نستطيع قياسه مباشرة.

أهداف التعلم

أن يستنتج الطالب قاعدة الجيب من قانون مساحة المثلث.
أن يستخدم الطالب قاعدة الجيب لإيجاد طول ضلع في مثلث.
أن يحل الطالب المثلث بمعلومية طول ضلع وقياسي زاويتين.
أن يستخدم الطالب العلاقة بين قاعدة الجيب ونصف قطر الدائرة المارة برءوس المثلث.
أن يحل الطالب مسائل حياتية باستخدام قاعدة الجيب.

شرح الدرس

الرموز المستخدمة

في المثلث $ABC$ نرمز لطول الضلع المقابل للزاوية $A$ بالرمز $a$ ، والمقابل للزاوية $B$ بالرمز $b$ ، والمقابل للزاوية $C$ بالرمز $c$ . (في الكتاب المدرسي تكتب الرءوس بالحروف العربية أ، ب، جـ.)

مثلث رءوسه A وB وC، والضلع a يقابل الزاوية A، والضلع b يقابل الزاوية B، والضلع c يقابل الزاوية C

استنتاج القاعدة من المساحة

مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب طولي أي ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما:

\text{المساحة}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C

بضرب كل عبارة في $2$ ثم القسمة على $abc$ نحصل على $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ ، وبالمقلوب:

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}

أي أن أطوال أضلاع المثلث تتناسب مع جيوب الزوايا المقابلة لها.

العلاقة بالدائرة المارة برءوس المثلث

إذا كان $r$ طول نصف قطر الدائرة المارة برءوس المثلث $ABC$ فإن:

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2r

مثلث داخل الدائرة المارة برءوسه ومركزها M ونصف قطرها r

متى نستخدم قاعدة الجيب؟

نستخدمها عندما نعرف زاوية وضلعًا مقابلًا لها (زوجًا متقابلًا)، إضافة إلى معلومة ثالثة، ومن أهم الحالات:

معلوم ضلع وزاويتان: نوجد الزاوية الثالثة من أن مجموع قياسات زوايا المثلث $180^{\circ}$ ، ثم نوجد الضلعين الآخرين.

ملاحظات على الأضلاع والزوايا

في أي مثلث يقابل أكبر ضلع أكبر زاوية، ويقابل أصغر ضلع أصغر زاوية.
عند استخدام الآلة الحاسبة تأكد أنها مضبوطة على الدرجات (Deg)، واترك التقريب لنهاية الحل.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: في المثلث $ABC$ : $m(\angle A)=40^{\circ}$ ، $m(\angle B)=65^{\circ}$ ، $a=10$ سم. أوجد $b$ .

\frac{b}{\sin65^{\circ}}=\frac{10}{\sin40^{\circ}}\ \Rightarrow\ b=\frac{10\sin65^{\circ}}{\sin40^{\circ}}\approx\frac{10\times0.9063}{0.6428}\approx14.10\ \text{سم}

مثال 2 (حل المثلث): في المثلث $ABC$ : $m(\angle A)=35^{\circ}$ ، $m(\angle C)=80^{\circ}$ ، $b=12$ سم. حل المثلث.

$m(\angle B)=180^{\circ}-(35^{\circ}+80^{\circ})=65^{\circ}$ .

a=\frac{12\sin35^{\circ}}{\sin65^{\circ}}\approx\frac{12\times0.5736}{0.9063}\approx7.59\ \text{سم}

c=\frac{12\sin80^{\circ}}{\sin65^{\circ}}\approx\frac{12\times0.9848}{0.9063}\approx13.04\ \text{سم}

لاحظ أن أكبر ضلع $c$ يقابل أكبر زاوية $C$ ، وأصغر ضلع $a$ يقابل أصغر زاوية $A$ .

مثال 3: مثلث فيه $a=9$ سم و $m(\angle A)=30^{\circ}$ . أوجد طول نصف قطر الدائرة المارة برءوسه.

2r=\frac{9}{\sin30^{\circ}}=\frac{9}{0.5}=18\ \Rightarrow\ r=9\ \text{سم}

مثال 4: في المثلث $ABC$ : $m(\angle A)=45^{\circ}$ و $m(\angle B)=60^{\circ}$ . أوجد النسبة $a:b$ .

$a:b=\sin45^{\circ}:\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}:\sqrt{3}$ .

مثال 5 (تطبيق جغرافي): على خريطة، مدينتان $P$ و $Q$ المسافة بينهما $150$ كم، ومدينة ثالثة $R$ . قياس الزاوية عند $P$ في المثلث $PQR$ يساوي $52^{\circ}$ وعند $Q$ يساوي $73^{\circ}$ . أوجد المسافة $PR$ .

$m(\angle R)=180^{\circ}-125^{\circ}=55^{\circ}$ . الضلع $PR$ يقابل الزاوية $Q$ :

PR=\frac{150\sin73^{\circ}}{\sin55^{\circ}}\approx\frac{150\times0.9563}{0.8192}\approx175.1\ \text{كم}

ملاحظات مهمة

كل كسر في قاعدة الجيب يربط ضلعًا بجيب الزاوية المقابلة له، لا المجاورة.
ابدأ بإيجاد الزاوية الثالثة إذا عُلمت زاويتان.
قاعدة الجيب تصلح لكل مثلث: حاد الزوايا أو منفرج الزاوية أو قائم الزاوية.
في المثلث القائم عند $C$ : $\sin C=1$ فتصبح $c=2r$ ، أي أن الوتر قطر في الدائرة المارة بالرءوس.

المفاهيم الأساسية

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2r$ .
مساحة المثلث $=\frac{1}{2}ab\sin C$ .
أطوال الأضلاع تتناسب مع جيوب الزوايا المقابلة: $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$ .
حل المثلث يعني إيجاد أضلاعه الثلاثة وزواياه الثلاث.

ملخص الدرس

قاعدة الجيب تنص على أن نسبة طول أي ضلع في المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة له ثابتة، وتساوي طول قطر الدائرة المارة برءوس المثلث. نستنتجها من صيغ مساحة المثلث، ونستخدمها لحل المثلث عندما نعرف ضلعًا وزاويتين، وفي مسائل المسافات التي لا تقاس مباشرة.

أسئلة للتدريب

في المثلث $ABC$ : $m(\angle B)=50^{\circ}$ ، $m(\angle C)=70^{\circ}$ ، $a=20$ سم. حل المثلث.
أوجد طول نصف قطر الدائرة المارة برءوس مثلث فيه $b=15$ سم و $m(\angle B)=120^{\circ}$ .
في المثلث $ABC$ : $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$ . أثبت ذلك مستخدمًا المساحة.
مثلث قياسات زواياه $30^{\circ}$ و $60^{\circ}$ و $90^{\circ}$ . أوجد النسبة بين أطوال أضلاعه.
برجان المسافة بينهما $200$ متر، ورُصدت منهما سفينة بزاويتين $48^{\circ}$ و $62^{\circ}$ مع الخط الواصل بينهما. أوجد بُعد السفينة عن البرج الأول.