أسئلة: التوزيع الطبيعي

الإجابة الصحيحة: الوسط الحسابي $\mu$ والانحراف المعياري $\sigma$

يتحدد منحنى التوزيع الطبيعي بالكامل بمعلمتين هما الوسط الحسابي $\mu$ الذي يحدد مركزه والانحراف المعياري $\sigma$ الذي يحدد تشتته.

الإجابة الصحيحة: 1

المساحة الكلية تحت أي منحنى توزيع احتمالي متصل تساوي دائمًا الواحد الصحيح.

الإجابة الصحيحة: 0

عندما $x = \mu$، تكون $Z = (\mu - \mu) / \sigma = 0 / \sigma = 0$.

الإجابة الصحيحة: عدد الانحرافات المعيارية التي تبعدها $x$ عن $\mu$

تعبر قيمة $Z$ عن مدى بعد القيمة عن الوسط مقاسًا بوحدات الانحراف المعياري.

الإجابة الصحيحة: 0.8413

$P(Z < 1) = P(Z < 0) + P(0 < Z < 1) = 0.5 + 0.3413 = 0.8413$.

الإجابة الصحيحة: المنحنى متماثل حول الوسط $\mu$

ينقسم منحنى التوزيع الطبيعي إلى نصفين متطابقين تمامًا عند الوسط الحسابي $\mu$.

الإجابة الصحيحة: 0.0228

$P(Z > 2) = 0.5 - P(0 < Z < 2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$.

الإجابة الصحيحة: توزيع بوسط $\mu=0$ وانحراف $\sigma=1$

التوزيع المعياري هو حالة خاصة من التوزيع الطبيعي يكون فيه الوسط صفر والانحراف المعياري واحد.

الإجابة الصحيحة: تتناقص تدريجيًا

تتركز البيانات حول الوسط وتتناقص كثافتها كلما ابتعدنا عنه في الاتجاهين.

الإجابة الصحيحة: 2

$Z = (70 - 50) / 10 = 20 / 10 = 2$.

الإجابة الصحيحة: 0.5

بسبب التماثل حول الوسط (الذي يمثل $Z=0$)، فإن نصف المساحة يقع يسار الوسط.

الإجابة الصحيحة: قياس أطوال الأشخاص في مجتمع كبير

التوزيع الطبيعي يصف الظواهر الطبيعية والاجتماعية المستمرة كالأطوال والأوزان.

الإجابة الصحيحة: $159$ و$171$ سم

مساحة $68.26\%$ تقع بين $\mu - \sigma = 159$ و$\mu + \sigma = 171$.

الإجابة الصحيحة: $95.44\%$

$153 = \mu - 2\sigma$ و$177 = \mu + 2\sigma$ فالنسبة $95.44\%$.

الإجابة الصحيحة: $1.5$

$z = \frac{84 - 72}{8} = 1.5$.

الإجابة الصحيحة: $0.0668$

$P(Z > 1.5) = 0.5 - 0.4332 = 0.0668$.

الإجابة الصحيحة: $0.8185$

$z_1 = -1$ و$z_2 = 2$ فـ$P = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185$.

الإجابة الصحيحة: $0.5764$

$P(0 \le Z \le 0.5) + P(0 \le Z \le 1.2) = 0.1915 + 0.3849 = 0.5764$.

الإجابة الصحيحة: $0.1832$

$P(0 \le Z \le 1.9) - P(0 \le Z \le 0.8) = 0.4713 - 0.2881 = 0.1832$.

الإجابة الصحيحة: $4$

$\sigma = \sqrt{16} = 4$؛ فالمعامل الثاني في $N(\mu, \sigma^2)$ هو التباين.

الإجابة الصحيحة: أقل من المتوسط بانحرافين معياريين

$z$ يعبّر عن عدد الانحرافات المعيارية، والإشارة السالبة تعني أن القيمة تحت المتوسط.

الإجابة الصحيحة: $0.1587$

$\sigma = 4$ فـ$z = \frac{72 - 68}{4} = 1$ و$P(Z > 1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587$.

الإجابة الصحيحة: صواب

احتمال أي قيمة منفردة في المتغير المتصل يساوي صفرًا.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ المعامل الثاني هو التباين $\sigma^2$.

باستخدام قانون التحويل المعياري: $Z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{120 - 100}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

بما أن المساحة تحت المنحنى عن يسار الوسط تساوي 0.5، فإن $P(Z < 1.5) = P(Z < 0) + P(0 < Z < 1.5) = 0.5 + 0.4332 = 0.9332$.

القيمة 50 هي الوسط الحسابي ($\mu$)، أي أن $Z=0$. وبما أن المنحنى متماثل تمامًا، فإن احتمال أن تكون القيمة أكبر من الوسط هو نصف المساحة الكلية، أي 0.5.

المساحة الكلية عن يمين الوسط تساوي 0.5. إذن $P(Z > 1.2) = 0.5 - P(0 < Z < 1.2) = 0.5 - 0.3849 = 0.1151$.

خاصية التماثل تعني أن المنحنى ينقسم لنصفين متطابقين عند الوسط، مما يسمح لنا بحساب احتمالات أي منطقة باستخدام نصف المساحة (0.5) والبيانات المجدولة لقيم $Z$ الموجبة فقط، حيث أن $P(Z < -z) = P(Z > z)$.

(أ) $z = \frac{84 - 72}{8} = 1.5$ فـ$P = 0.5 - 0.4332 = 0.0668$. (ب) $z = \frac{60 - 72}{8} = -1.5$ وبالتماثل $P = 0.0668$. (ج) $z_1 = -1$ و$z_2 = 2$ فـ$P = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185$.

$P(X > 84) = 0.0668$ فالعدد المتوقع $= 500 \times 0.0668 = 33.4 \approx 33$ طالبًا.

$\sigma = 4$. $z_1 = \frac{64 - 68}{4} = -1$ و$z_2 = \frac{72 - 68}{4} = 1$. $P(-1 < Z < 1) = 2 \times 0.3413 = 0.6826$ أي نحو $68.26\%$ (وهي القاعدة التقريبية عند $\mu \pm \sigma$).

الأولى: $P(0 \le Z \le 0.8) + P(0 \le Z \le 2.1) = 0.2881 + 0.4821 = 0.7702$. الثانية: $P(0 \le Z \le 1.6) - P(0 \le Z \le 0.4) = 0.4452 - 0.1554 = 0.2898$.

لأن أي متغير طبيعي $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ يمكن تحويله بالعلاقة $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ إلى متغير معياري $Z \sim N(0, 1)$ له المنحنى نفسه دائمًا، فتصبح الاحتمالات هي مساحات تحت المنحنى المعياري الذي نقرؤه من جدول واحد مهما اختلفت قيمتا $\mu$ و$\sigma$.