أسئلة: المعدلات الزمنية المرتبطة

الإجابة الصحيحة: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

حجم الكرة يُعطى بالعلاقة $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

الإجابة الصحيحة: $A = \pi r^2$

مساحة الدائرة تُعطى بالعلاقة $A = \pi r^2$.

الإجابة الصحيحة: دالة في الزمن $t$

كل كمية متغيّرة تُعامَل كدالة في الزمن عند الاشتقاق، كما هو معلوم.

الإجابة الصحيحة: قاعدة السلسلة

بما أن $r$ دالة في $t$، فإن اشتقاق $r^3$ بالنسبة لـ $t$ يحتاج قاعدة السلسلة.

الإجابة الصحيحة: $3r^2\frac{dr}{dt}$

بقاعدة السلسلة: مشتقة $r^3$ بالنسبة لـ $t$ هي $3r^2\frac{dr}{dt}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt}$

باشتقاق $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ بالنسبة لـ $t$ باستخدام قاعدة السلسلة نحصل على $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{\pi}$ سم/ث

من $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$: $100 = 4\pi(25)\frac{dr}{dt}$، ومنه $\frac{dr}{dt}=\frac{100}{100\pi}=\frac{1}{\pi}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2}{\pi}$ سم/ث

من $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$: $200=4\pi(25)\frac{dr}{dt}=100\pi\frac{dr}{dt}$، ومنه $\frac{dr}{dt}=\frac{200}{100\pi}=\frac{2}{\pi}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{4\pi}$ سم/ث

من $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$: $100=4\pi(100)\frac{dr}{dt}=400\pi\frac{dr}{dt}$، ومنه $\frac{dr}{dt}=\frac{100}{400\pi}=\frac{1}{4\pi}$.

الإجابة الصحيحة: $x^2 + y^2 = 100$

بنظرية فيثاغورس وطول السلّم $10$ م: $x^2+y^2=10^2=100$.

الإجابة الصحيحة: $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$

باشتقاق $x^2+y^2=100$ بالنسبة لـ $t$ (والطرف الأيمن ثابت) نحصل على $2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{3}{2}$ م/ث

عند $x=6$ يكون $y=8$. من $2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$: $2(6)(2)+2(8)\frac{dy}{dt}=0$، أي $24+16\frac{dy}{dt}=0$، ومنه $\frac{dy}{dt}=-\frac{24}{16}=-\frac{3}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{8}{3}$ م/ث

عند $x=8$ يكون $y=6$ (لأن $x^2+y^2=100$). من $2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$: $2(8)(2)+2(6)\frac{dy}{dt}=0$، أي $32+12\frac{dy}{dt}=0$، ومنه $\frac{dy}{dt}=-\frac{32}{12}=-\frac{8}{3}$.

الإجابة الصحيحة: ينزل لأسفل

الإشارة السالبة تعني أن الطرف العلويّ ينزل، بينما الموجبة تعني تزايدًا.

الإجابة الصحيحة: $60\pi$ سم²/ث

من $\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$: $\frac{dA}{dt}=2\pi(10)(3)=60\pi$.

الإجابة الصحيحة: $40\pi$ سم²/ث

من $\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$: $\frac{dA}{dt}=2\pi(4)(5)=40\pi$.

الإجابة الصحيحة: $10$ سم/ث

من $\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$: $100\pi=2\pi(5)\frac{dr}{dt}=10\pi\frac{dr}{dt}$، ومنه $\frac{dr}{dt}=10$.

الإجابة الصحيحة: بعد الاشتقاق

نصّ الدرس: لا تعوّض بالقيم العددية قبل الاشتقاق؛ عوّض بعده فقط، وإلا اختفت المتغيّرات التي تحتاج مشتقّاتها.

الإجابة الصحيحة: تحديد المتغيّرات وتسمية المعطى والمطلوب من المعدّلات

الخطوة الأولى: تحديد المتغيّرات، ورسم شكل توضيحيّ إن أمكن، وتسمية المعطى والمطلوب من المعدّلات.

الإجابة الصحيحة: تقليل عدد المتغيّرات قبل الاشتقاق

ورد في الملاحظات: في مسائل التشابه، استخدم نسبة الأضلاع المتناظرة لتقليل عدد المتغيّرات قبل الاشتقاق.

الإجابة الصحيحة: $22.5$ سم³/ث

$V=x^{3}$ فـ $\frac{dV}{dt}=3x^{2}\frac{dx}{dt}=3(25)(0.3)=22.5$ سم³/ث.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{3}{8}$ م/ث

$x^{2}+y^{2}=25$ ومن $x=3$ نجد $y=4$. $\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}=-\frac{3}{4}(0.5)=-\frac{3}{8}$ م/ث، والإشارة السالبة تعني انزلاقه لأسفل.

الإجابة الصحيحة: $0.75$ م/ث

من تشابه المثلثين $\frac{4.8}{1.6}=\frac{x+s}{s}$ فـ $x=2s$ ومنه $\frac{ds}{dt}=\frac{1}{2}\frac{dx}{dt}=0.75$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: $5$ سم²/ث

$A=\frac{1}{2}xy$ فـ $\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\left(y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}\right)=\frac{1}{2}(16-6)=5$ سم²/ث.

خطوات الحلّ: (1) تحديد المتغيّرات، ورسم شكل توضيحيّ إن أمكن، وتسمية المعطى والمطلوب من المعدّلات $\frac{d\cdots}{dt}$. (2) كتابة معادلة تربط المتغيّرات (مثل مساحة، حجم، نظرية فيثاغورس، أو تشابه مثلثات). (3) اشتقاق طرفَي المعادلة بالنسبة إلى الزمن $t$. (4) التعويض بالقيم اللحظية للمتغيّرات وبالمعدّلات المعلومة (بعد الاشتقاق لا قبله). (5) حلّ المعادلة لإيجاد المعدّل المطلوب، مع الانتباه إلى إشارته (موجب: تزايد، سالب: تناقص) وإلى وحداته.

نكتب العلاقة بين حجم الكرة ونصف قطرها: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. نشتقّ الطرفين بالنسبة إلى $t$: $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$. نعوّض بالقيم اللحظية $\frac{dV}{dt}=100$ و $r=5$: $100=4\pi(25)\frac{dr}{dt}=100\pi\frac{dr}{dt}$. نحلّ لإيجاد $\frac{dr}{dt}$: $\frac{dr}{dt}=\frac{100}{100\pi}=\frac{1}{\pi}$ سم/ث. والإشارة الموجبة تعني أن نصف القطر يتزايد.

ليكن $x$ بُعد الطرف السفليّ عن الحائط، و $y$ ارتفاع الطرف العلويّ. بنظرية فيثاغورس: $x^2+y^2=10^2=100$. عند $x=6$ نجد $y=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$. نشتقّ طرفَي المعادلة بالنسبة إلى $t$: $2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$. نعوّض $x=6$، $y=8$، $\frac{dx}{dt}=2$: $2(6)(2)+2(8)\frac{dy}{dt}=0$، أي $24+16\frac{dy}{dt}=0$. نحلّ: $\frac{dy}{dt}=-\frac{24}{16}=-\frac{3}{2}$ م/ث. الإشارة السالبة تعني أن الطرف العلويّ ينزل بمعدّل $\frac{3}{2}$ م/ث.

العلاقة بين مساحة الدائرة ونصف قطرها: $A=\pi r^2$. نشتقّ الطرفين بالنسبة إلى $t$: $\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$. نعوّض $r=10$ و $\frac{dr}{dt}=3$: $\frac{dA}{dt}=2\pi(10)(3)=60\pi$ سم²/ث. أي أن مساحة السطح تتزايد بمعدّل $60\pi$ سم²/ث.

نكتب العلاقة: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$، ونشتقّ بالنسبة إلى $t$: $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$. نعوّض $\frac{dV}{dt}=36\pi$ و $r=3$: $36\pi=4\pi(9)\frac{dr}{dt}=36\pi\frac{dr}{dt}$. نحلّ: $\frac{dr}{dt}=\frac{36\pi}{36\pi}=1$ سم/ث. فنصف القطر يتزايد بمعدّل $1$ سم/ث.

ليكن $x$ بُعد الطرف السفليّ عن الحائط، و $y$ ارتفاع الطرف العلويّ. بنظرية فيثاغورس: $x^2+y^2=13^2=169$. عند $x=5$ نجد $y=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$. نشتقّ طرفَي المعادلة بالنسبة إلى $t$: $2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$. نعوّض $x=5$، $y=12$، $\frac{dx}{dt}=3$: $2(5)(3)+2(12)\frac{dy}{dt}=0$، أي $30+24\frac{dy}{dt}=0$. نحلّ: $\frac{dy}{dt}=-\frac{30}{24}=-\frac{5}{4}$ م/ث. الإشارة السالبة تعني أن الطرف العلويّ ينزل بمعدّل $\frac{5}{4}$ م/ث.

يجب الاشتقاق أولًا لأن المتغيّرات في المعادلة الرابطة تُعامَل كدوالّ في الزمن $t$، والمطلوب هو معدّل تغيّرها $\frac{d\cdots}{dt}$ عند لحظة معيّنة. إذا عوّضنا بالقيم العددية قبل الاشتقاق فإن المتغيّرات تتحوّل إلى أعداد ثابتة، فيصبح اشتقاقها صفرًا وتختفي المشتقّات $\frac{d\cdots}{dt}$ التي نحتاج إليها لإيجاد المعدّل المجهول، فلا يمكن الوصول إلى العلاقة بين المعدّلات. لذلك يجب اشتقاق المعادلة أولًا بصورتها العامة، ثم التعويض بالقيم اللحظية للمتغيّرات والمعدّلات المعلومة بعد ذلك فقط.

العلاقة: $A=\pi r^2$، وبالاشتقاق بالنسبة إلى $t$: $\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$. نعوّض $\frac{dA}{dt}=40\pi$ و $r=4$: $40\pi=2\pi(4)\frac{dr}{dt}=8\pi\frac{dr}{dt}$. نحلّ: $\frac{dr}{dt}=\frac{40\pi}{8\pi}=5$ سم/ث. أي أن نصف القطر يتزايد بمعدّل $5$ سم/ث.

ليكن $x$ بُعد الطرف السفليّ عن الحائط، و $y$ ارتفاع الطرف العلويّ. بنظرية فيثاغورس: $x^2+y^2=10^2=100$. عند $x=8$ نجد $y=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$. نشتقّ طرفَي المعادلة بالنسبة إلى $t$: $2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$. نعوّض $x=8$، $y=6$، $\frac{dx}{dt}=4$: $2(8)(4)+2(6)\frac{dy}{dt}=0$، أي $64+12\frac{dy}{dt}=0$. نحلّ: $\frac{dy}{dt}=-\frac{64}{12}=-\frac{16}{3}$ م/ث. الإشارة السالبة تعني أن الطرف العلويّ ينزل بمعدّل $\frac{16}{3}$ م/ث.

نكتب العلاقة: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$، ونشتقّ بالنسبة إلى $t$: $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$. نعوّض $\frac{dV}{dt}=8\pi$ و $r=2$: $8\pi=4\pi(4)\frac{dr}{dt}=16\pi\frac{dr}{dt}$. نحلّ: $\frac{dr}{dt}=\frac{8\pi}{16\pi}=\frac{1}{2}$ سم/ث. الإشارة الموجبة تعني أن نصف قطر البالون يتزايد (والبالون يستمر في الانتفاخ) بمعدّل $\frac{1}{2}$ سم/ث.

ليكن $x$ بعد الرجل عن قاعدة العمود و$s$ طول الظل. بتشابه المثلثين $\frac{5.4}{1.8}=\frac{x+s}{s}$ فـ $3s=x+s$ أي $x=2s$. إذن $\frac{ds}{dt}=\frac{1}{2}(2)=1$ م/ث. وطرف الظل يبعد $x+s=3s$ فمعدل ابتعاده $3\times1=3$ م/ث.

نشتق $V=IR$ بالنسبة إلى الزمن: $\frac{dV}{dt}=I\frac{dR}{dt}+R\frac{dI}{dt}=2(-0.2)+10(0.1)=0.6$ فولت/ث، أي يتزايد فرق الجهد بمعدل $0.6$ فولت/ث.

بما أن $r=\frac{h}{2}$ فإن $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi h^{3}}{12}$. نشتق بالنسبة إلى $t$: $\frac{dV}{dt}=\frac{\pi h^{2}}{4}\frac{dh}{dt}$. نعوّض: $3\pi=\frac{\pi(36)}{4}\frac{dh}{dt}=9\pi\frac{dh}{dt}$ فـ $\frac{dh}{dt}=\frac{1}{3}$ م/د.