أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حدد فترات التحدب ونقط الانقلاب للمنحنى $f(x) = x^4 - 4x^3$.

الحل: $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$. عندما $x < 0$ أو $x > 2$ تكون $f'' > 0$ فالمنحنى محدب لأسفل، وعندما $0 < x < 2$ تكون $f'' < 0$ فهو محدب لأعلى. تتغير الإشارة عند $x = 0$ و$x = 2$ فنقطتا الانقلاب $(0, 0)$ و$(2, -16)$.

مثال 2: أوجد نقطة انقلاب $f(x) = x^3 - 3x^2$ ومعادلة المماس عندها.

الحل: $f''(x) = 6(x-1)$ تتغير إشارتها عند $x = 1$ فالنقطة $(1, -2)$. ميل المماس $f'(1) = 3 - 6 = -3$ فالمماس $y + 2 = -3(x - 1)$ أي $y = -3x + 1$.

مثال 3 (لا مماس فلا انقلاب): ادرس نقطة $x = 1$ للدالة $f(x) = x^2 - 1$ عندما $x \le 1$ و$f(x) = -(x-1)^2$ عندما $x > 1$.

الحل: الدالة متصلة عند $1$ إذ $f(1) = 0$ من الجهتين. $f''(x) = 2 > 0$ قبل $1$ و$-2 < 0$ بعدها فيتغير التحدب، لكن المشتقة اليسرى $2$ واليمنى $0$ فلا مماس عند $x = 1$. إذن $(1, 0)$ ليست نقطة انقلاب.

مثال 4: استخدم اختبار المشتقة الثانية لإيجاد القيم المحلية لـ $f(x) = x^4 - 6x^2 + 1$.

الحل: $f'(x) = 4x(x^2 - 3)$ والنقاط الحرجة $x = 0, \pm\sqrt{3}$. $f''(x) = 12x^2 - 12$. عند $x = 0$: $f'' = -12 < 0$ فقيمة عظمى محلية $f(0) = 1$. عند $x = \pm\sqrt{3}$: $f'' = 24 > 0$ فقيمة صغرى محلية $f(\pm\sqrt{3}) = 9 - 18 + 1 = -8$.

مثال 5 (اختبار غير حاسم): ماذا يفيد اختبار المشتقة الثانية عند $x = 0$ للدالتين $f(x) = x^4$ و$g(x) = x^3$؟

الحل: لكل منهما $f'(0) = 0$ و$f''(0) = 0$ فلا يحدد الاختبار. بالمشتقة الأولى: $f'(x) = 4x^3$ تتغير من $-$ إلى $+$ فللدالة $f$ قيمة صغرى عند $0$. و$g'(x) = 3x^2 \ge 0$ لا تغير إشارتها فلا قيمة قصوى لـ $g$ (وعند $0$ نقطة انقلاب لأن $g'' = 6x$ تتغير إشارتها).

مثال 6 (رسم منحنى): ارسم الشكل العام لمنحنى $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.

الحل: $f(x) = x(x-3)^2$ فيقطع المحور السيني عند $0$ و$3$. $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$: متزايدة على $]-\infty, 1[$ وعلى $]3, \infty[$ ومتناقصة على $]1, 3[$، فعند $x = 1$ قيمة عظمى محلية $f(1) = 4$ وعند $x = 3$ قيمة صغرى محلية $f(3) = 0$. $f''(x) = 6(x-2)$: محدب لأعلى عندما $x < 2$ ومحدب لأسفل عندما $x > 2$ ونقطة الانقلاب $(2, 2)$. نصل النقاط $(0,0)$ و$(1,4)$ و$(2,2)$ و$(3,0)$ بمنحنى يوافق الجدول.

مثال 7 (إيجاد الثوابت): إذا كانت $(2, 16)$ نقطة انقلاب لمنحنى $f(x) = ax^3 + bx^2$ فأوجد $a$ و$b$.

الحل: $f''(x) = 6ax + 2b$ وتنعدم عند $x = 2$: $12a + 2b = 0$ أي $b = -6a$. وتحقق النقطة المنحنى: $8a + 4b = 16$ فـ $8a - 24a = 16$ أي $a = -1$ و$b = 6$.