ملخص التمثيل البياني للحركة في خط مستقيم — ثالثة إعدادي

معلومات الدرس

الترم: الأول
الوحدة: الوحدة الأولى: القوى والحركة (الدرس الثاني)

المحتوى الرئيسي

أهمية التمثيل البياني في دراسة الحركة

يساعد التمثيل البياني على تلخيص وصف حركة جسم ما بصورة مرئية سهلة القراءة بدلًا من جداول أرقام طويلة، ويمكّننا من استنتاج نوع الحركة وحساب كمياتها (كالسرعة أو التسارع) مباشرة من شكل الخط البياني وميله ومساحته.

العلاقة البيانية بين المسافة والزمن

في هذا الرسم البياني يوضع الزمن $t$ على المحور الأفقي (السيني) والمسافة $d$ على المحور الرأسي (الصادي). ويُعرَّف ميل الخط (الانحدار) بأنه التغير في المسافة مقسومًا على التغير في الزمن المقابل له، وهو ما يساوي السرعة تمامًا:

\text{الميل} = \frac{\Delta d}{\Delta t} = \frac{d_2 - d_1}{t_2 - t_1} = v

إذا كان الخط البياني مستقيمًا مائلًا بميل ثابت: فالجسم يتحرك بسرعة منتظمة (ثابتة)، وكلما زاد ميل الخط (أي كان أكثر انحدارًا نحو الأعلى) دلّ ذلك على سرعة أكبر.
إذا كان الخط أفقيًا (موازيًا لمحور الزمن، ميله = صفر): فالجسم في حالة سكون تام (المسافة لا تتغير مع الزمن، أي السرعة = صفر).
إذا كان الخط منحنيًا (ميله يتغير من نقطة لأخرى): فالجسم يتحرك بحركة غير منتظمة؛ فإذا كان الخط يزداد انحناءً نحو الأعلى (الميل يتزايد) فالجسم يتسارع (سرعته تزداد)، وإذا كان الميل يتناقص فالجسم يتباطأ (سرعته تقل).

ثلاثة منحنيات للمسافة مع الزمن: خط مستقيم مائل لسرعة منتظمة، وخط أفقي للسكون، ومنحنى يزداد انحدارًا لجسم يتسارع

العلاقة البيانية بين السرعة والزمن

يوضع الزمن $t$ على المحور الأفقي والسرعة $v$ على المحور الرأسي. ولهذا الرسم البياني استخدامان مهمان:

1) استنتاج التسارع من الميل: التسارع هو معدل تغيّر السرعة بالنسبة للزمن، ويُحسب من ميل خط السرعة-الزمن:

a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}

فإذا كان الخط مستقيمًا صاعدًا بميل موجب ثابت، فالجسم يتحرك بتسارع منتظم (سرعته تزداد بمعدل ثابت). وإذا كان الخط أفقيًا (ميله صفر)، فالجسم يتحرك بسرعة منتظمة (تسارع = صفر). أما إذا كان الخط مستقيمًا هابطًا (ميل سالب)، فالجسم يتباطأ.

2) استنتاج المسافة من المساحة تحت المنحنى: تُمثّل المساحة المحصورة بين خط السرعة-الزمن ومحور الزمن المسافة الكلية المقطوعة خلال تلك الفترة الزمنية. فإذا كانت السرعة ثابتة، تكون هذه المساحة مستطيلًا يُحسب بضرب السرعة (الارتفاع) في الزمن (القاعدة)، وهو ما يتفق تمامًا مع علاقة $d = v \times t$ .

ثلاثة منحنيات للسرعة مع الزمن: خط أفقي لسرعة ثابتة والمساحة تحته تمثل المسافة، وخط صاعد لتسارع منتظم، وخط هابط لتباطؤ

مقارنة حركتين على نفس الرسم البياني

عند تمثيل حركتين لجسمين مختلفين على نفس محاور المسافة-الزمن، يدل تقاطع الخطين على أن الجسمين كانا في نفس الموضع في نفس اللحظة (أي أحدهما لحق بالآخر أو تجاوزه)، بينما يدل الخط الأكثر انحدارًا في أي لحظة على أن صاحبه أسرع في تلك اللحظة.

النقاط الرئيسية

في رسم المسافة-الزمن: الميل = السرعة؛ الخط المستقيم المائل = سرعة منتظمة، الخط الأفقي = سكون، الخط المنحني = سرعة متغيرة.
زيادة ميل خط المسافة-الزمن تعني زيادة السرعة، ونقصانه يعني نقصان السرعة.
في رسم السرعة-الزمن: الميل = التسارع؛ والمساحة تحت الخط = المسافة الكلية المقطوعة.
الخط الأفقي في رسم السرعة-الزمن يعني سرعة منتظمة (تسارع = صفر).
تقاطع خطين في رسم المسافة-الزمن يعني تساوي موضعي الجسمين في تلك اللحظة.

تطبيقات / أمثلة

مثال 1: يوضح جدول بيانات حركة دراجة أن المسافة تزداد من صفر إلى 40 مترًا خلال 8 ثوانٍ بمعدل منتظم. احسب السرعة من الرسم البياني.

الحل: الميل $= \dfrac{\Delta d}{\Delta t} = \dfrac{40 - 0}{8 - 0} = 5 \ \text{m/s}$

مثال 2: رسم بياني للسرعة-الزمن يبين أن سرعة سيارة زادت من صفر إلى 20 m/s خلال 4 ثوانٍ بمعدل منتظم. احسب التسارع والمسافة المقطوعة خلال هذه الفترة.

الحل:

a = \frac{20 - 0}{4 - 0} = 5 \ \text{m/s}^2

المسافة = مساحة المثلث تحت الخط $= \dfrac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 20 = 40 \ \text{متر}$

مثال 3 (تطبيق واقعي): يستخدم مهندسو المرور رسومات المسافة-الزمن لتتبع حركة السيارات عبر تقاطع مروري ومعرفة ما إذا كانت سيارتان ستتصادمان (تقاطع خطيهما البياني عند نفس نقطة الزمن والموضع)، مما يساعد في تصميم أنظمة الإشارات الذكية.

أسئلة للمراجعة

ماذا يعني أن يكون خط العلاقة بين المسافة والزمن أفقيًا؟
كيف تستنتج من الرسم البياني للسرعة والزمن أن جسمًا يتحرك بتسارع منتظم؟
في رسم بياني للسرعة-الزمن، السرعة ثابتة عند 10 m/s لمدة 6 ثوانٍ. احسب المسافة المقطوعة باستخدام مفهوم المساحة تحت المنحنى.
وضّح كيف يمكن معرفة أن جسمًا في حالة سكون من الرسم البياني للمسافة والزمن.

الأهداف العامة

أن يرسم الطالب العلاقة البيانية بين المسافة والزمن لجسم متحرك من بيانات جدولية.
أن يستنتج الطالب نوع الحركة (منتظمة، غير منتظمة، سكون) من شكل خط العلاقة بين المسافة والزمن.
أن يحسب الطالب السرعة من ميل (انحدار) خط العلاقة بين المسافة والزمن.
أن يفسّر الطالب العلاقة البيانية بين السرعة والزمن، ويستنتج منها التسارع والمسافة المقطوعة.
أن يقارن الطالب بين حركتين مختلفتين ممثَّلتين على نفس الرسم البياني.