أسئلة: التقدير الإحصائي وفترات الثقة

الإجابة الصحيحة: التقدير النقطي

التقدير النقطي هو تقدير المعلمة بقيمة واحدة محددة، بينما تقدير فترة الثقة يعطي مجالًا من القيم.

الإجابة الصحيحة: 1.96

من جدول التوزيع الطبيعي المعياري، مستوى الثقة 95% يقابله $z = 1.96$.

الإجابة الصحيحة: 3.92

هامش الخطأ = $z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \times 2 = 3.92$.

الإجابة الصحيحة: يقل عرض الفترة

زيادة حجم العينة تقلل الخطأ المعياري $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$، مما يؤدي إلى تضييق فترة الثقة.

الإجابة الصحيحة: 2.58

قيمة $z$ المقابلة لمستوى ثقة 99% هي حوالي 2.58.

الإجابة الصحيحة: 95 < $\mu$ < 105

فترة الثقة هي $\bar{x} \pm$ هامش الخطأ، أي $100 \pm 5$.

الإجابة الصحيحة: لأن معامل الثقة $z$ يزداد

ارتفاع مستوى الثقة يتطلب قيمة $z$ أكبر، مما يزيد من هامش الخطأ ويوسع الفترة.

الإجابة الصحيحة: الخطأ المعياري للمتوسط

تُعرف القيمة $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ بالخطأ المعياري للمتوسط.

الإجابة الصحيحة: 2

الخطأ المعياري = $\frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$.

الإجابة الصحيحة: تقدير فترة الثقة

فترة الثقة تعطي مجالًا يعكس عدم اليقين، بينما التقدير النقطي يعطي قيمة واحدة فقط.

الإجابة الصحيحة: يقل إلى النصف

بما أن $n$ تحت الجذر في المقام، فإن زيادة $n$ أربع مرات تجعل $\sqrt{n}$ تتضاعف، فيقل الخطأ المعياري للنصف.

الإجابة الصحيحة: $\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

هذه هي الصيغة الرياضية المعتمدة لحساب فترة الثقة لمتوسط المجتمع.

الإجابة الصحيحة: متوسط المجتمع $\mu$

المعلمة قيمة ثابتة مجهولة تصف المجتمع كمتوسطه $\mu$، أما $\bar{x}$ فإحصاء يُحسب من العينة.

الإجابة الصحيحة: $0.05$

مستوى الثقة $= 1 - \alpha = 0.95$ فـ$\alpha = 0.05$.

الإجابة الصحيحة: $0.475$

المساحة $= \frac{0.95}{2} = 0.475$ ومنها $z = 1.96$.

الإجابة الصحيحة: $2.94$

$E = 1.96 \times \frac{12}{8} = 1.96 \times 1.5 = 2.94$.

الإجابة الصحيحة: $[77.06,\ 82.94]$

$80 \pm 2.94 = [77.06, 82.94]$.

الإجابة الصحيحة: $3.36$

$\sigma = \sqrt{144} = 12$ ثم $E = 1.96 \times \frac{12}{7} = 3.36$.

الإجابة الصحيحة: $10$ و$0.7$

الوسط منتصف الفترة $= \frac{9.3 + 10.7}{2} = 10$ والخطأ نصف عرضها $= \frac{10.7 - 9.3}{2} = 0.7$.

الإجابة الصحيحة: $[38.71,\ 41.29]$

$E = 2.58 \times \frac{5}{10} = 1.29$ فالفترة $[38.71, 41.29]$.

الإجابة الصحيحة: $[46.08,\ 53.92]$

$E = 1.96 \times \frac{18}{9} = 3.92$ فالفترة $[46.08, 53.92]$.

الإجابة الصحيحة: $97$

$\sqrt{n} = \frac{1.96 \times 10}{2} = 9.8$ فـ$n = 96.04$ ونقرّب للأعلى فيكون $97$.

الإجابة الصحيحة: صواب

لذلك نفسّر الفترة بأن نحو $95\%$ من الفترات المحسوبة بهذه الطريقة تحوي $\mu$.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ تزداد $\sqrt{n}$ في المقام فيقل الخطأ $E$ وتضيق الفترة.

أولًا نحسب الخطأ المعياري: $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0.5$. ثانيًا نحسب هامش الخطأ: $z \cdot 0.5 = 1.96 \times 0.5 = 0.98$. إذن فترة الثقة هي: $70 - 0.98 < \mu < 70 + 0.98$، أي $69.02 < \mu < 70.98$.

التقدير النقطي يحدد قيمة واحدة للمعلمة (مثل $\bar{x}$ لـ $\mu$) وهو سهل ولكنه لا يعطي فكرة عن مدى دقة التقدير. أما تقدير فترة الثقة فيحدد مجالًا من القيم يتوقع أن تقع فيه المعلمة الحقيقية بدرجة ثقة محددة، مما يوفر معلومات حول عدم اليقين المصاحب للتقدير ويجعله أكثر إفادة.

الخطأ المعياري = $\frac{4}{\sqrt{16}} = \frac{4}{4} = 1$. هامش الخطأ = $2.58 \times 1 = 2.58$. فترة الثقة = $20 \pm 2.58$، أي $17.42 < \mu < 22.58$.

زيادة مستوى الثقة تؤدي إلى اتساع فترة الثقة. يحدث ذلك لأن مستوى الثقة الأعلى يتطلب قيمة أكبر لمعامل الثقة $z$ (من 1.96 إلى 2.58 تقريبًا) لتغطية مساحة أكبر من التوزيع الطبيعي. وبما أن هامش الخطأ هو حاصل ضرب $z$ في الخطأ المعياري، فإن زيادة $z$ تؤدي لزيادة هامش الخطأ وبالتالي اتساع الفترة.

نستخدم $\sqrt{n}$ لأن الخطأ في تقدير المتوسط يقل كلما زاد حجم العينة بمعدل يتناسب مع الجذر التربيعي لحجم العينة. عمليًا، هذا يعني أننا نحصل على "تناقص في العوائد" عند زيادة حجم العينة؛ فمضاعفة حجم العينة أربع مرات مطلوبة لتقليل الخطأ بمقدار النصف فقط، مما يساعد الباحثين على الموازنة بين تكلفة جمع البيانات ودقة النتائج المطلوبة.

الخطأ المعياري = $\frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2$. هامش الخطأ = $z \cdot 2 = 1.96 \times 2 = 3.92$.

$E = 1.96 \times \frac{12}{\sqrt{64}} = 1.96 \times 1.5 = 2.94$. الفترة: $[80 - 2.94,\ 80 + 2.94] = [77.06,\ 82.94]$. التفسير: لو أخذنا $100$ عينة عشوائية بالحجم نفسه وحسبنا فترة ثقة لكل منها فإننا نتوقع أن نحو $95$ فترة تحوي المتوسط الحقيقي $\mu$.

الوسط $= \frac{48.04 + 51.96}{2} = 50$. الخطأ $E = \frac{51.96 - 48.04}{2} = 1.96$. من $E = 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{100}} = 1.96 \times \frac{\sigma}{10}$ نحصل على $1.96 = 0.196\sigma$ فـ$\sigma = 10$.

$E = 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ فـ$\sqrt{n} = \frac{1.96 \times 20}{4} = 9.8$ ومنه $n = 9.8^2 = 96.04$. نقرّب إلى الأعلى فيكون $n = 97$.

مستوى الثقة $0.99$ فـ$\alpha = 0.01$. المساحة بين الصفر والقيمة الحرجة $= \frac{0.99}{2} = 0.495$. نبحث عنها في جسم جدول المساحات فنجدها بين $z = 2.57$ ($0.4949$) و$z = 2.58$ ($0.4951$) فنأخذ القيمة الحرجة $\approx 2.58$.

$E = 1.96 \times \frac{300}{6} = 98$ فالفترة $[3902,\ 4098]$. عند $99\%$ تكون القيمة الحرجة أكبر ($\approx 2.58$) فيكبر الخطأ ($2.58 \times 50 = 129$) وتصبح الفترة أوسع $[3871,\ 4129]$. فزيادة مستوى الثقة تتطلب فترة أوسع.