أسئلة: نهاية الدوال المثلثية

الإجابة الصحيحة: $1$

هذه النهاية الأساسية للجيب.

الإجابة الصحيحة: $6$

$\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{x}=a$.

الإجابة الصحيحة: $3$

$\lim_{x\to0}\frac{\tan ax}{x}=a$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{5}{2}$

$\frac{\sin ax}{bx}\to\frac{a}{b}$.

الإجابة الصحيحة: $2$

$\frac{a}{b}=\frac{8}{4}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{3}$

نقسم على $x$: $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $0$

نتيجة معروفة: $\frac{1-\cos x}{x}=\frac{\sin x}{x}\times\frac{\sin x}{1+\cos x}\to1\times0=0$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

بالضرب في المرافق: $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\times\frac{1}{1+\cos x}\to\frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $4$

$\left(\frac{\sin2x}{x}\right)^2\to2^2$.

الإجابة الصحيحة: $1$

مقلوب النهاية الأساسية، و$\frac{1}{1}=1$.

الإجابة الصحيحة: $3$

$\frac{\sin x}{x}+2\to1+2$.

الإجابة الصحيحة: $1$

التعويض المباشر لا يعطي صورة غير معيّنة: $\frac{\cos0}{1}=1$.

الإجابة الصحيحة: لأن النهاية بالدرجات تساوي $\frac{\pi}{180}$ وليس 1

$\sin x^{\circ}=\sin\frac{\pi x}{180}$، فتكون النهاية $\frac{\pi}{180}$.

الإجابة الصحيحة: $2$

نقسم على $x$: $\frac{2}{1}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{9}$

$\left(\frac{x}{\sin3x}\right)^2\to\left(\frac{1}{3}\right)^2$.

$\frac{\sin3x+\tan5x}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin3x}{x}+\frac{\tan5x}{x}\right)\to\frac{1}{2}(3+5)=4$.

نضرب البسط والمقام في $1+\cos x$: $\frac{1-\cos^2x}{x^2(1+\cos x)}=\frac{\sin^2x}{x^2}\times\frac{1}{1+\cos x}$. عندما $x\to0$: $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\to1$ و$\frac{1}{1+\cos x}\to\frac{1}{2}$، فالنهاية $\frac{1}{2}$.

نكتب الدالة $\frac{\tan x}{x}\times\frac{x^2}{1-\cos x}$. الأولى تقترب من 1، والثانية مقلوب $\frac{1-\cos x}{x^2}$ فتقترب من 2. إذن النهاية $1\times2=2$.

$\frac{\tan0.1}{0.1}\approx1.0033$ و$\frac{\tan0.01}{0.01}\approx1.0000$، والقيم نفسها عند $-0.1$ و$-0.01$ لأن $\frac{\tan(-x)}{-x}=\frac{\tan x}{x}$. القيم تقترب من 1، إذن $\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$.