أسئلة: دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي المتصل

الإجابة الصحيحة: صفر

احتمال أي قيمة مفردة لمتغير عشوائي متصل يُحسَب بتكامل دالة الكثافة على مجال عرضه صفر، وبالتالي تكون النتيجة صفرًا دائمًا.

الإجابة الصحيحة: المتغير العشوائي المتصل

المتغير العشوائي المتصل يتميز بأنه يأخذ أي قيمة ضمن مجال متصل، بخلاف المتقطع الذي يأخذ قيمًا منفصلة معدودة.

الإجابة الصحيحة: أن تكون دائمًا أكبر من أو تساوي الصفر

الشرط الأساسي الأول لصحة دالة كثافة الاحتمال هو ألا تكون سالبة في أي نقطة ضمن مجالها، أي $f(x) \geq 0$.

الإجابة الصحيحة: المساحة الكلية تحت المنحنى وفوق المحور الأفقي تساوي $1$

الشرطان: $f(x) \ge 0$ والمساحة الكلية تحت المنحنى تساوي $1$. وقد تزيد قيمة الدالة على $1$ ما دامت المساحة الكلية $1$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3}{8}$

المساحة مستطيل عرضه $3$ وارتفاعه $\frac{1}{8}$ فتساوي $\frac{3}{8}$.

الإجابة الصحيحة: $1$

مستطيل عرضه $6 - 2 = 4$ وارتفاعه $\frac{1}{4}$ فمساحته $1$، فهي دالة كثافة.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

$(5 - 3) \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

$f(4) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$، ومساحة المثلث $\frac{1}{2} \times 4 \times \frac{1}{2} = 1$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

المساحة شبه منحرف قاعدتاه $f(1) = \frac{1}{8}$ و$f(3) = \frac{3}{8}$ وارتفاعه $2$: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{8} + \frac{3}{8}\right) \times 2 = \frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $3$

المساحة شبه منحرف قاعدتاه $\frac{k}{20}$ و$\frac{4+k}{20}$ وارتفاعه $4$: $\frac{4k + 8}{20} = 1$ فـ$k = 3$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{3}$

$f(x) = \frac{1}{6}$ فالاحتمال $(6 - 4) \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $0.25$

مساحة المستطيل $4 \times k = 1$ فـ$k = 0.25$.

الإجابة الصحيحة: المساحة الكلية $= \frac{1}{2}$ وليست $1$

المساحة $2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \ne 1$ فلا يتحقق الشرط الثاني.

الإجابة الصحيحة: وزن طفل حديث الولادة

الوزن يأخذ أي قيمة في فترة، أما البقية فأعداد صحيحة يمكن عدها.

الإجابة الصحيحة: صواب

لأن احتمال أي قيمة منفردة $0$ فلا يفرق وجود الحد أو غيابه.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ الاحتمال مساحة وليس ارتفاعًا، فمثلًا $f(x) = 2$ على $[0, 0.5]$ مساحتها $1$.

الشرط الأول: $f(x) = \frac{1}{4} \ge 0$. الشرط الثاني: المساحة الكلية مستطيل عرضه $6 - 2 = 4$ وارتفاعه $\frac{1}{4}$ فتساوي $1$. إذن هي دالة كثافة احتمال. $P(3 < X < 5) = (5 - 3) \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.

المساحة الكلية مثلث قاعدته $2$ وارتفاعه $f(2) = 2k$ فمساحته $\frac{1}{2} \times 2 \times 2k = 2k = 1$ ومنه $k = \frac{1}{2}$. وبذلك $f(x) = \frac{x}{2}$. $P(X < 1)$ مثلث قاعدته $1$ وارتفاعه $f(1) = \frac{1}{2}$ فتساوي $\frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

المساحة الكلية شبه منحرف قاعدتاه $\frac{k}{14}$ و$\frac{4 + k}{14}$ وارتفاعه $4$: $\frac{1}{2}\left(\frac{2k + 4}{14}\right) \times 4 = \frac{4k + 8}{14} = 1$ فـ$k = 1.5$. $f(2) = \frac{3.5}{14}$ و$f(4) = \frac{5.5}{14}$ فـ$P(X > 2) = \frac{1}{2}\left(\frac{3.5 + 5.5}{14}\right) \times 2 = \frac{9}{14}$.

الدالة غير سالبة في المجال. $f(0) = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ و$f(6) = 0$ فالمساحة مثلث قاعدته $6$ وارتفاعه $\frac{1}{3}$ ومساحته $\frac{1}{2} \times 6 \times \frac{1}{3} = 1$ فهي دالة كثافة. $f(3) = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$ و$P(X < 3)$ شبه منحرف قاعدتاه $\frac{1}{3}$ و$\frac{1}{6}$ وارتفاعه $3$ فتساوي $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right) \times 3 = \frac{3}{4}$.

لأن الاحتمال في المتغير المتصل مساحة تحت المنحنى، والمساحة عند نقطة واحدة عرضها صفر فتساوي صفرًا. ويترتب على ذلك أن $P(a < X < b) = P(a \le X \le b)$ فلا يفرق وجود الحد أو غيابه، بخلاف المتغير المتقطع.

وزن الطفل متصل لأنه يأخذ أي قيمة في فترة. عدد الأخطاء متقطع لأنه عدد صحيح يمكن عده. زمن السباق متصل لأنه يأخذ أي قيمة في فترة.