ملخص النظام السادس عشر (Hexadecimal) — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة السادسة: تصميم المعلومات — الموضوع 6-3

الأعداد الثنائية طويلة جدًّا ويسهل الخطأ في قراءتها؛ فالعدد $(11000110)_2$ مثلًا ثمانية أرقام! لذلك يستخدم المبرمجون نظامًا أقصر هو النظام السادس عشر، الذي يختصر كل أربعة أرقام ثنائية في رمز واحد. ستراه في أكواد الألوان مثل #FF0000 للون الأحمر.

أهداف التعلم

أن تتعرف على رموز النظام السادس عشر.
أن تستخدم جدول التناظر بين الأنظمة الثلاثة.
أن تحول بين النظامين الثنائي والسادس عشر.
أن تحول من النظام السادس عشر إلى العشري.

شرح الدرس

رموز النظام السادس عشر

النظام السادس عشر (Hexadecimal) يستخدم ستة عشر رمزًا: الأرقام من $0$ إلى $9$ ، والحروف من A إلى F. ويُكتب أحيانًا بالرقم 16 صغيرًا أسفل يمين العدد، مثل $(9A)_{16}$ .

جدول التناظر

عشري	ثنائي	سادس عشر	عشري	ثنائي	سادس عشر
0	0000	0	8	1000	8
1	0001	1	9	1001	9
2	0010	2	10	1010	A
3	0011	3	11	1011	B
4	0100	4	12	1100	C
5	0101	5	13	1101	D
6	0110	6	14	1110	E
7	0111	7	15	1111	F

لاحظ أن كل رمز سادس عشري يقابل أربعة أرقام ثنائية بالضبط، لأن $2^4 = 16$ . وبعد F يأتي العدد 16 ويكتب $(10)_{16}$ ، أي $(10000)_2$ .

من الثنائي إلى السادس عشر

قسّم العدد الثنائي إلى مجموعات من أربعة أرقام بدءًا من اليمين (أقل الأرقام قيمة)، وأضف أصفارًا على اليسار إذا نقصت المجموعة الأخيرة.
حوّل كل مجموعة إلى رمزها السادس عشري.
اكتب الرموز بالترتيب نفسه.

(10011010)_2 \;\to\; 1001 \;|\; 1010 \;\to\; 9 \;|\; A \;\to\; (9A)_{16}

من السادس عشر إلى الثنائي

حوّل كل رمز إلى أربعة أرقام ثنائية واكتبها بالترتيب:

(A4)_{16} \;\to\; A = 1010 \;,\; 4 = 0100 \;\to\; (10100100)_2

من السادس عشر إلى العشري

حوّل العدد أولًا إلى الثنائي، ثم حوّل الثنائي إلى العشري:

(C6)_{16} = (11000110)_2 = 2^7 + 2^6 + 2^2 + 2^1 = 128 + 64 + 4 + 2 = (198)_{10}

ويمكن أيضًا مباشرة: $C \times 16 + 6 = 12 \times 16 + 6 = 198$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حوّل $(111101)_2$ إلى السادس عشر. نضيف صفرين يسارًا: $0011 \;|\; 1101$ ← $3 \;|\; D$ ← $(3D)_{16}$ .

مثال 2: حوّل $(2F)_{16}$ إلى الثنائي: $2 = 0010$ و $F = 1111$ ← $(00101111)_2 = (101111)_2$ .

مثال 3: حوّل $(2F)_{16}$ إلى العشري: $2 \times 16 + 15 = 47$ .

تطبيق من الحياة: في تصميم صفحات الويب يُكتب اللون بستة رموز سادس عشرية: رمزان للأحمر ورمزان للأخضر ورمزان للأزرق. فاللون #FF0000 يعني أحمر بأقصى قيمة $(FF)_{16} = 255$ وبلا أخضر أو أزرق.

ملاحظات مهمة

ابدأ التقسيم إلى مجموعات من اليمين دائمًا، لا من اليسار.
الحروف A إلى F تمثل القيم من 10 إلى 15، وليست متغيرات جبرية.
الأصفار على اليسار لا تغير قيمة العدد: $(0101)_2 = (101)_2$ .

المفاهيم الأساسية

النظام السادس عشر: 0–9 ثم A–F (القيم 10–15).
كل رمز سادس عشري = 4 أرقام ثنائية.
ثنائي ← سادس عشر: مجموعات من 4 أرقام من اليمين.
سادس عشر ← ثنائي: كل رمز إلى 4 أرقام.
سادس عشر ← عشري: عبر الثنائي، أو بالضرب في قوى 16.

ملخص الدرس

النظام السادس عشر طريقة مختصرة لكتابة الأعداد الثنائية الطويلة؛ فكل رمز فيه يقابل أربعة أرقام ثنائية. نحول من الثنائي إليه بتقسيم العدد إلى مجموعات رباعية من اليمين، ونحول منه إلى الثنائي بتحويل كل رمز، ونصل إلى العشري عبر الثنائي أو بالضرب في قوى 16.

أسئلة للتدريب

اكتب القيم العشرية للرموز: B، D، F.
حوّل $(11011110)_2$ إلى السادس عشر.
حوّل $(7C)_{16}$ إلى الثنائي.
حوّل $(1A)_{16}$ إلى العشري.
ما القيمة العشرية لكل من الأحمر والأخضر والأزرق في اللون #00FF80؟