أهداف التعلم

• أن يميز الطالب الدالة من العلاقة التي ليست دالة.
• أن يحدد مجال دالة حقيقية من قاعدتها.
• أن يحسب صورة عدد وصورة مقدار باستخدام قاعدة الدالة.
• أن يستخرج مدى دالة بسيطة من قاعدتها أو تمثيلها.
• أن يوجد مجموع دالتين والفرق بينهما وحاصل ضربهما وخارج قسمتهما، ومجال كل منها.
• أن يكوّن دالة مركبة من دالتين ويحسب قيمها.

شرح الدرس

من العلاقة إلى الدالة

العلاقة من مجموعة $A$ إلى مجموعة $B$ هي مجموعة من الأزواج المرتبة $(x,y)$، حيث $x\in A$ و$y\in B$. تصبح هذه العلاقة دالة إذا ارتبط كل عنصر من المجال بعنصر واحد فقط من المجال المقابل. يجوز أن يشترك مدخلان مختلفان في الناتج نفسه، لكن لا يجوز أن يكون لمدخل واحد ناتجان مختلفان.

نكتب $f:A\to B$ للدلالة على أن $f$ دالة من $A$ إلى $B$، ونكتب $y=f(x)$ للتعبير عن قيمة الناتج المقابل للمدخل $x$. في الدالة الحقيقية تكون قيم المدخلات والنواتج أعدادًا حقيقية.

المجال والمدى

المجال هو مجموعة قيم $x$ التي تكون الدالة معرفة عندها، أما المدى فهو مجموعة القيم الفعلية التي يمكن أن يأخذها $f(x)$. عند إيجاد المجال نستبعد أي قيمة تجعل تعبير الدالة غير معرف: فلا يجوز أن يساوي المقام صفرًا، ويجب أن يكون ما تحت الجذر التربيعي غير سالب إذا كنا نعمل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

مثلًا، مجال $f(x)=\dfrac{1}{x-3}$ هو $\mathbb{R}\setminus\{3\}$، لأن التعويض بـ$x=3$ يجعل المقام صفرًا. ومجال $g(x)=\sqrt{x+2}$ هو $[-2,\infty)$ لأن $x+2\ge0$.

حساب صورة قيمة

لحساب $f(a)$ نعوض بـ$a$ محل $x$ في كل موضع، ثم نجري العمليات بترتيبها. إذا كانت $f(x)=x^2-2x+4$، فإن:

ويمكن أيضًا التعويض بمقدار. فمثلًا $f(t+1)=(t+1)^2-2(t+1)+4=t^2+3$. يجب وضع المقدار المعوض به بين قوسين لتجنب أخطاء الإشارات.

تمثيلات الدالة

قد تمثل الدالة بقاعدة جبرية، أو جدول قيم، أو مخطط سهام، أو مجموعة أزواج مرتبة، أو منحنى بياني. في التمثيل البياني يكون الرسم دالة إذا كان كل خط رأسي يقطعه في نقطة واحدة على الأكثر؛ لأن وجود نقطتين للقيمة السينية نفسها يعني وجود ناتجين لمدخل واحد.

العمليات على الدوال

إذا كانت $f$ دالة مجالها $D_1$ و$g$ دالة مجالها $D_2$، فإن:

• $(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x)$، ومجالها $D_1\cap D_2$.
• $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$، ومجالها $D_1\cap D_2$.
• $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$، ومجالها $D_1\cap D_2$ بعد استبعاد أصفار $g$.

فمثلًا إذا كانت $f(x)=\sqrt{x+2}$ (مجالها $[-2,\infty)$) و$g(x)=x-3$ (مجالها $\mathbb{R}$)، فإن مجال $f+g$ هو $[-2,\infty)$، ومجال $\frac{f}{g}$ هو $[-2,3)\cup(3,\infty)$ لأن $g(3)=0$.

تركيب الدوال

الدالة المركبة $f\circ g$ تعني تطبيق $g$ أولًا ثم تطبيق $f$ على الناتج:

إذا كانت $f(x)=x^2+1$ و$g(x)=2x-3$، فإن $(f\circ g)(x)=(2x-3)^2+1$، بينما $(g\circ f)(x)=2(x^2+1)-3=2x^2-1$. لاحظ أن $f\circ g$ لا تساوي $g\circ f$ في الغالب؛ فتركيب الدوال ليس إبداليًّا. ولحساب $(f\circ g)(2)$ نحسب $g(2)=1$ أولًا ثم $f(1)=2$.

أسئلة للتدريب

1. حدد هل $\{(-1,2),(0,3),(-1,4)\}$ دالة، وفسر إجابتك.
2. أوجد مجال $f(x)=\dfrac{2}{x+4}$.
3. إذا كانت $g(x)=2x^2-3$، فاحسب $g(-2)$ و$g(a+1)$.
4. حدد مجال $h(x)=\sqrt{5-x}$.
5. بيّن مدى $p(x)=x^2+4$، واذكر متى تتحقق أصغر قيمة.
6. إذا كانت $f(x)=\sqrt{x}$ و$g(x)=x-1$، فأوجد مجال $\frac{f}{g}$، ثم أوجد $(f\circ g)(10)$ و$(g\circ f)(9)$.