أسئلة: معادلة المستوى في الفراغ

الإجابة الصحيحة: $(a, b, c)$

معاملات $x, y, z$ في الصورة العامة تمثل مركبات المتجه العمودي $\vec{n} = (a, b, c)$.

الإجابة الصحيحة: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

صورة النقطة والمتجه العمودي هي $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$.

الإجابة الصحيحة: $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} = 0$

بما أن $\overrightarrow{AP} \perp \vec{n}$ فإن حاصل الضرب القياسي بينهما يساوي صفرًا.

الإجابة الصحيحة: $3x - y + 2z + 1 = 0$

$3(x-1) - 1(y-2) + 2(z+1) = 0$ وبالفكّ نحصل على $3x - y + 2z + 1 = 0$.

الإجابة الصحيحة: $(3, -1, 2)$

معاملات $x, y, z$ هي $3, -1, 2$ على الترتيب.

الإجابة الصحيحة: $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

المتجه العمودي على مستوى ثلاث نقاط هو حاصل الضرب الاتجاهي $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$.

الإجابة الصحيحة: $(-1, 2, 0)$

$\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)$.

الإجابة الصحيحة: $(-1, 0, 3)$

$\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1, 0-0, 3-0) = (-1, 0, 3)$.

الإجابة الصحيحة: $(6, 3, 2)$

$\vec{n} = \big((2)(3) - 0,\; -[(-1)(3) - 0],\; 0 - (2)(-1)\big) = (6, 3, 2)$.

الإجابة الصحيحة: $6x + 3y + 2z = 6$

بالمتجه $\vec{n} = (6,3,2)$ والنقطة $A(1,0,0)$: $6(x-1) + 3y + 2z = 0$، أي $6x + 3y + 2z = 6$.

الإجابة الصحيحة: $L = \frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

قانون بُعد نقطة عن مستوٍ هو نسبة القيمة المطلقة للتعويض على طويلة المتجه العمودي.

الإجابة الصحيحة: $\frac{8}{3}$

$L = \frac{|2(1) - 1(1) + 2(1) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{8}{\sqrt{9}} = \frac{8}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $3$

$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.

الإجابة الصحيحة: $\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\,|\vec{n_2}|}$

الزاوية بين مستويين هي الزاوية بين متجهيهما العموديين وتُحسب بجيب التمام كما في العلاقة.

الإجابة الصحيحة: $0$

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-2) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.

الإجابة الصحيحة: متعامدان

يتعامد المستويان إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهيهما العموديين يساوي صفرًا.

الإجابة الصحيحة: إذا توازى متجهاهما العموديان

يتوازى المستويان إذا توازى متجهاهما العموديان.

الإجابة الصحيحة: يمرّ بنقطة الأصل

إذا كان $d=0$ فالمستوى يمرّ بنقطة الأصل، حسب ملاحظات الدرس.

الإجابة الصحيحة: المتجه العمودي غير وحيد، وأي مضاعف غير صفري له يصلح متجهًا عموديًا

المتجه العمودي غير وحيد؛ أيّ مضاعف غير صفري له يصلح.

الإجابة الصحيحة: الضرب الاتجاهي للمتجهين العموديين على المستويين

خط التقاطع واقع في المستويين معًا فهو عمودي على المتجهين العموديين عليهما، ومن ثم يوازي ناتج ضربهما الاتجاهي $\vec{n_1}\times\vec{n_2}$.

الإجابة الصحيحة: $x+y-z=1$

$\overrightarrow{AB}=(1,1,2)$ و$\overrightarrow{AC}=(-1,2,1)$ و$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-3,-3,3)$ ويكافئ $(1,1,-1)$. بالنقطة $A$: $2+0-1=1$، وتحقق النقطتان الأخريان المعادلة.

الإجابة الصحيحة: $3,\ 2,\ -6$

نقسم الطرفين على $6$: $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{-6}=1$ فالأجزاء المقطوعة $3$ و$2$ و$-6$.

الإجابة الصحيحة: $3$

النقطة $(3,0,0)$ على الأول وبعدها عن الثاني $\frac{|6+12|}{\sqrt{4+16+16}}=\frac{18}{6}=3$.

الإجابة الصحيحة: $2$

التعامد يعني $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=0$: $3k-2-4=0$ فـ $k=2$.

لأيّ نقطة $P(x, y, z)$ تقع في المستوى، يكون المتجه $\overrightarrow{AP} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$ عموديًا على $\vec{n}$، أي $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} = 0$. بالتعويض بمركبات $\vec{n} = (a,b,c)$ نحصل على: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$. وبفكّ الأقواس وتجميع الحدود الثابتة في ثابت واحد $d$ نصل إلى الصورة العامة: $ax + by + cz + d = 0$، حيث تبقى معاملات $x, y, z$ هي نفسها مركبات المتجه العمودي $\vec{n} = (a, b, c)$.

باستخدام صورة النقطة والمتجه العمودي $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ حيث $A(1,2,-1)$ و$\vec{n} = (3,-1,2)$، نعوّض: $3(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - (-1)) = 0$، أي $3(x-1) - (y-2) + 2(z+1) = 0$. بفكّ الأقواس: $3x - 3 - y + 2 + 2z + 2 = 0$، وبجمع الثوابت: $3x - y + 2z + 1 = 0$. هذه هي الصورة العامة لمعادلة المستوى المطلوب.

قانون بُعد نقطة $P(x_1,y_1,z_1)$ عن مستوٍ $ax+by+cz+d=0$ هو: $L = \frac{|a x_1 + b y_1 + c z_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$. هنا $a=2, b=-1, c=2, d=5$ والنقطة $(1,1,1)$. البسط: $|2(1) - 1(1) + 2(1) + 5| = |2 - 1 + 2 + 5| = |8| = 8$. المقام: $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$. إذن $L = \frac{8}{3}$.

المتجه العمودي على المستوى الأول هو $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$، والمتجه العمودي على المستوى الثاني هو $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$. يتعامد المستويان إذا كان $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$. نحسب حاصل الضرب القياسي: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (2)(-2) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$. بما أن الناتج يساوي صفرًا، فإن المستويين متعامدان.

نوجد أولًا المتجهين: $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1, 2, 0)$، $\overrightarrow{AC} = C - A = (-1, 0, 3)$. المتجه العمودي: $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \big((2)(3) - (0)(0),\; -[(-1)(3) - (0)(-1)],\; (-1)(0) - (2)(-1)\big) = (6, 3, 2)$. باستخدام النقطة $A(1,0,0)$: $6(x-1) + 3(y-0) + 2(z-0) = 0$، أي $6x + 3y + 2z = 6$. وللتحقق: عند $B(0,2,0)$ يكون $3 \times 2 = 6$، وعند $C(0,0,3)$ يكون $2 \times 3 = 6$، فتتحقق المعادلة عند النقاط الثلاث.

المتجه العمودي على مستوٍ غير وحيد لأن أيّ مضاعف عددي غير صفري لمتجه عمودي يبقى عموديًا على نفس المستوى، إذ يحافظ الضرب في عدد ثابت على اتجاه المتجه. فمثلًا المستوى $3x - y + 2z + 1 = 0$ متجهه العمودي هو $\vec{n} = (3, -1, 2)$ (معاملات $x, y, z$)، وإذا ضربنا هذا المتجه في العدد $2$ نحصل على $\vec{n'} = (6, -2, 4)$، وهو أيضًا متجه عمودي صحيح على نفس المستوى لأنه يوازي $\vec{n}$ تمامًا.

يتوازى مستويان إذا توازى متجهاهما العموديان (أي أحدهما مضاعف عددي للآخر)، ويتعامد مستويان إذا كان حاصل الضرب القياسي لمتجهيهما العموديين يساوي صفرًا: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$. بالنسبة للمستويين المعطيين: $\vec{n_1} = (1, 2, 2)$، $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$. نلاحظ أن $\vec{n_2}$ ليس مضاعفًا لـ$\vec{n_1}$، فهما غير متوازيين. نحسب حاصل الضرب القياسي: $(1)(2) + (2)(-2) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$، وبما أن الناتج صفر فإن شرط التعامد يتحقق، أي المستويان متعامدان.

عند $A(1,0,0)$: $6(1) + 3(0) + 2(0) = 6$، وهو يساوي الطرف الأيمن $6$، فتتحقق المعادلة. عند $B(0,2,0)$: $6(0) + 3(2) + 2(0) = 6$، فتتحقق المعادلة أيضًا. عند $C(0,0,3)$: $6(0) + 3(0) + 2(3) = 6$، فتتحقق المعادلة كذلك. بما أن المعادلة تحقّقت عند النقاط الثلاث جميعًا، فإن معادلة المستوى $6x + 3y + 2z = 6$ صحيحة وتمرّ فعلًا بالنقاط $A$ و$B$ و$C$.

باستخدام صورة النقطة والمتجه العمودي مع $A(0,0,0)$ و$\vec{n} = (2,-1,3)$: $2(x - 0) - 1(y - 0) + 3(z - 0) = 0$، أي $2x - y + 3z = 0$. بمقارنتها بالصورة العامة $ax+by+cz+d=0$ نجد أن $d = 0$؛ وهذا متوافق مع ما ورد في ملاحظات الدرس من أنه إذا كان $d = 0$ فإن المستوى يمرّ بنقطة الأصل، وهو ما يتحقق هنا لأن المستوى أُنشئ أصلًا ليمرّ بنقطة الأصل $(0,0,0)$.

المعادلات البارامترية: $x=t$ و$y=1+2t$ و$z=1-t$. بالتعويض في معادلة المستوى: $t+(1+2t)+(1-t)=6$ أي $2+2t=6$ فـ $t=2$. نقطة التقاطع $(2,5,-1)$، ويتحقق أنها تحقق المستوى: $2+5-1=6$.

متجه اتجاه خط التقاطع $\vec{n_1}\times\vec{n_2}=(1,1,1)\times(1,-1,2)=(3,-1,-2)$. لإيجاد نقطة عليه نضع $z=1$ فنحل $x+y=5$ و$x-y=3$ فنجد $x=4$ و$y=1$ أي النقطة $(4,1,1)$. المعادلة $(x,y,z)=(4,1,1)+t(3,-1,-2)$.

$\vec{n_1}=(1,2,-2)$ و$\vec{n_2}=(2,3,6)$. الضرب القياسي $2+6-12=-4$ ومعياراهما $3$ و$7$. $\cos\theta=\frac{|-4|}{3\times7}=\frac{4}{21}$ ومنه $\theta\approx79^\circ$.

عمودي المستوى هو الضرب الاتجاهي لمتجهي الاتجاه: $(1,-1,2)\times(2,1,1)=(-3,3,3)$ ويكافئ $(-1,1,1)$. بالنقطة $(1,2,0)$ نجد $-x+y+z=-1+2+0=1$. ونتحقق بنقطة المستقيم الثاني $(1,-1,3)$: $-1-1+3=1$.