ملخص معادلة المستوى في الفراغ — ثالثة ثانوي

مقدمة

سطح الطاولة وجدار الغرفة ولوح الزجاج أمثلة على المستويات. لتحديد مستوى في الفراغ يكفي معرفة نقطة عليه والاتجاه العمودي عليه. وبما أنك تعلمت الضرب القياسي والاتجاهي، فستجد أن معادلة المستوى تأتي مباشرة من شرط التعامد، ثم نستخدمها لحساب البعد والزوايا وإيجاد تقاطع المستويات مع المستقيمات.

أهداف التعلم

تكتب معادلة المستوى بالصورة المتجهة والقياسية والعامة بمعلومية نقطة ومتجه عمودي.
تجد معادلة المستوى المار بثلاث نقاط وصورة الأجزاء المقطوعة من المحاور.
تحدد توازي مستويين وتعامدهما وتحسب الزاوية بينهما وتوجد خط تقاطعهما.
تحسب بُعد نقطة عن مستوى والبُعد بين مستويين متوازيين وتجد نقطة تقاطع مستقيم مع مستوى.

شرح الدرس

المعادلة المتجهة والقياسية والعامة

إذا كانت $A(x_0, y_0, z_0)$ نقطة على المستوى و $\vec{n} = (a, b, c)$ متجهًا عموديًّا عليه، فكل نقطة $P$ في المستوى تحقق $\overrightarrow{AP} \perp \vec{n}$ ، أي $\vec{n}\cdot(\vec{r} - \vec{A}) = 0$ ومنها المعادلة المتجهة $\vec{n}\cdot\vec{r} = \vec{n}\cdot\vec{A}$ . وبالمركبات نحصل على الصورة القياسية:

a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0

وبفك الأقواس تصبح الصورة العامة $ax + by + cz + d = 0$ وفيها معاملات $x, y, z$ هي مركبات المتجه العمودي.

مستوى يمر بالنقطة A ومتجه عمودي n، وأي متجه AP داخل المستوى عمودي على n

المستوى المار بثلاث نقاط

إذا كانت النقاط $A, B, C$ لا تقع على استقامة واحدة (أي $\overrightarrow{AB}$ لا يوازي $\overrightarrow{AC}$ ) فإن $\vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ عمودي على المستوى، ثم نكتب المعادلة بإحدى النقاط. وكذلك المستوى الذي يحوي مستقيمين متقاطعين عموديه هو الضرب الاتجاهي لمتجهي اتجاههما.

الأجزاء المقطوعة من المحاور

إذا قطع المستوى المحاور في $(x_1, 0, 0)$ و $(0, y_1, 0)$ و $(0, 0, z_1)$ فمعادلته:

\frac{x}{x_1} + \frac{y}{y_1} + \frac{z}{z_1} = 1

التوازي والتعامد والزاوية بين مستويين

قياس الزاوية بين مستويين هو قياس الزاوية الحادة بين متجهيهما العموديين:

\cos\theta = \frac{\left|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}\right|}{\left|\vec{n_1}\right|\left|\vec{n_2}\right|}, \qquad 0^\circ \le \theta \le 90^\circ

يتوازى المستويان إذا تناسبت معاملات $x, y, z$ فيهما، أي $\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}$ .
يتعامدان إذا كان $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = 0$ .
خط تقاطع مستويين: متجه اتجاهه $\vec{n_1}\times\vec{n_2}$ لأنه عمودي على المتجهين العموديين معًا. ونجد نقطة عليه بتعيين قيمة لأحد المتغيرات وحل المعادلتين.

تقاطع مستقيم مع مستوى

نكتب معادلات المستقيم البارامترية ونعوّض بها في معادلة المستوى لنحصل على معادلة في $t$ . إن كان لها حل وحيد فهو نقطة التقاطع.

بُعد نقطة عن مستوى

بُعد النقطة $P(x_1, y_1, z_1)$ عن المستوى $ax + by + cz + d = 0$ هو:

L = \frac{\left|ax_1 + by_1 + cz_1 + d\right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

ولإيجاد البُعد بين مستويين متوازيين نأخذ نقطة على أحدهما ونحسب بعدها عن الآخر.

تعريفات

المتجه العمودي على المستوى: متجه يعامد كل متجه واقع في المستوى.
خط تقاطع مستويين: مستقيم تشترك فيه نقاط المستويين.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد معادلة المستوى المار بالنقطة $(1, 2, -1)$ والعمودي على $\vec{n} = (3, -1, 2)$ .

الحل: $3(x-1) - (y-2) + 2(z+1) = 0$ ومنها الصورة العامة $3x - y + 2z + 1 = 0$ .

مثال 2: أوجد معادلة المستوى المار بالنقاط $A(2, 0, 1)$ و $B(3, 1, 3)$ و $C(1, 2, 2)$ .

الحل: $\overrightarrow{AB} = (1,1,2)$ و $\overrightarrow{AC} = (-1,2,1)$ غير متوازيين. $\vec{n} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (-3,-3,3)$ ويكافئ $(1,1,-1)$ . المعادلة $x + y - z = 2 + 0 - 1 = 1$ . وتتحقق بالنقطتين الأخريين: $3 + 1 - 3 = 1$ و $1 + 2 - 2 = 1$ .

مثال 3: اكتب $2x + 3y - z = 6$ بصورة الأجزاء المقطوعة.

الحل: بقسمة الطرفين على $6$ : $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{-6} = 1$ . فالأجزاء المقطوعة $3$ و $2$ و $-6$ .

مثال 4: أوجد بُعد النقطة $(1, 2, -2)$ عن المستوى $2x - 2y + z - 9 = 0$ .

الحل: $L = \dfrac{|2 - 4 - 2 - 9|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \dfrac{13}{3}$ وحدة.

مثال 5: أوجد البُعد بين المستويين المتوازيين $x + 2y - 2z - 3 = 0$ و $2x + 4y - 4z + 12 = 0$ .

الحل: النقطة $(3, 0, 0)$ تقع على الأول. بعدها عن الثاني: $\dfrac{|6 + 12|}{\sqrt{4 + 16 + 16}} = \dfrac{18}{6} = 3$ وحدات.

مثال 6: أوجد قياس الزاوية بين المستويين $x + 2y - 2z = 1$ و $2x + 3y + 6z = 5$ .

الحل: $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = 2 + 6 - 12 = -4$ ومعياراهما $3$ و $7$ . فـ $\cos\theta = \dfrac{4}{21}$ ومنه $\theta \approx 79^\circ$ .

مثال 7: أوجد قيمة $k$ التي تجعل $kx + 2y - z = 0$ عموديًّا على $3x - y + 4z = 1$ ، وقيمتي $k$ و $l$ اللتين تجعلان $2x - y + kz = 5$ موازيًا لـ $4x + ly + 6z = 1$ .

الحل: التعامد $3k - 2 - 4 = 0$ فـ $k = 2$ . التوازي $\dfrac{2}{4} = \dfrac{-1}{l} = \dfrac{k}{6}$ فـ $l = -2$ و $k = 3$ .

مثال 8 (تقاطع مستقيم مع مستوى): أوجد نقطة تقاطع المستقيم $(x,y,z) = (1,0,2) + t(2,1,-1)$ مع المستوى $x + 2y + z = 6$ .

الحل: $x = 1+2t$ و $y = t$ و $z = 2-t$ . بالتعويض $1 + 2t + 2t + 2 - t = 6$ أي $3t = 3$ فـ $t = 1$ والنقطة $(3,1,1)$ .

مثال 9 (خط تقاطع مستويين): أوجد معادلة خط تقاطع $x + y + z = 6$ و $x - y + 2z = 5$ .

الحل: $\vec{n_1}\times\vec{n_2} = (3,-1,-2)$ متجه الاتجاه. بوضع $z = 1$ نحل $x + y = 5$ و $x - y = 3$ فنجد النقطة $(4,1,1)$ . المعادلة $(x,y,z) = (4,1,1) + t(3,-1,-2)$ .

مثال 10 (مستوى يحوي مستقيمين): أوجد معادلة المستوى الذي يحوي المستقيمين المتقاطعين $(1,2,0) + t(1,-1,2)$ و $(1,-1,3) + s(2,1,1)$ .

الحل: $\vec{n} = (1,-1,2)\times(2,1,1) = (-3,3,3)$ ويكافئ $(-1,1,1)$ . بالنقطة $(1,2,0)$ : $-x + y + z = 1$ . تتحقق النقطة $(1,-1,3)$ أيضًا: $-1 - 1 + 3 = 1$ .

ملاحظات مهمة

المتجه العمودي غير وحيد، فأي مضاعف غير صفري له صالح.
إذا كان $d = 0$ فالمستوى يمر بنقطة الأصل.
ضع القيمة المطلقة في بسط قانون البعد؛ فالبعد لا يكون سالبًا.
تأكد قبل استخدام ثلاث نقاط أنها لا تقع على استقامة واحدة.

المفاهيم الأساسية

المستوى يتحدد بنقطة ومتجه عمودي، ومعادلته $ax + by + cz + d = 0$ .
المستوى المار بثلاث نقاط عموديه $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ .
الزاوية بين مستويين هي الزاوية بين عموديهما، والتوازي $\vec{n_1}\parallel\vec{n_2}$ والتعامد $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = 0$ .
بعد النقطة عن المستوى $\dfrac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .

ملخص الدرس

نحدد المستوى بنقطة ومتجه عمودي ونكتب معادلته بصور متجهة وقياسية وعامة، ونجد معادلة المستوى المار بثلاث نقاط أو بمستقيمين متقاطعين. نحسب الزاوية بين مستويين من عموديهما، ونجد خط تقاطعهما بالضرب الاتجاهي لعموديهما، ونوجد بعد نقطة عن مستوى وتقاطع مستقيم معه.

أسئلة للتدريب

أوجد معادلة المستوى المار بالنقطة $(2, -1, 3)$ والعمودي على $(1, 4, -2)$ .
أوجد معادلة المستوى المار بالنقاط $(1,0,0)$ و $(0,2,0)$ و $(0,0,4)$ .
أوجد بُعد النقطة $(2, 1, 2)$ عن المستوى $x + 2y + 2z = 3$ .
أوجد قياس الزاوية بين المستويين $x + y = 3$ و $y + z = 5$ .
أوجد نقطة تقاطع المستقيم $(x,y,z) = t(1,2,2)$ مع المستوى $x + y + z = 10$ .