أسئلة: دراسة المنحنيات

الإجابة الصحيحة: محدب لأسفل

$f''>0$ تعني أن $f'$ متزايدة فالمنحنى محدب لأسفل (على شكل وعاء).

الإجابة الصحيحة: محدب لأعلى

$f''<0$ تعني أن $f'$ متناقصة فالمنحنى محدب لأعلى (على شكل قبة).

الإجابة الصحيحة: محدب لأسفل

تزايد $f'$ يعني $f''>0$ أي تحدب لأسفل.

الإجابة الصحيحة: أن يتغير اتجاه التحدب عندها مع وجود مماس للمنحنى

نقطة الانقلاب يتغير عندها اتجاه التحدب ويوجد عندها مماس. وانعدام $f''$ وحده لا يكفي.

الإجابة الصحيحة: لأن $f''(x)=12x^2\ge0$ فلا تتغير إشارتها عند $0$

تغير الإشارة شرط لازم، و$f''=12x^2$ لا سالبة أبدًا فلا يتغير التحدب.

الإجابة الصحيحة: قيمة عظمى محلية

اختبار المشتقة الثانية: $f''(c)<0$ يعني التحدب لأعلى حول نقطة مماسها أفقي فهي قيمة عظمى محلية.

الإجابة الصحيحة: قيمة صغرى محلية

$f''(c)>0$ تعني تحدبًا لأسفل حول نقطة مماسها أفقي فهي قيمة صغرى محلية.

الإجابة الصحيحة: لا يحدد نوع النقطة فنستخدم اختبار المشتقة الأولى

عند انعدام $f''$ لا يفيد الاختبار، فقد تكون قيمة عظمى أو صغرى أو لا شيء (مثل $x^3$ و$x^4$ عند $0$).

الإجابة الصحيحة: يقطع المنحنى

عند نقطة الانقلاب يقع المنحنى في جهة من المماس وفي الجهة الأخرى منه، فيقطعه المماس.

الإجابة الصحيحة: $6x-6$

$f'=3x^2-6x$ ثم $f''=6x-6$.

الإجابة الصحيحة: $(1,-2)$

$f''=6(x-1)$ تتغير إشارتها عند $x=1$ و$f(1)=1-3=-2$.

الإجابة الصحيحة: محدب لأعلى

$f''=6(x-1)<0$ عندما $x<1$.

الإجابة الصحيحة: محدب لأسفل

$f''=6(x-1)>0$ عندما $x>1$.

الإجابة الصحيحة: $x<0$ وعلى $x>2$

$f''=12x(x-2)>0$ عندما $x<0$ أو $x>2$.

الإجابة الصحيحة: $(0,0)$ و$(2,-16)$

$f''=12x(x-2)$ تتغير إشارتها عند $0$ و$2$ و$f(0)=0$ و$f(2)=16-32=-16$.

الإجابة الصحيحة: $1$ عند $x=0$

$f'=4x(x^2-3)$ و$f''(0)=-12<0$ فقيمة عظمى محلية $f(0)=1$.

الإجابة الصحيحة: $-8$ عند $x=\pm\sqrt{3}$

$f''(\pm\sqrt{3})=12\cdot3-12=24>0$ و$f(\pm\sqrt{3})=9-18+1=-8$.

الإجابة الصحيحة: المشتقة اليسرى $2$ تختلف عن اليمنى $0$ فلا مماس للمنحنى عندها

نقطة الانقلاب يلزم لها مماس، والمشتقتان من الجهتين مختلفتان فالمنحنى له ركن عند $x=1$.

الإجابة الصحيحة: $x=0$ و$x=3$

$f(x)=x(x-3)^2=0$ عند $x=0$ و$x=3$.

الإجابة الصحيحة: $y=-3x+1$

نقطة الانقلاب $(1,-2)$ والميل $f'(1)=-3$ فـ $y+2=-3(x-1)$ أي $y=-3x+1$.

نقطة الانقلاب نقطة $(c,f(c))$ على المنحنى حيث $f$ متصلة عند $c$ ويوجد للمنحنى مماس عندها، ويتغير اتجاه التحدب عندها من لأعلى إلى لأسفل أو العكس. فالشرط هو تغير إشارة $f''$ مع وجود المماس، ولا يكفي أن تنعدم $f''$ فقط.

$f'(x)=4x^3-12x^2$ و$f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$. عندما $x<0$ أو $x>2$ تكون $f''>0$ فالمنحنى محدب لأسفل، وعندما $0<x<2$ تكون $f''<0$ فهو محدب لأعلى. تتغير الإشارة عند $0$ و$2$ فنقطتا الانقلاب $(0,0)$ و$(2,-16)$.

$f''(x)=6(x-1)$ تتغير إشارتها عند $x=1$ فنقطة الانقلاب $(1,f(1))=(1,-2)$. ميل المماس $f'(1)=3-6=-3$ فمعادلته $y+2=-3(x-1)$ أي $y=-3x+1$.

$f'(x)=4x(x^2-3)$ والنقاط الحرجة $x=0,\pm\sqrt{3}$، و$f''(x)=12x^2-12$. عند $x=0$: $f''=-12<0$ فقيمة عظمى محلية $f(0)=1$. عند $x=\pm\sqrt{3}$: $f''=24>0$ فقيمة صغرى محلية $f(\pm\sqrt{3})=-8$.

لكل منهما $f'(0)=0$ و$f''(0)=0$ فلا يحدد اختبار المشتقة الثانية شيئًا. بالمشتقة الأولى: $f'(x)=4x^3$ تتغير من سالبة إلى موجبة عند $0$ فعندها قيمة صغرى محلية لـ $f$. أما $g'(x)=3x^2\ge0$ فلا تتغير إشارتها فلا توجد قيمة قصوى لـ $g$، وتوجد عند $0$ نقطة انقلاب لأن $g''=6x$ تتغير إشارتها.

$f(x)=x(x-3)^2$ فيقطع المحور السيني عند $0$ و$3$. $f'(x)=3(x-1)(x-3)$: متزايدة على $]-\infty,1[$ و$]3,\infty[$ ومتناقصة على $]1,3[$، فقيمة عظمى محلية $f(1)=4$ وصغرى محلية $f(3)=0$. $f''(x)=6(x-2)$: محدب لأعلى عندما $x<2$ ومحدب لأسفل عندما $x>2$ ونقطة الانقلاب $(2,2)$. نعين النقاط $(0,0)$ و$(1,4)$ و$(2,2)$ و$(3,0)$ ونصلها بمنحنى يوافق الجدولين.

1) المجال والتماثل (زوجية أو فردية). 2) إيجاد $f'$ والنقاط الحرجة وجدول التزايد والتناقص والقيم المحلية. 3) إيجاد $f''$ وفترات التحدب ونقط الانقلاب. 4) إيجاد نقاط التقاطع مع المحورين إن أمكن. 5) تعيين النقاط المميزة ورسم المنحنى موافقًا للجداول، مع إمكان إضافة نقاط أخرى.

الدالة الزوجية تحقق $f(-x)=f(x)$ ومنحناها متماثل حول محور $y$. والدالة الفردية تحقق $f(-x)=-f(x)$ ومنحناها متماثل حول نقطة الأصل.

$f''(x)=6ax+2b$ وتنعدم عند $x=2$: $12a+2b=0$ أي $b=-6a$. وتحقق النقطة المنحنى: $8a+4b=16$ فـ $8a-24a=16$ أي $a=-1$ و$b=6$. ويتحقق أن $f''=-6x+12$ تتغير إشارتها عند $x=2$.

إذا كانت $f'$ متزايدة على فترة فإن ميول المماسات تزداد بزيادة $x$، ويكون المنحنى محدبًا لأسفل وتكون $f''>0$ لأن $f''$ مشتقة $f'$. وإذا كانت $f'$ متناقصة فميول المماسات تنقص، والمنحنى محدب لأعلى و$f''<0$.