ملخص متطلبات قبلية في التفاضل والتكامل — ثالثة ثانوي

مقدمة

تحتاج وحدات التفاضل والتكامل القادمة إلى مشتقات الدوال المثلثية وتكاملاتها. فقد درست مشتقتي الجيب وجيب التمام، وهنا نكمل الصورة بمشتقات الظل والظل التمام والقاطع والقاطع التمام، ونجمع جدولًا بأهم التكاملات المثلثية التي ستستعملها في دروس التكامل.

أهداف التعلم

تشتق الدوال $\tan x$ و $\cot x$ و $\sec x$ و $\csc x$ ومركباتها.
تستخدم جدول التكاملات المثلثية الأساسية في حساب تكاملات بسيطة.

شرح الدرس

مشتقات الدوال المثلثية

نعلم أن $\dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ و $\dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ . وبقاعدة القسمة نشتق باقي الدوال، فمثلًا $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ :

\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x

وبالطريقة نفسها نحصل على الجدول التالي (في كل صف $x$ ضمن مجال الدالة):

الدالة	مشتقتها
$\tan x$	$\sec^2 x$
$\cot x$	$-\csc^2 x$
$\sec x$	$\sec x\tan x$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$

ومع قاعدة السلسلة: $\dfrac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u\cdot u'$ ومثلها بقية الدوال.

جدول التكاملات المثلثية الأساسية

بعكس جدول المشتقات نحصل على:

التكامل	الناتج
$\int \cos x\,dx$	$\sin x + c$
$\int \sin x\,dx$	$-\cos x + c$
$\int \sec^2 x\,dx$	$\tan x + c$
$\int \csc^2 x\,dx$	$-\cot x + c$
$\int \sec x\tan x\,dx$	$\sec x + c$
$\int \csc x\cot x\,dx$	$-\csc x + c$

والتكامل يحتفظ بخاصية الخطية، ونتحقق من أي ناتج بالاشتقاق.

تعريفات

القاطع: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$ .
القاطع التمام: $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$ .
ظل التمام: $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد مشتقة $y = 4x^3 - 5\cot x$ .

الحل: $y' = 12x^2 + 5\csc^2 x$ .

مثال 2: أوجد مشتقة $y = x\sec x$ .

الحل: بقاعدة الضرب $y' = \sec x + x\sec x\tan x$ .

مثال 3: أوجد مشتقة $y = \csc 3x$ .

الحل: $y' = -\csc 3x\cot 3x\cdot 3 = -3\csc 3x\cot 3x$ .

مثال 4: أوجد مشتقة $y = \tan^2 x$ .

الحل: $y' = 2\tan x\cdot\sec^2 x$ .

مثال 5: أوجد معادلة المماس لمنحنى $y = \tan x$ عند $x = \dfrac{\pi}{4}$ .

الحل: $y\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1$ والميل $\sec^2\dfrac{\pi}{4} = 2$ فالمعادلة $y - 1 = 2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ .

مثال 6: احسب $\int \left(3\sec^2 x - 2\cos x\right)dx$ .

الحل: $3\tan x - 2\sin x + c$ .

مثال 7: احسب $\int \sec x\tan x\,dx$ و $\int \left(\csc^2 x + 4\right)dx$ .

الحل: $\sec x + c$ و $-\cot x + 4x + c$ .

مثال 8: احسب $\int \tan^2 x\,dx$ .

الحل: من $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ نكتب $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ فالتكامل $\tan x - x + c$ .

مثال 9: احسب $\int \csc^2 2x\,dx$ .

الحل: مشتقة $-\cot 2x$ هي $2\csc^2 2x$ فالتكامل $-\dfrac{1}{2}\cot 2x + c$ .

ملاحظات مهمة

مشتقتا ظل التمام والقاطع التمام تحملان إشارة سالبة، ولهذا يحمل تكاملاهما المقابلان إشارة سالبة أيضًا.
لا تنسَ ضرب الناتج في مشتقة الزاوية الداخلية عند تطبيق قاعدة السلسلة.
تحقق من ناتج التكامل باشتقاقه.
المشتقات صحيحة عند $x$ التي تنتمي إلى مجال الدالة فقط.

المفاهيم الأساسية

$(\tan x)' = \sec^2 x$ و $(\cot x)' = -\csc^2 x$ .
$(\sec x)' = \sec x\tan x$ و $(\csc x)' = -\csc x\cot x$ .
$\int\sec^2 x\,dx = \tan x + c$ و $\int\csc^2 x\,dx = -\cot x + c$ .
$\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + c$ و $\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + c$ .

ملخص الدرس

نشتق $\tan x$ و $\cot x$ و $\sec x$ و $\csc x$ بقاعدة القسمة فنحصل على $\sec^2 x$ و $-\csc^2 x$ و $\sec x\tan x$ و $-\csc x\cot x$ . وبعكس الجدول نحصل على التكاملات المثلثية الأساسية التي ستفيدنا في التفاضل والتكامل.

أسئلة للتدريب

أوجد مشتقة $y = \cot 4x + 2\sec x$ .
أوجد مشتقة $y = x^2\csc x$ .
أوجد معادلة المماس لمنحنى $y = \sec x$ عند $x = \dfrac{\pi}{3}$ .
احسب $\int \left(\sec^2 x + \csc x\cot x\right)dx$ .
احسب $\int \cot^2 x\,dx$ .