ملخص المشتقات العليا للدالة — ثالثة ثانوي

مقدمة

مشتقة الدالة نفسها دالة جديدة، فهل نستطيع أن نشتقها مرة أخرى؟ إذا كانت قابلة للاشتقاق فنعم، وتسمى النتيجة المشتقة الثانية. هذه الفكرة تتكرر في بقية الوحدة، ونحتاجها في دراسة المنحنيات، وهنا نتدرب على إيجاد المشتقات العليا في الصور المختلفة للدوال.

أهداف التعلم

تحدد المشتقة الثانية والثالثة وما بعدها لدالة وتستعمل رموزها.
تجد المشتقات العليا لدوال صريحة وضمنية وبارامترية.
تثبت علاقات تربط الدالة ومشتقاتها بالاشتقاق المتكرر.
تكتشف نمط مشتقات دالة الجيب المتتالية.

شرح الدرس

المشتقات ذات الرتب العليا

إذا كانت $y = f(x)$ قابلة للاشتقاق فمشتقتها الأولى $y' = f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ دالة جديدة. وإذا كانت قابلة للاشتقاق فمشتقتها هي المشتقة الثانية:

y'' = f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d^2y}{dx^2}

ثم المشتقة الثالثة $y''' = f'''(x) = \dfrac{d^3y}{dx^3}$ ، وهكذا. وتُكتب المشتقة من الرتبة $n$ ( $n$ عدد صحيح موجب) بالرمز $y^{(n)} = f^{(n)}(x) = \dfrac{d^ny}{dx^n}$ .

ويُقرأ $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ «د اثنين ص بالنسبة لـ س تربيع»، وهو يختلف عن $\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2$ : الأول المشتقة الثانية والثاني مربع المشتقة الأولى. وكثيرة الحدود من الدرجة $m$ تنعدم كل مشتقاتها من الرتبة $m+1$ فما فوق.

المشتقات العليا للدوال الضمنية والبارامترية

ضمنيًّا: نجد $\dfrac{dy}{dx}$ ثم نشتق الناتج ضمنيًّا مرة أخرى، ونعوّض عن $\dfrac{dy}{dx}$ لنحصل على $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ .
بارامتريًّا: إذا كان $x = f(t)$ و $y = g(t)$ فإن:

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}

إثبات علاقات بين المشتقات

لإثبات علاقة تربط $y$ ومشتقاتها نشتق الدالة (أو العلاقة المعطاة) مرتين أو أكثر ثم نعوّض في العلاقة المطلوبة ونبسّط.

نمط مشتقات دالة الجيب

مشتقات $\sin x$ المتتالية هي $\cos x$ ثم $-\sin x$ ثم $-\cos x$ ثم $\sin x$ ، وتتكرر كل أربع مشتقات. فنعرف المشتقة من أي رتبة بقسمة الرتبة على $4$ وأخذ الباقي.

تعريفات

المشتقة الثانية: مشتقة المشتقة الأولى.
المشتقة من الرتبة $n$ : ناتج الاشتقاق المتكرر $n$ مرة.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد المشتقة الثانية لـ $y = 3x^4 - 2x^2 + 7$ .

الحل: $y' = 12x^3 - 4x$ ثم $y'' = 36x^2 - 4$ .

مثال 2: أوجد المشتقة الثانية لـ $y = \dfrac{2x - 1}{x + 2}$ .

الحل: $y' = \dfrac{2(x+2) - (2x-1)}{(x+2)^2} = \dfrac{5}{(x+2)^2} = 5(x+2)^{-2}$ ثم $y'' = -\dfrac{10}{(x+2)^3}$ للقيم $x \neq -2$ .

مثال 3: أوجد المشتقة الثانية لـ $y = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ .

الحل: $y' = -2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ ثم $y'' = -4\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ .

مثال 4: أوجد المشتقة الثانية لـ $y = \sqrt{2x + 1}$ .

الحل: $y' = (2x+1)^{-1/2}$ ثم $y'' = -(2x+1)^{-3/2} = -\dfrac{1}{(2x+1)\sqrt{2x+1}}$ حيث $x > -\dfrac{1}{2}$ .

مثال 5: أوجد المشتقة الثالثة لـ $y = x^5 - 3x^3 + 2x$ .

الحل: $y' = 5x^4 - 9x^2 + 2$ ثم $y'' = 20x^3 - 18x$ ثم $y''' = 60x^2 - 18$ .

مثال 6: إذا كان $x^2 + y^2 = 4$ فأثبت أن $y\,y'' + (y')^2 + 1 = 0$ .

الحل: نشتق الطرفين: $2x + 2y\,y' = 0$ أي $x + y\,y' = 0$ . نشتق مرة أخرى: $1 + (y')^2 + y\,y'' = 0$ وهو المطلوب.

مثال 7: إذا كان $y = \tan x$ فأثبت أن $y'' = 2y\,(1 + y^2)$ .

الحل: $y' = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + y^2$ ثم $y'' = 2y\,y' = 2y\,(1 + y^2)$ .

مثال 8: إذا كان $x = t^3$ و $y = t^2$ فأوجد $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ عند $t = 1$ .

الحل: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2t}{3t^2} = \dfrac{2}{3t}$ ثم $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{2}{3t}\right) = -\dfrac{2}{3t^2}$ ونقسم على $\dfrac{dx}{dt} = 3t^2$ : $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{2}{9t^4}$ وعند $t = 1$ تساوي $-\dfrac{2}{9}$ .

مثال 9: أوجد المشتقة الخامسة والعشرين لـ $y = \sin x$ .

الحل: $25 = 4 \times 6 + 1$ فالمشتقة كالأولى: $y^{(25)} = \cos x$ .

ملاحظات مهمة

$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ ليست $\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2$ .
في الصورة البارامترية لا تقسم $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ على $\dfrac{d^2x}{dt^2}$ .
بسّط المشتقة الأولى قبل اشتقاقها مرة ثانية لتقليل الأخطاء، وانتبه إلى مجال الدالة.
مشتقة الثابت تساوي صفرًا، ولذلك تنعدم مشتقات كثيرة الحدود بعد رتبة معينة.

المفاهيم الأساسية

$y^{(n)} = \dfrac{d^ny}{dx^n}$ ناتج الاشتقاق المتكرر $n$ مرة.
ضمنيًّا نعيد الاشتقاق ونعوّض عن $\dfrac{dy}{dx}$ .
بارامتريًّا $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$ .
مشتقات $\sin x$ دورية بدور $4$ .

ملخص الدرس

المشتقات العليا نتيجة الاشتقاق المتكرر: الثانية مشتقة الأولى، والثالثة مشتقة الثانية، وهكذا. نجدها للدوال الصريحة بالاشتقاق المتتالي، وللضمنية بإعادة الاشتقاق ضمنيًّا، وللبارامترية بالقسمة على $\dfrac{dx}{dt}$ بعد اشتقاق $\dfrac{dy}{dx}$ بالنسبة للوسيط. ونثبت علاقات بين الدالة ومشتقاتها بالتعويض.

أسئلة للتدريب

أوجد المشتقة الثالثة لـ $y = x^4 - 5x^2 + 3x$ .
أوجد $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ للدالة $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$ .
إذا كان $y = \sin 2x$ فأثبت أن $y'' + 4y = 0$ .
إذا كان $x = 2t$ و $y = t^3$ فأوجد $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ .
أوجد $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ إذا كان $xy = 4$ .