أسئلة: الحركة الدائرية: الأفقية والرأسية

الإجابة الصحيحة: $\tan\theta = \frac{v^2}{rg}$

بقسمة مركبة القوة الأفقية (القوة المركزية) على المركبة الرأسية (الموازنة للوزن)، نجد أن $\tan\theta = \frac{mv^2/r}{mg} = \frac{v^2}{rg}$.

الإجابة الصحيحة: $\approx 2.21$ م/ث

السرعة الدنيا عند القمة تُحسب من $v = \sqrt{gr} = \sqrt{9.8 \times 0.5} = \sqrt{4.9} \approx 2.21$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: كلاهما لأسفل نحو المركز

عند قمة المسار الدائري الرأسي، يتجه كل من شد الخيط (المسحوب نحو المركز) والوزن (الجاذبية الأرضية) نحو الأسفل باتجاه مركز الدائرة.

الإجابة الصحيحة: $1.73$ متر

نصف القطر $r = L \sin\theta = 2 \times \sin60° = 2 \times 0.866 = 1.732$ متر.

الإجابة الصحيحة: لأن الوزن عند القاع يعاكس القوة المركزية ويجب التغلب عليه

عند القاع، الشد يجب أن يوازن الوزن ويوفر القوة المركزية ($T = F_c + mg$)، بينما عند القمة يساهم الوزن في القوة المركزية ($T = F_c - mg$).

الإجابة الصحيحة: تحتاج السيارة لقوة احتكاك إضافية لمنع الانزلاق للخارج

السرعة المثالية هي التي توفر القوة المركزية المطلوبة عبر مركبة القوة العمودية فقط. أي زيادة تتطلب قوة إضافية (احتكاك) لمنع الانزلاق.

الإجابة الصحيحة: $0$

عندما $v = \sqrt{gr}$، تكون القوة المركزية مساوية للوزن ($mv^2/r = mg$). بما أن $T + mg = F_c$، فإن $T + mg = mg$ مما يعني $T=0$.

الإجابة الصحيحة: السرعة لا تعتمد على الكتلة

العلاقة $v = \sqrt{gr}$ لا تحتوي على الكتلة $m$، مما يعني أن جميع الأجسام تحتاج نفس السرعة الدنيا بغض النظر عن كتلتها.

الإجابة الصحيحة: يتضاعف

نصف القطر $r = L \sin\theta$. إذا تضاعف $L$ وظلت $\sin\theta$ ثابتة، فإن $r$ يتضاعف.

الإجابة الصحيحة: السرعة المثالية تزداد

من العلاقة $\tan\theta = v^2/rg$، نجد $v = \sqrt{rg \tan\theta}$. كلما زادت $\theta$ تزداد $\tan\theta$ وبالتالي تزداد $v$.

الإجابة الصحيحة: $15.1$ نيوتن

عند القاع $T = F_c + mg$، إذن $F_c = T - mg = 20 - (0.5 \times 9.8) = 20 - 4.9 = 15.1$ نيوتن.

الإجابة الصحيحة: مركبة القوة العمودية للسطح

في المنحنيات المائلة المصممة هندسيًا، توفر المركبة الأفقية للقوة العمودية (التي يؤثر بها الطريق على السيارة) القوة اللازمة للحركة الدائرية.

الإجابة الصحيحة: 5.1 نيوتن

عند القمة الشد والوزن كلاهما نحو المركز: $T + mg = mv^2/r$، فتكون $T = 0.5 \times 16 / 0.8 - 0.5 \times 9.8 = 10 - 4.9 = 5.1$ نيوتن. القيمة 14.9 تنتج عن جمع الوزن بدل طرحه (وهي صيغة القاع).

الإجابة الصحيحة: لأن القوة المركزية اللازمة أكبر من وزن الماء، فيدفعه قاع الدلو لأسفل بالباقي

عند القمة يحتاج الماء إلى قوة مركزية لأسفل مقدارها $mv^2/r$؛ فإذا كانت السرعة كافية كان وزنه أقل من المطلوب، فيؤثر قاع الدلو فيه بقوة لأسفل تكمل الباقي ويبقى الماء ملامسًا للقاع.

الإجابة الصحيحة: 1.7 م/ث

من $\tan\theta = v^2/(gr)$: $v^2 = 9.8 \times 0.5 \times 0.577 \approx 2.83$، فتكون $v \approx 1.7$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: المركبة الأفقية للقوة العمودية من جدار الإناء

السطح أملس فلا احتكاك؛ تؤثر في الكرة قوتان فقط: الوزن والقوة العمودية. المركبة الرأسية للقوة العمودية توازن الوزن، والمركبة الأفقية تتجه نحو المركز فتوفر القوة المركزية، ومنها $v^2 = gr\tan\theta$.

1. القوى المؤثرة هي الوزن $mg$ لأسفل والشد $T$ في اتجاه الخيط. 2. نحلل الشد إلى مركبة رأسية $T\cos\theta = mg$ ومركبة أفقية $T\sin\theta = F_c = \frac{mv^2}{r}$. 3. بقسمة المعادلة الثانية على الأولى: $\frac{T\sin\theta}{T\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$. 4. نختصر $T$ و $m$ لنحصل على $\tan\theta = \frac{v^2}{rg}$.

القانون: $T_{\text{قاع}} = \frac{mv^2}{r} + mg$. التعويض: $T = \frac{0.2 \times 4^2}{0.5} + (0.2 \times 9.8) = \frac{0.2 \times 16}{0.5} + 1.96 = 6.4 + 1.96 = 8.36$ نيوتن.

الخيط لا يمكنه الدفع، بل السحب فقط، لذا $T \ge 0$. إذا قلت السرعة عن $v = \sqrt{gr}$، تصبح القوة المركزية المطلوبة أقل من الوزن، فيسقط الجسم للداخل ويترك المسار الدائري أو يرتخي الخيط قبل الوصول للقمة.

القانون: $v = \sqrt{rg \tan\theta}$. التعويض: $v = \sqrt{100 \times 9.8 \times 0.268} = \sqrt{262.64} \approx 16.21$ م/ث.

في كلتا الحالتين، محصلة القوى (القوة المركزية) تتجه نحو مركز الدائرة. عند القاع، المحصلة هي $T - mg$. عند القمة، المحصلة هي $T + mg$.

1. نحسب نصف القطر: $r = 1.5 \times \sin 45° = 1.5 \times 0.707 = 1.06$ متر. 2. نستخدم القانون $v = \sqrt{rg \tan\theta} = \sqrt{1.06 \times 9.8 \times 1} = \sqrt{10.388} \approx 3.22$ م/ث.