أسئلة: قوانين كبلر والجاذبية الكونية

الإجابة الصحيحة: $F$ تتناسب عكسياً مع $r^2$

ينص قانون نيوتن للجاذبية على أن القوة تتناسب عكسياً مع مربع المسافة بين مركزي الجسمين.

الإجابة الصحيحة: عندما يكون في أقرب نقطة من الشمس

قانون المساحات يقتضي أن يمسح الخط الواصل مساحات متساوية في أزمنة متساوية، مما يعني زيادة السرعة عند الاقتراب.

الإجابة الصحيحة: $\text{نيوتن.م}^2\text{/كجم}^2$

من $F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$ نحصل على $G = \frac{F r^2}{m_1 m_2}$، فوحدته $\text{نيوتن.م}^2\text{/كجم}^2$.

الإجابة الصحيحة: لا تتغير

السرعة المدارية $v = \sqrt{GM/r}$ تعتمد فقط على كتلة الجرم المركزي $M$ ونصف قطر المدار $r$.

الإجابة الصحيحة: يزداد بمقدار $\sqrt{27}$ أمثال

بما أن $T^2 \propto r^3$، فإن $T \propto r^{3/2}$، لذا عند ضرب $r$ في $3$ يصبح $T$ مضروباً في $3^{3/2} = \sqrt{27}$.

الإجابة الصحيحة: إهليلجي (بيضاوي)

ينص قانون كبلر الأول على أن كل كوكب يدور حول الشمس في مدار إهليلجي (بيضاوي) تقع الشمس في إحدى بؤرتيه.

الإجابة الصحيحة: القانون الثالث لكبلر حالة خاصة من قانون نيوتن للمدارات الدائرية

بمساواة قوة الجاذبية بالقوة المركزية في مدار دائري: $\frac{GMm}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$ مع $v = \frac{2\pi r}{T}$ نحصل على $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$، وهو القانون الثالث لكبلر.

الإجابة الصحيحة: كتلة الأرض أو الكوكب الذي يدور حوله الجسم

في $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ تمثل $M$ كتلة الجرم المركزي الذي يدور حوله الجسم؛ فللقمر الصناعي حول الأرض تكون $M$ كتلة الأرض، ولا تظهر كتلة القمر الصناعي في المعادلة.

الإجابة الصحيحة: يزداد

حسب القانون الثالث لكبلر، كلما زاد نصف قطر المدار $r$، زاد الدور الزمني $T$.

الإجابة الصحيحة: $6.674 \times 10^{-11} \text{ نيوتن.م}^2\text{/كجم}^2$

$G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ نيوتن.م}^2\text{/كجم}^2$، وصغر قيمته يفسر ضعف التجاذب بين الأجسام العادية. أما $9.8 \text{ م/ث}^2$ فهي عجلة الجاذبية الأرضية $g$.

الإجابة الصحيحة: قوة الجاذبية

في المدار الدائري تتجه قوة الجاذبية نحو مركز المدار، فتعمل كقوة مركزية تغير اتجاه السرعة باستمرار.

الإجابة الصحيحة: $g/4$

$g = GM/r^2$ تتبع قانون التربيع العكسي؛ مضاعفة البعد عن المركز تقسم الشدة على $2^2 = 4$.

الإجابة الصحيحة: نيوتن/كجم

شدة المجال هي القوة لكل وحدة كتلة $g = F/m$، فوحدتها نيوتن/كجم، وهي تكافئ م/ث².

الإجابة الصحيحة: متوازية ومتساوية التباعد

المجال المنتظم شدته واحدة في كل النقاط، فتُرسم خطوطه متوازية ومتساوية التباعد؛ ويُعد مجال الأرض قرب سطحها في منطقة صغيرة منتظمًا تقريبًا.

الإجابة الصحيحة: 1 كم/ث

من القانون الثاني لكبلر عند الحضيض والأوج: $r_1 v_1 = r_2 v_2$، فتكون $v_2 = 0.6 \times 50 / 30 = 1$ كم/ث.

الإجابة الصحيحة: لأن زمنه الدوري يساوي زمن دوران الأرض حول محورها ويدور في اتجاهها فوق خط الاستواء

القمر يتحرك بسرعة كبيرة، لكن زمنه الدوري يوم واحد ويدور في اتجاه دوران الأرض فوق خط الاستواء، فيبقى فوق النقطة نفسها. ومن القانون الثالث يتحدد لذلك نصف قطر مدار واحد (نحو $4.2 \times 10^7$ م من مركز الأرض).

باستخدام القانون $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$: $F = 6.674 \times 10^{-11} \times \frac{1000 \times 2000}{10^2} = 6.674 \times 10^{-11} \times \frac{2 \times 10^6}{100} = 6.674 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^4 = 1.3348 \times 10^{-6} \text{ نيوتن}$.

تتساوى قوة الجاذبية مع القوة المركزية: $\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$. بحذف $m$ من الطرفين وضرب الطرفين في $r$ نحصل على: $\frac{GM}{r} = v^2$. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين نجد أن: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$.

من القانون الثالث لكبلر: $\frac{T_2^2}{T_1^2} = \frac{r_2^3}{r_1^3} = \frac{(9r_1)^3}{r_1^3} = 9^3 = 729$. إذن $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{729} = 27$. النسبة هي $27$.

في حالة المدار الدائري، تكون قوة الجاذبية $F_g = \frac{GMm}{r^2}$ هي القوة المركزية $F_c = \frac{mv^2}{r}$. عند مساواتهما: $\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$. نلاحظ أن كتلة القمر الصناعي $m$ تظهر في طرفي المعادلة، لذا يمكن حذفها، مما يثبت أن السرعة $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ لا تعتمد على $m$.

من $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$: $T = 2\pi \sqrt{r^3 / GM}$. $r^3 = (6.4 \times 10^6)^3 \approx 2.62 \times 10^{20}$، و $r^3 / GM \approx 6.55 \times 10^5$، وجذرها نحو 809. إذن $T \approx 2\pi \times 809 \approx 5.1 \times 10^3$ ث (نحو 85 دقيقة).

1. قانون المدارات: تدور الكواكب في مدارات إهليلجية تقع الشمس في إحدى بؤرتيها. 2. قانون المساحات: يمسح الخط الواصل بين الكوكب والشمس مساحات متساوية في أزمنة متساوية. 3. قانون الدور والبعد: مربع الدور الزمني يتناسب طردياً مع مكعب نصف قطر المدار ($T^2 \propto r^3$).