أسئلة: حاصل الضرب الديكارتي

الإجابة الصحيحة: المؤلفة الأولى

في الزوج المرتب $(x, y)$، يُسمى $x$ المؤلّفة الأولى و $y$ المؤلّفة الثانية.

الإجابة الصحيحة: $8$

لتساوي زوجين مرتبين، يجب أن تتساوى المؤلّفات الأولى والمؤلّفات الثانية. إذن $a=3$ و $b=5$. وبالتالي $a+b = 3+5 = 8$.

الإجابة الصحيحة: $x \in A$ و $y \in B$

تعريف حاصل الضرب الديكارتي $A \times B$ هو مجموعة الأزواج المرتبة $(x, y)$ حيث $x$ ينتمي للمجموعة الأولى $A$ و $y$ ينتمي للمجموعة الثانية $B$.

الإجابة الصحيحة: $\{(1,2), (1,3)\}$

يتم تكوين الأزواج المرتبة بأخذ عنصر من $A$ أولاً ثم عنصر من $B$.

الإجابة الصحيحة: $35$

عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي يُحسب بضرب عدد عناصر المجموعة الأولى في عدد عناصر المجموعة الثانية: $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 5 \times 7 = 35$.

الإجابة الصحيحة: $4$

بما أن $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$، فإن $24 = 6 \times n(B)$. بقسمة الطرفين على $6$ نحصل على $n(B) = 24 / 6 = 4$.

الإجابة الصحيحة: $\{s, r\}$

المجموعة $A$ تتكون من جميع المؤلّفات الأولى في الأزواج المرتبة لحاصل الضرب الديكارتي $A \times B$. المؤلّفات الأولى هنا هي $s$ و $r$.

الإجابة الصحيحة: $A \times B \neq B \times A$

حاصل الضرب الديكارتي ليس تبادليًا بشكل عام، لأن ترتيب العناصر في الزوج المرتب مهم.

الإجابة الصحيحة: $\{(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)\}$

$A \times A$ تعني ضرب المجموعة في نفسها، أي أخذ كل عنصر من $A$ كـمؤلّفة أولى مع كل عنصر من $A$ كـمؤلّفة ثانية.

الإجابة الصحيحة: الرسم البياني الدائري

الطرق الثلاث الشائعة لتمثيل حاصل الضرب الديكارتي هي الجدول، شكل الشجرة، والتمثيل البياني على المستوى الإحداثي.

الإجابة الصحيحة: $12$

من تساوي الزوجين المرتبين، لدينا $2x-1 = 5 \implies 2x = 6 \implies x = 3$. ولدينا $7 = y+3 \implies y = 7-3 \implies y = 4$. إذن $x \times y = 3 \times 4 = 12$.

الإجابة الصحيحة: $\{1, 2\}$

المجموعة $B$ تتكون من جميع المؤلّفات الثانية في الأزواج المرتبة لحاصل الضرب الديكارتي $A \times B$. المؤلّفات الثانية هنا هي $1$ و $2$.

$P \times Q = \{(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)\}$. $Q \times P = \{(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)\}$. لا، $P \times Q \neq Q \times P$ لأن الأزواج المرتبة تختلف في الترتيب، فمثلاً $(a,1) \in P \times Q$ بينما $(1,a) \in Q \times P$ وهما ليسا متساويين.

الفرق الأساسي هو أن الزوج المرتب $(x, y)$ يهتم بالترتيب، فـ $(x, y) \neq (y, x)$ إلا إذا كان $x=y$. أما المجموعة $\{x, y\}$ فلا يهتم بالترتيب، فـ $\{x, y\} = \{y, x\}$ دائمًا. مثال: الزوج المرتب $(1, 2)$ يختلف عن $(2, 1)$. بينما المجموعة $\{1, 2\}$ هي نفسها المجموعة $\{2, 1\}$.

المجموعة $C$ تتكون من جميع المؤلّفات الأولى في الأزواج المرتبة، وهي هنا $5$ و $6$. إذن $C = \{5, 6\}$. المجموعة $D$ تتكون من جميع المؤلّفات الثانية في الأزواج المرتبة، وهي هنا $m$ و $n$. إذن $D = \{m, n\}$.

نحن نعلم أن عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي $n(X \times Y)$ يُعطى بالعلاقة $n(X \times Y) = n(X) \times n(Y)$. بتعويض القيم المعطاة: $30 = n(X) \times 6$. لإيجاد $n(X)$ نقسم $30$ على $6$: $n(X) = 30 / 6 = 5$. إذن، عدد عناصر المجموعة $X$ هو $5$.

يمكن تمثيل حاصل الضرب الديكارتي بثلاث طرق رئيسية: 1. **طريقة الجدول:** يتم فيها كتابة عناصر المجموعة الأولى في صف وعناصر المجموعة الثانية في عمود، وتُملأ الخلايا بالأزواج المرتبة. 2. **طريقة الشجرة (شكل الشجرة):** تُرسم فروع من كل عنصر في المجموعة الأولى إلى كل عنصر في المجموعة الثانية. 3. **بيانيًا على المستوى الإحداثي:** تُمثَّل عناصر المجموعة الأولى على المحور الأفقي وعناصر المجموعة الثانية على المحور الرأسي، وتُمثَّل كل أزواج حاصل الضرب الديكارتي بنقاط.

بما أن هذا هو حاصل الضرب الديكارتي للمجموعة $A$ مع نفسها ($A \times A$)، فإن كلا المؤلفتين الأولى والثانية في كل زوج مرتب يجب أن تكونا من المجموعة $A$. بالنظر إلى جميع المؤلّفات الأولى في الأزواج المرتبة، نجد أنها $1, 3$. وبالنظر إلى جميع المؤلّفات الثانية في الأزواج المرتبة، نجد أنها أيضًا $1, 3$. إذن، المجموعة $A = \{1, 3\}$.