ملخص معادلة الغاز المثالي — ثانية ثانوي

مقدمة

المادة: الكيمياء
المسار: مسار الهندسة وعلوم الحاسب
الوحدة: الفصل الأول: حالات المادة

وجد كيميائي أسطوانة فيها غاز مجهول. لا يستطيع رؤية جزيئاته، لكنه يستطيع قياس ضغطه وحجمه ودرجة حرارته وكتلته. هل تكفي هذه القياسات لمعرفة عدد مولات الغاز، بل ومعرفة كتلته المولية ومن ثم هويته؟ نعم، باستخدام معادلة واحدة تجمع كل قوانين الغازات: معادلة الغاز المثالي.

أهداف التعلم

أن تستنتج معادلة الغاز المثالي من قانون الغاز المشترك.
أن تحسب قيمة ثابت الغازات المولي $R$ من الحجم المولي عند الظروف القياسية.
أن تستخدم $PV=nRT$ لإيجاد أي كمية مجهولة من الضغط أو الحجم أو درجة الحرارة أو كمية المادة.
أن تعيّن الكتلة المولية لغاز من كتلته أو كثافته.

شرح الدرس

من قانون الغاز المشترك إلى مول واحد

علمنا أن $\frac{PV}{T}$ ثابت لكمية معينة من الغاز. إذا كانت الكمية مولًا واحدًا وسمينا حجمه الحجم المولي $v$ (بوحدة $\text{L/mol}$ )، نكتب الثابت $R$ :

Pv=RT

قيمة ثابت الغازات المولي

المول الواحد من أي غاز يشغل $22.4\ \text{L}$ في الظروف القياسية ( $0\,^{\circ}\text{C}=273\ \text{K}$ و $1.013\times10^{5}\ \text{Pa}$ ). بالتعويض:

R=\frac{Pv}{T}=\frac{1.013\times10^{5}\times22.4}{273}\approx8.31\times10^{3}\ \text{Pa·L/(mol·K)}

ولأن هذه القيمة لا تتوقف على نوع الغاز، فإن $R$ ثابت عام لجميع الغازات المثالية.

معادلة الغاز المثالي

إذا كانت كمية الغاز $n$ مول، فإن الحجم الكلي $V=nv$ . بالتعويض:

PV=nRT

حيث $P$ بالباسكال، و $V$ باللتر، و $n$ بالمول، و $T$ بالكلفن، و $R=8.31\times10^{3}\ \text{Pa·L/(mol·K)}$ . انتبه للوحدات: إذا استخدمت هذه القيمة لـ $R$ فالحجم يجب أن يكون باللتر والضغط بالباسكال.

حساب الكتلة المولية

إذا كانت كتلة عينة الغاز $w$ (بالجرام) وكتلته المولية $M$ (بوحدة $\text{g/mol}$ ) فإن $n=\frac{w}{M}$ ، وتصبح المعادلة:

PV=\frac{w}{M}RT\qquad\Rightarrow\qquad M=\frac{wRT}{PV}

وإذا عُلمت الكثافة $d=\frac{w}{V}$ (بوحدة $\text{g/L}$ ) فإن $M=\frac{dRT}{P}$ . والكتلة المولية بـ $\text{g/mol}$ تساوي عدديًّا الكتلة الجزيئية النسبية.

الكمية	العلاقة
مول واحد	$Pv=RT$
ثابت الغازات	$R=8.31\times10^{3}\ \text{Pa·L/(mol·K)}$
$n$ مول	$PV=nRT$
الكتلة المولية	$M=\frac{wRT}{PV}=\frac{dRT}{P}$

أمثلة وتطبيقات

خذ $R=8.31\times10^{3}\ \text{Pa·L/(mol·K)}$ .

مثال 1: كم مولًا من الغاز يوجد في $8.31\ \text{L}$ عند $27\,^{\circ}\text{C}$ وضغط $1.5\times10^{5}\ \text{Pa}$ ؟

n=\frac{PV}{RT}=\frac{1.5\times10^{5}\times8.31}{8.31\times10^{3}\times300}=0.50\ \text{mol}

مثال 2: ما ضغط $2.0\ \text{mol}$ من غاز في إناء حجمه $20\ \text{L}$ عند $127\,^{\circ}\text{C}$ ؟

P=\frac{nRT}{V}=\frac{2.0\times8.31\times10^{3}\times400}{20}\approx3.3\times10^{5}\ \text{Pa}

مثال 3: تبخرت $0.80\ \text{g}$ من سائل متطاير تمامًا فشغل بخارها $0.83\ \text{L}$ عند $127\,^{\circ}\text{C}$ و $1.0\times10^{5}\ \text{Pa}$ . أوجد الكتلة المولية.

M=\frac{wRT}{PV}=\frac{0.80\times8.31\times10^{3}\times400}{1.0\times10^{5}\times0.83}\approx32\ \text{g/mol}

مثال 4: غاز كثافته $1.76\ \text{g/L}$ عند $27\,^{\circ}\text{C}$ و $1.0\times10^{5}\ \text{Pa}$ . ما كتلته المولية؟ وأي الغازين يمكن أن يكون: $\text{O}_2$ أم $\text{CO}_2$ ؟ ( $\text{C}=12$ ، $\text{O}=16$ )

$M=\frac{dRT}{P}=\frac{1.76\times8.31\times10^{3}\times300}{1.0\times10^{5}}\approx44\ \text{g/mol}$ ، وهي الكتلة المولية لـ $\text{CO}_2$ ( $12+2\times16=44$ ) وليست لـ $\text{O}_2$ ( $32\ \text{g/mol}$ ).

تطبيق حياتي: في الصيف يسخن الأسفلت فترتفع درجة حرارة الهواء داخل الإطار بسرعة. ومع ثبات $n$ وثبات $V$ تقريبًا، تتطلب المعادلة $PV=nRT$ أن يرتفع الضغط بالنسبة نفسها التي ترتفع بها درجة الحرارة المطلقة، فيزداد خطر انفجار الإطار إذا كان منفوخًا أكثر من اللازم.

ملاحظات مهمة

حوّل $\text{mL}$ إلى $\text{L}$ (قسمة على $1000$ ) و $^{\circ}\text{C}$ إلى $\text{K}$ قبل التعويض.
$R$ بقيمة $8.31\times10^{3}$ تناسب الباسكال واللتر؛ أما بوحدة $\text{J/(mol·K)}$ فقيمته $8.31$ (مع الحجم بالمتر المكعب).
الحجم المولي $22.4\ \text{L/mol}$ صحيح فقط عند الظروف القياسية.
معادلة الغاز المثالي نموذج؛ وتنحرف عنها الغازات الحقيقية عند الضغط العالي ودرجات الحرارة المنخفضة (الدرس 1-7).

المفاهيم الأساسية

$PV=nRT$ تجمع قوانين بويل وشارل وأفوجادرو في معادلة واحدة.
$R=8.31\times10^{3}\ \text{Pa·L/(mol·K)}$ ثابت واحد لكل الغازات المثالية.
$n=\frac{w}{M}$ ، ومنها $M=\frac{wRT}{PV}$ ، و $M=\frac{dRT}{P}$ .
الحجم المولي لأي غاز في الظروف القياسية $22.4\ \text{L/mol}$ .

ملخص الدرس

معادلة الغاز المثالي $PV=nRT$ تربط أربعة متغيرات تصف حالة الغاز بثابت واحد $R$ مشترك بين جميع الغازات، ونحصل عليه من الحجم المولي في الظروف القياسية. وبها نحسب أي متغير مجهول إذا عُلمت الثلاثة الأخرى، ونعيّن الكتلة المولية لغاز مجهول من كتلته أو كثافته، مع الحرص على اتساق الوحدات.

أسئلة للتدريب

احسب حجم $0.10\ \text{mol}$ من غاز عند $57\,^{\circ}\text{C}$ و $2.0\times10^{5}\ \text{Pa}$ .
وُضع $0.32\ \text{g}$ من الأكسجين $\text{O}_2$ في إناء سعته $500\ \text{mL}$ عند $27\,^{\circ}\text{C}$ . احسب الضغط.
غاز كتلته $7.6\ \text{g}$ يشغل $4.15\ \text{L}$ عند $17\,^{\circ}\text{C}$ و $2.32\times10^{5}\ \text{Pa}$ . أوجد كتلته المولية.
ما درجة الحرارة المئوية اللازمة ليشغل $0.50\ \text{mol}$ من غاز حجم $33.2\ \text{L}$ تحت ضغط $4.0\times10^{4}\ \text{Pa}$ ؟
لماذا تصلح قيمة واحدة لـ $R$ لجميع الغازات المثالية؟