أسئلة: الرباعيات وتمثيلها بيانيًا

الإجابة الصحيحة: 75%

الرباعي الثالث $Q_3$ هو القيمة التي يقع دونها ثلاثة أرباع البيانات (75%)، بينما يقع دون الوسيط $Q_2$ نصف البيانات (50%)، ودون الرباعي الأول $Q_1$ ربع البيانات (25%).

الإجابة الصحيحة: 4

رتبة $Q_1 = (n+1)/4 = (15+1)/4 = 16/4 = 4$.

الإجابة الصحيحة: الوسيط

الرباعي الثاني $Q_2$ يقسم البيانات إلى نصفين متساويين، وهو التعريف الرياضي للوسيط.

الإجابة الصحيحة: 5

القيم الخمس هي: أصغر قيمة، $Q_1$، $Q_2$ (الوسيط)، $Q_3$، وأكبر قيمة.

الإجابة الصحيحة: 15

رتبة $Q_3 = 3(n+1)/4 = 3(19+1)/4 = 3(20)/4 = 60/4 = 15$.

الإجابة الصحيحة: النصف الأوسط من البيانات (بين $Q_1$ و$Q_3$)

الصندوق يمتد من الرباعي الأول إلى الرباعي الثالث، مما يمثل النصف الأوسط من البيانات.

الإجابة الصحيحة: نأخذ القيمة الواقعة في هذه الرتبة مباشرة

عندما تكون الرتبة عدداً صحيحاً، تكون قيمة الرباعي هي القيمة الموجودة في ترتيب هذه الرتبة في البيانات المرتبة.

الإجابة الصحيحة: الرباعي الثاني $Q_2$ (الوسيط)

يُرسم خط عمودي داخل الصندوق عند قيمة الوسيط $Q_2$.

الإجابة الصحيحة: 4

رتبة $Q_2 = (n+1)/2 = (7+1)/2 = 8/2 = 4$.

الإجابة الصحيحة: الشاربان (إلى أصغر وأكبر قيمة)

الشاربان هما الخطان اللذان يمتدان من طرفي الصندوق إلى أصغر وأكبر قيمة في البيانات.

الإجابة الصحيحة: تمثيل مدى تركّز البيانات بصرياً

يوفر صندوق الانتشار صورة بصرية سريعة عن مدى تركّز البيانات وتماثلها أو التوائها.

الإجابة الصحيحة: $6.5$

رتبة $Q_1 = \frac{5+1}{4} = 1.5$ بين القيمة الأولى $5$ والثانية $8$ فنأخذ $5 + (8 - 5) \times 0.5 = 6.5$.

الإجابة الصحيحة: $9$

رتبة $Q_3 = \frac{3(11+1)}{4} = 9$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{n}{4}$

في الجدول التكراري نستعمل الرتب $\frac{n}{4}$ و$\frac{2n}{4}$ و$\frac{3n}{4}$ (وليس $n+1$).

الإجابة الصحيحة: $19$

رتبة $Q_2 = 6.5$ بين السادسة $18$ والسابعة $20$ فنأخذ $\frac{18 + 20}{2} = 19$.

الإجابة الصحيحة: $8.75$

رتبة $Q_1 = 10$. $Q_1 = 5 + \frac{10 - 4}{8} \times 5 = 5 + 3.75 = 8.75$.

الإجابة الصحيحة: $50\%$ من البيانات

الصندوق يمتد من $Q_1$ إلى $Q_3$ وبينهما نصف البيانات.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ الرتبة هي موضع الرباعي في البيانات المرتبة، والقيمة هي العدد نفسه الموجود في هذا الموضع.

الإجابة الصحيحة: صواب

الرباعيات تُحسب من البيانات المرتبة.

عدد القيم $n=7$. رتبة $Q_1 = (7+1)/4 = 2$، إذن $Q_1 = 15$. رتبة $Q_2 = (7+1)/2 = 4$، إذن $Q_2 = 25$. رتبة $Q_3 = 3(7+1)/4 = 6$، إذن $Q_3 = 35$.

إذا كانت الرتبة عدداً كسرياً (مثلاً 2.5)، نقوم بعملية الاستيفاء الخطي بين القيمة المقابلة للرتبة الصحيحة الأدنى والقيمة المقابلة للرتبة الصحيحة الأعلى المجاورة لها، وذلك لأخذ قيمة دقيقة تقع بينهما.

أصغر قيمة = 2، أكبر قيمة = 20. رتبة $Q_1 = (7+1)/4 = 2$ (القيمة 5)، رتبة $Q_2 = 4$ (القيمة 11)، رتبة $Q_3 = 6$ (القيمة 17). القيم هي: 2, 5, 11, 17, 20.

الصندوق القصير يعني أن النصف الأوسط من البيانات متقارب جداً حول الوسيط (تركيز عالٍ)، بينما الصندوق الطويل يعني أن النصف الأوسط من البيانات متباعد ومشتت أكثر (تشتت أكبر).

لأن صندوق الانتشار يمثل توزيع البيانات، والوسيط هو نقطة المنتصف التي تقسم البيانات إلى نصفين، ويُعتبر الخط العمودي الذي يمثله داخل الصندوق مرجعاً أساسياً لمعرفة تماثل التوزيع.

يعني ذلك أن القيمة الموجودة في الترتيب العاشر من البيانات المرتبة هي القيمة التي يقع تحتها 75% من إجمالي عدد البيانات في هذه المجموعة.

$n = 9$. رتبة $Q_1 = \frac{10}{4} = 2.5$ بين القيمة الثانية $4$ والثالثة $7$: $Q_1 = 4 + (7 - 4) \times 0.5 = 5.5$. رتبة $Q_2 = 5$ فهي القيمة الخامسة $11$. رتبة $Q_3 = \frac{30}{4} = 7.5$ بين السابعة $15$ والثامنة $19$: $Q_3 = 15 + (19 - 15) \times 0.5 = 17$.

$n = 40$ والتكرار المتجمع الصاعد: $5$ و$15$ و$30$ و$40$. رتبة $Q_2 = \frac{40}{2} = 20$ وتقع في الفئة $20–30$ ($F = 15$ و$f = 15$ و$h = 10$). $Q_2 = 20 + \frac{20 - 15}{15} \times 10 = 20 + 3.33 \approx 23.33$.

القيم الخمس: أصغر قيمة $7$، و$Q_1 = 12.5$، و$Q_2 = 19$، و$Q_3 = 26.5$، وأكبر قيمة $34$. نرسم خطًا مدرجًا ونرسم مستطيلًا من $12.5$ إلى $26.5$ وخطًا رأسيًا داخله عند $19$، ثم نصل طرفي الصندوق بخطين أفقيين إلى $7$ و$34$.

القيم في المخطط مرتبة أصلًا فنعدّ الأوراق من الأول بحسب رتب الرباعيات $\frac{n+1}{4}$ و$\frac{2(n+1)}{4}$ و$\frac{3(n+1)}{4}$. مثال: لـ $15$ قيمة مرتبة تكون الرتب $4$ و$8$ و$12$ فنأخذ الورقة الرابعة والثامنة والثانية عشرة (ويضاف إليها ساقها) لإيجاد $Q_1$ و$Q_2$ و$Q_3$.