أسئلة: الاشتقاق الضمني والبارامتري

الإجابة الصحيحة: اشتقاق طرفَي المعادلة بالنسبة إلى $x$، معتبرين $y$ دالة في $x$

الخطوة الأولى في الاشتقاق الضمني هي اشتقاق طرفَي المعادلة بالنسبة إلى $x$، مع اعتبار $y$ دالة في $x$؛ فأي تعبير في $y$ تُضرب مشتقته في $\frac{dy}{dx}$.

الإجابة الصحيحة: $3y^2\frac{dy}{dx}$

مشتقة أيّ تعبير في $y$ تُضرب في $\frac{dy}{dx}$ (قاعدة السلسلة)، لذا $\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2\frac{dy}{dx}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt}$

ميل المنحنى البارامتري يُعطى بالعلاقة $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt}$، بشرط $\frac{dx}{dt} \neq 0$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{x}{y}$

باشتقاق الطرفين: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$، ومنه $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{3}{4}$

بما أن $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$، فعند $(3,4)$ يكون الميل $= -\frac{3}{4}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$

باشتقاق الطرفين نحصل على $(3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$، وبقسمة البسط والمقام على 3 نحصل على $\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$.

الإجابة الصحيحة: $2t$

بالاشتقاق المباشر بالنسبة إلى $t$: $\frac{dx}{dt} = 2t$.

الإجابة الصحيحة: $3t^2$

بالاشتقاق المباشر بالنسبة إلى $t$: $\frac{dy}{dt} = 3t^2$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3t}{2}$

بما أن $\frac{dx}{dt} = 2t$ و$\frac{dy}{dt} = 3t^2$، فإن $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$ (حيث $t \neq 0$).

الإجابة الصحيحة: $-2\sin t$

بالاشتقاق المباشر: $\frac{dx}{dt} = -2\sin t$.

الإجابة الصحيحة: $3\cos t$

بالاشتقاق المباشر: $\frac{dy}{dt} = 3\cos t$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{3}{2}\cot t$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos t}{-2\sin t} = -\frac{3}{2}\cot t$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$

المشتقة الثانية بارامتريًا تُحسب باشتقاق $\frac{dy}{dx}$ (وهي دالة في $t$) بالنسبة إلى $t$ ثم القسمة على $\frac{dx}{dt}$، وليست ناتج قسمة المشتقتين الثانيتين.

الإجابة الصحيحة: تساوي $\frac{d^2y}{dt^2} \div \frac{d^2x}{dt^2}$

هذه العبارة خاطئة؛ فالمشتقة الثانية بارامتريًا ليست ناتج قسمة المشتقتين الثانيتين، بل تُحسب باشتقاق $\frac{dy}{dx}$ بالنسبة إلى $t$ والقسمة على $\frac{dx}{dt}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{dx}{dt} \neq 0$

لا بد أن يكون $\frac{dx}{dt} \neq 0$ حتى لا يكون المقام صفرًا في صيغة $\frac{dy}{dx}$.

الإجابة الصحيحة: قاعدة الضرب؛ لأن $6xy$ حاصل ضرب $x$ في $y$

بما أن $6xy$ حاصل ضرب $x$ و$y$، فإن اشتقاقه بالنسبة إلى $x$ يستلزم استخدام قاعدة الضرب إلى جانب قاعدة السلسلة عند اشتقاق $y$.

الإجابة الصحيحة: النقطة تحقّق المعادلة الأصلية للمنحنى

من ملاحظات الدرس: تأكّد أن النقطة التي تُحسب عندها الميل تحقّق المعادلة الأصلية.

الإجابة الصحيحة: $(3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$

من المعادلة $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$، بجمع حدود $\frac{dy}{dx}$ في طرف والباقي في الآخر نحصل على $(3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$

بقسمة كل من البسط $6y - 3x^2$ والمقام $3y^2 - 6x$ على 3 نحصل على $\frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$.

الإجابة الصحيحة: قاعدة السلسلة

لأن $y$ نفسها دالة في $x$، فاشتقاق أي تعبير فيها بالنسبة إلى $x$ يستلزم قاعدة السلسلة، فتُضرب المشتقة في $\frac{dy}{dx}$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{2x+y}{x+2y}$

نشتق الطرفين: $2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0$ ثم نجمع حدود $\frac{dy}{dx}$ فنجد $\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}$.

الإجابة الصحيحة: $\cos y\,\frac{dy}{dx}$

$y$ دالة في $x$ فنطبق قاعدة السلسلة: مشتقة $\sin y$ بالنسبة إلى $y$ هي $\cos y$ ثم نضرب في $\frac{dy}{dx}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{3x^2-4}{2x}$

$\frac{dy}{du}=\frac{dy/dx}{du/dx}=\frac{3x^2-4}{2x}$ حيث $x\neq0$.

الإجابة الصحيحة: $-3$

$\frac{dx}{d\theta}=2\cos\theta$ و$\frac{dy}{d\theta}=-6\sin2\theta=-12\sin\theta\cos\theta$ فـ $\frac{dy}{dx}=-6\sin\theta$ وعند $\frac{\pi}{6}$ تساوي $-6\times\frac{1}{2}=-3$.

الإجابة الصحيحة: $t=1$ و$t=-1$

يكون المماس أفقيًّا حين $\frac{dy}{dt}=3t^2-3=0$ و$\frac{dx}{dt}\neq0$، أي $t=\pm1$ (وعندهما $\frac{dx}{dt}=2t-4\neq0$). أما $t=2$ فيجعل $\frac{dx}{dt}=0$ أي مماس رأسي.

باشتقاق طرفَي المعادلة $x^2 + y^2 = 25$ بالنسبة إلى $x$، مع اعتبار $y$ دالة في $x$: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$. بعزل $\frac{dy}{dx}$: $2y\frac{dy}{dx} = -2x$، ومنه $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. وبما أن النقطة $(3,4)$ تحقّق المعادلة الأصلية ($3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$)، فبالتعويض $x=3, y=4$ يكون ميل المماس $= -\frac{3}{4}$.

نشتقّ طرفَي المعادلة بالنسبة إلى $x$؛ الطرف الأيسر: $\frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(y^3) = 3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx}$ (باستخدام قاعدة السلسلة في حد $y^3$). الطرف الأيمن $6xy$ حاصل ضرب، فنستخدم قاعدة الضرب: $\frac{d}{dx}(6xy) = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$. فتصبح المعادلة: $3x^2 + 3y^2\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx}$. نجمع حدود $\frac{dy}{dx}$ في طرف والباقي في الآخر: $3y^2\frac{dy}{dx} - 6x\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$، أي $(3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$. نقسم الطرفين على $(3y^2 - 6x)$: $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$. وباختصار البسط والمقام على العامل المشترك 3: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$.

نشتقّ كلًّا من $x$ و$y$ بالنسبة إلى الوسيط $t$ كلًّا على حدة: $\frac{dx}{dt} = 2t$، و$\frac{dy}{dt} = 3t^2$. ثم نطبّق صيغة الاشتقاق البارامتري $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$، فنحصل على $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}$، بشرط $t \neq 0$.

نشتقّ كلًّا من $x$ و$y$ بالنسبة إلى $t$: $\frac{dx}{dt} = -2\sin t$، و$\frac{dy}{dt} = 3\cos t$. بتطبيق صيغة $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$: $\frac{dy}{dx} = \frac{3\cos t}{-2\sin t} = -\frac{3}{2}\cot t$.

الخطوة الأولى: اشتقّ طرفَي المعادلة بالنسبة إلى $x$، معتبرًا $y$ دالة في $x$؛ فأي تعبير في $y$ تُضرب مشتقته في $\frac{dy}{dx}$ تطبيقًا لقاعدة السلسلة (مثل $\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2\frac{dy}{dx}$). الخطوة الثانية: اجمع كل الحدود التي تحوي $\frac{dy}{dx}$ في طرف واحد من المعادلة، وانقل باقي الحدود إلى الطرف الآخر. الخطوة الثالثة: أخرج $\frac{dy}{dx}$ عاملًا مشتركًا من الطرف الذي يحويها، ثم اقسم الطرفين على هذا العامل لإيجاد $\frac{dy}{dx}$ صريحة.

الصيغة الخاطئة الشائعة هي اعتبار $\frac{d^2y}{dx^2}$ مساوية لناتج قسمة $\frac{d^2y}{dt^2}$ على $\frac{d^2x}{dt^2}$ مباشرة، وهذا غير صحيح. الصيغة الصحيحة هي أن نشتقّ $\frac{dy}{dx}$ (وهي أصلًا دالة في الوسيط $t$) بالنسبة إلى $x$ عبر نفس قاعدة الاشتقاق البارامتري، أي: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$؛ أي نشتقّ $\frac{dy}{dx}$ بالنسبة إلى $t$ أولًا، ثم نقسم الناتج على $\frac{dx}{dt}$.

نبدأ بإيجاد $\frac{dy}{dx}$ كما سبق: $\frac{dx}{dt} = 2t$، $\frac{dy}{dt} = 3t^2$، ومنه $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$. الآن نشتقّ $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$ بالنسبة إلى $t$: $\frac{d}{dt}\left(\frac{3t}{2}\right) = \frac{3}{2}$. وبتطبيق صيغة المشتقة الثانية $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$، نقسم الناتج على $\frac{dx}{dt} = 2t$، فنحصل على $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3/2}{2t} = \frac{3}{4t}$، بشرط $t \neq 0$.

أولًا نوجد $\frac{dy}{dx}$: $\frac{dx}{dt} = -2\sin t$، $\frac{dy}{dt} = 3\cos t$، ومنه $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}\cot t$. ثم نشتقّ $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2}\cot t$ بالنسبة إلى $t$، وبما أن مشتقة $\cot t$ هي $-\csc^2 t$: $\frac{d}{dt}\left(-\frac{3}{2}\cot t\right) = \frac{3}{2}\csc^2 t$. أخيرًا نقسم الناتج على $\frac{dx}{dt} = -2\sin t$ حسب صيغة المشتقة الثانية، فنحصل على $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{3}{2}\csc^2 t}{-2\sin t} = -\frac{3}{4}\csc^3 t$.

ميل المماس عند نقطة معينة يُحسب بالتعويض بإحداثيات تلك النقطة في صيغة $\frac{dy}{dx}$؛ فإذا لم تكن النقطة واقعة أصلًا على المنحنى (أي لا تحقّق معادلته)، فلا معنى لحساب ميل مماس له عندها لأنها ليست من نقاطه أصلًا، وقد يعطي التعويض قيمة غير ممثّلة لأي مماس حقيقي. في مثال $x^2 + y^2 = 25$، النقطة $(3,4)$ تحقّق المعادلة لأن $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$، لذا يصح التعويض بها في $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ للحصول على الميل الصحيح $-\frac{3}{4}$؛ ولو استُخدمت نقطة لا تحقّق المعادلة لكانت النتيجة بلا معنى هندسي.

أولًا: ننقل جميع الحدود التي تحوي $\frac{dy}{dx}$ إلى طرف واحد من المعادلة، وباقي الحدود إلى الطرف الآخر؛ بطرح $6x\frac{dy}{dx}$ من الطرفين وطرح $3x^2$ من الطرفين تصبح المعادلة: $3y^2\frac{dy}{dx} - 6x\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$. ثانيًا: نُخرج $\frac{dy}{dx}$ عاملًا مشتركًا من الطرف الأيسر: $(3y^2 - 6x)\frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2$. ثالثًا: نقسم الطرفين على $(3y^2 - 6x)$ لعزل $\frac{dy}{dx}$: $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$. وأخيرًا نبسّط الناتج بقسمة البسط والمقام على العامل المشترك 3 فنحصل على الصيغة النهائية: $\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$.

نشتق ضمنيًّا: $\cos(xy)\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)=1+\frac{dy}{dx}$ ومنه $\frac{dy}{dx}=\frac{1-y\cos(xy)}{x\cos(xy)-1}$. نتحقق أن $(0,0)$ تحقق المعادلة ($0=0$). عند الأصل $\frac{dy}{dx}=\frac{1-0}{0-1}=-1$ فمعادلة المماس $y=-x$.

نشتق ضمنيًّا فنجد $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. نشتق مرة أخرى بقاعدة القسمة: $\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}$ ونعوّض $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ فنحصل على $-\frac{y+\frac{x^2}{y}}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{25}{y^3}$.

$\frac{dx}{dt}=2t$ و$\frac{dy}{dt}=3t^2-3$ فـ $\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-3}{2t}=\frac{3}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)$. نشتق بالنسبة إلى $t$: $\frac{3}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)$ ثم نقسم على $\frac{dx}{dt}=2t$: $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{3(t^2+1)}{4t^3}$ حيث $t\neq0$.

$\frac{dy}{dt}=3t^2-3=0$ عند $t=\pm1$ حيث $\frac{dx}{dt}=2t-4\neq0$ فالمماس أفقي عند $(-3,-2)$ و$(5,2)$. و$\frac{dx}{dt}=2t-4=0$ عند $t=2$ حيث $\frac{dy}{dt}=9\neq0$ فالمماس رأسي عند $(-4,2)$.