أسئلة: المجال المشترك وتساوي دوال الكسور الجبرية النسبية

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{1, -5\}$

نستبعد كل أصفار المقامات معًا: $1$ من الأولى و$-5$ من الثانية.

الإجابة الصحيحة: تقاطع مجالاتها

المجال المشترك تقاطع المجالات، أي $\mathbb{R}$ بعد استبعاد اتحاد أصفار المقامات.

الإجابة الصحيحة: تساوى مجالاهما وتساوت قيمتاهما عند كل عنصر في المجال

لتساوي الدالتين شرطان معًا: تساوي المجالين، وتساوي القاعدتين على هذا المجال.

الإجابة الصحيحة: خطأ

قد تتطابق الصورتان المختصرتان ويختلف المجالان، فلا تتساوى الدالتان.

الإجابة الصحيحة: صواب

تساوي المجالين شرط أساسي، فإذا اختلفا فالدالتان غير متساويتين.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{0, 2, -2\}$

أصفار المقام الأول $\{2, -2\}$ والثاني $\{0\}$، واتحادها $\{0, 2, -2\}$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{7\}$

المقام $x^2 + 1$ لا أصفار حقيقية له، فلا يُستبعد إلا $7$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{0, 3, -3\}$

أصفار $x(x - 3)$ هي $\{0, 3\}$ وأصفار $(x - 3)(x + 3)$ هي $\{3, -3\}$، واتحادها $\{0, 3, -3\}$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{0, 1, -1\}$

نستبعد أصفار المقامات الثلاثة: $0$ و$1$ و$-1$.

الإجابة الصحيحة: لا، لأن مجال $n_1$ هو $\mathbb{R} - \{0, -2\}$ ومجال $n_2$ هو $\mathbb{R} - \{-2\}$

رغم تطابق الصورتين المختصرتين، فالعدد $0$ ينتمي لمجال $n_2$ فقط، فالمجالان مختلفان.

الإجابة الصحيحة: لأن $0$ صفر لمقام الدالة الثانية في صورتها الأصلية

المقام $x^2 - x = x(x - 1)$ يساوي صفرًا عند $0$، أما $x - 1$ فلا يساوي صفرًا عند $0$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2x}{2x + 2}$

مجال $n$ هو $\mathbb{R} - \{-1\}$، و$\frac{2x}{2(x + 1)}$ لها المجال نفسه وتختصر إلى $\frac{x}{x + 1}$؛ أما الأخرى فمجالاتها $\mathbb{R} - \{0, -1\}$ و$\mathbb{R} - \{1, -1\}$ و$\mathbb{R} - \{-1, -2\}$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{-3, 0, 2\}$

$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$ وأصفاره $\{-3, 2\}$، و$x^2 - 2x = x(x - 2)$ وأصفاره $\{0, 2\}$، والاتحاد $\{-3, 0, 2\}$.

الإجابة الصحيحة: $n_1 \neq n_2$ لأن $-1$ ينتمي إلى مجال $n_1$ فقط

$n_2(x) = \frac{3(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)}$ ومجالها $\mathbb{R} - \{2, -1\}$، بينما مجال $n_1$ هو $\mathbb{R} - \{2\}$، فيختلف المجالان عند $-1$.

الإجابة الصحيحة: لا توجد قيمة لـ $a$ تحقق ذلك

مجال $n_1$ هو $\mathbb{R} - \{0, -3\}$ ومجال $n_2$ هو $\mathbb{R} - \{0\}$ مهما كانت $a$، فالمجالان لا يتساويان أبدًا.

تتساوى الدالتان $n_1$ و$n_2$ إذا: 1) تساوى مجالاهما، 2) وتساوت قيمتاهما $n_1(x) = n_2(x)$ لكل $x$ في هذا المجال. ولا يكفي تطابق الصورتين المختصرتين لأن الاختصار قد يحذف عاملًا من المقام، فيختلف المجالان رغم تطابق القاعدتين.

أصفار المقام الأول $x(x - 5)$ هي $\{0, 5\}$، وأصفار المقام الثاني $(x - 5)(x + 5)$ هي $\{5, -5\}$. المجال المشترك $\mathbb{R} - \{0, 5, -5\}$.

مجال $n_1$ من مقامها $(x - 3)(x + 3)$ هو $\mathbb{R} - \{3, -3\}$، واختصارها $\frac{x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x}{x + 3}$. مجال $n_2$ هو $\mathbb{R} - \{-3\}$. المجالان مختلفان (العدد $3$ ينتمي لمجال $n_2$ فقط)، إذن $n_1 \neq n_2$، مع أنهما تتساويان عند كل عنصر في $\mathbb{R} - \{3, -3\}$.

مقام $n_1$: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ وصفره $-2$، فمجالها $\mathbb{R} - \{-2\}$، و$n_1(x) = \frac{x(x + 2)}{(x + 2)^2} = \frac{x}{x + 2}$. مقام $n_2$: $3x + 6 = 3(x + 2)$ وصفره $-2$، فمجالها $\mathbb{R} - \{-2\}$، و$n_2(x) = \frac{3x}{3(x + 2)} = \frac{x}{x + 2}$. المجالان متساويان والقاعدتان متساويتان على هذا المجال، إذن $n_1 = n_2$.