أسئلة: نظرية ديموافر

الإجابة الصحيحة: $\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

هذا هو نصّ نظرية ديموافر: رفع المقدار $(\cos\theta+i\sin\theta)$ للأُس $n$ يعطي $\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$.

الإجابة الصحيحة: $r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)]$

بصورتها العامة، ترفع النظرية المقياس $r$ للأُس $n$ وتضرب السعة $\theta$ في $n$.

الإجابة الصحيحة: عددًا صحيحًا: موجبًا أو سالبًا أو صفرًا

نصّ الدرس أن النظرية صحيحة للأُس الموجب والسالب والصفر.

الإجابة الصحيحة: بالاستقراء الرياضي اعتمادًا على أن ضرب الأعداد المركبة يجمع سعتيها

ذكر الدرس أن إثبات النظرية يعتمد على الاستقراء الرياضي وعلى قاعدة أن ضرب الأعداد المركبة يجمع السعات.

الإجابة الصحيحة: يُرفع المقياس للأُس $n$ وتُضرب السعة في $n$

هذا ما ينصّ عليه الدرس مباشرة: رفع العدد للأُس $n$ يرفع المقياس للأُس $n$ ويضرب السعة في $n$.

الإجابة الصحيحة: يُساوى الجزء الحقيقي بالجزء الحقيقي، والجزء التخيّلي بالجزء التخيّلي في الناتجين

طريقة الاشتقاق: حساب المقدار بنظرية ديموافر وبمفكوك ذات الحدين، ثم مساواة الجزأين الحقيقيين ثم التخيّليين.

الإجابة الصحيحة: $\cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta$

هذه هي متطابقة $\cos 3\theta$ بعد مساواة الأجزاء الحقيقية.

الإجابة الصحيحة: $3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta$

هذه هي متطابقة $\sin 3\theta$ بعد مساواة الأجزاء التخيّلية.

الإجابة الصحيحة: $n$

نصّ الدرس أن للعدد المركب عددًا قدره $n$ من الجذور النونية المختلفة.

الإجابة الصحيحة: $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$

حدّد الدرس أن $k$ تأخذ القيم $0, 1, 2, \dots, n-1$ فقط لإعطاء الجذور المختلفة كلها.

الإجابة الصحيحة: تتكرر إحدى القيم التي ظهرت بالفعل

نصّ الدرس: أي قيمة أخرى لـ $k$ تكرّر جذرًا سابقًا.

الإجابة الصحيحة: محيط دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها $r^{1/n}$

لأن جميع الجذور لها المقياس نفسه $r^{1/n}$، فهي تقع على محيط دائرة نصف قطرها $r^{1/n}$ ومركزها نقطة الأصل.

الإجابة الصحيحة: $\frac{2\pi}{n}$

نصّ الدرس أن الجذور تتوزّع بانتظام بفارق زاوي مقداره $\frac{2\pi}{n}$ بين كل جذرين متجاورين.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

مقياس $1+i$ هو $\sqrt{2}$ وسعته $\frac{\pi}{4}$ كما ورد في حل المثال الأول بالدرس.

الإجابة الصحيحة: 16

$(\sqrt2)^8 = 16$ وسعة الناتج $8\cdot\frac{\pi}{4}=2\pi$، فيكون $\cos2\pi+i\sin2\pi=1$، ومن ثمّ الناتج $=16$.

الإجابة الصحيحة: $r=1, \theta=\frac{\pi}{2}$

نصّ الدرس أن مقياس $i$ هو $r=1$ وسعته $\theta=\frac{\pi}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$

هذا هو الجذر $w_0$ الوارد في حل المثال الثاني بالدرس.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$

هذا هو الجذر $w_1$ الوارد في حل المثال الثاني بالدرس: $\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}(1+i)$.

الإجابة الصحيحة: $\pi$

$\frac{2\pi}{n}=\frac{2\pi}{2}=\pi$، وهو نفسه الفرق بين $\frac{\pi}{4}$ و$\frac{5\pi}{4}$.

الإجابة الصحيحة: -1

بنظرية ديموافر: $\cos\left(5\cdot\frac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(5\cdot\frac{\pi}{5}\right)=\cos\pi+i\sin\pi=-1$.

الإجابة الصحيحة: $-64$

$\sqrt{3}-i = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$ فـ $(\sqrt{3}-i)^6 = 2^6\left(\cos(-\pi)+i\sin(-\pi)\right) = -64$.

الإجابة الصحيحة: $-2$

المعادلة $z^3 = -8$ جذورها $2\,\text{cis}\frac{\pi + 2k\pi}{3}$، وعند $k = 1$ نحصل على $2\,\text{cis}\,\pi = -2$، وجذراها الآخران $1 \pm \sqrt{3}\,i$.

الإجابة الصحيحة: $0$

الجذور رؤوس مضلّع خماسي منتظم مركزه الأصل، وتتلاشى متجهاتها عند الجمع، فمجموع الجذور النونية لأي عدد مركب (حين $n \ge 2$) يساوي صفرًا.

الإجابة الصحيحة: $\pm(3 - 2i)$

نفرض $(x+yi)^2 = 5-12i$ فيكون $x^2-y^2 = 5$ و$2xy = -12$ و$x^2+y^2 = 13$، ومنه $x = \pm 3$ و$y = \mp 2$. تحقق: $(3-2i)^2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$.

نصّ النظرية: إذا كان $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ فإن $z^n = r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)]$ لكل عدد صحيح $n$ (موجب أو سالب أو صفر). المعنى: رفع العدد المركب $z$ للأُس $n$ يكافئ رفع مقياسه $r$ للأُس $n$ نفسه، مع ضرب سعته (زاويته) $\theta$ في $n$. وتُثبَت النظرية بالاستقراء الرياضي اعتمادًا على قاعدة أن ضرب الأعداد المركبة يجمع سعاتها.

نطبّق النظرية بطريقتين مختلفتين على المقدار $(\cos\theta + i\sin\theta)^3$ ثم نساوي بينهما: الطريقة الأولى (بنظرية ديموافر): $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$. الطريقة الثانية (بمفكوك ذات الحدين): $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta - i\sin^3\theta$. بما أنّ الناتجين متساويان، نساوي الجزأين الحقيقيين معًا ثم الجزأين التخيّليين معًا: $\cos 3\theta = \cos^3\theta - 3\cos\theta\sin^2\theta$ $\sin 3\theta = 3\cos^2\theta\sin\theta - \sin^3\theta$ وهذه هي الفكرة العامة: حساب المقدار نفسه بطريقتين، ثم مساواة الأجزاء الحقيقية والتخيّلية للحصول على متطابقات الزوايا المتعددة.

الخطوة الأولى: كتابة $1+i$ بالصورة المثلثية: مقياسه $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ وسعته $\theta=\frac{\pi}{4}$، فيكون $1+i=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ الخطوة الثانية: تطبيق نظرية ديموافر بالأُس $8$: $(1+i)^8=(\sqrt2)^8\left[\cos\left(8\cdot\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(8\cdot\frac{\pi}{4}\right)\right]=16[\cos2\pi+i\sin2\pi]=16$ التحقّق المباشر: $(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$، ومنه $(1+i)^8=(2i)^4=16i^4=16\cdot1=16$. وهذا يطابق الناتج بنظرية ديموافر.

الخطوة الأولى: $i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$، فالمقياس $r=1$ والسعة $\theta=\frac{\pi}{2}$. الخطوة الثانية: بما أن المطلوب جذور تربيعية فإن $n=2$، وصيغة الجذور: $w_k=\cos\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}, \quad k=0,1$ عند $k=0$: $w_0=\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}(1+i)$. عند $k=1$: $w_1=\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}(1+i)$. إذن الجذران التربيعيان للعدد $i$ هما $\frac{\sqrt2}{2}(1+i)$ و$-\frac{\sqrt2}{2}(1+i)$، وهما متساويان في المقياس ومتقابلان (فرقهما الزاوي $\pi$).

بتطبيق نظرية ديموافر مباشرة على المقدار $\left(\cos\frac{\pi}{5}+i\sin\frac{\pi}{5}\right)^5$ (هنا $r=1$، $\theta=\frac{\pi}{5}$، $n=5$): $\left(\cos\frac{\pi}{5}+i\sin\frac{\pi}{5}\right)^5=\cos\left(5\cdot\frac{\pi}{5}\right)+i\sin\left(5\cdot\frac{\pi}{5}\right)=\cos\pi+i\sin\pi$ وبما أن $\cos\pi=-1$ و$\sin\pi=0$، فإن الناتج $=-1+0i=-1$، وهو المطلوب إثباته.

الصيغة العامة: $z^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right], \quad k=0,1,2,\dots,n-1$ سبب الاقتصار على هذا المدى: عند $k=n$ تصبح الزاوية $\frac{\theta+2n\pi}{n}=\frac{\theta}{n}+2\pi$، وهي تزيد عن زاوية $k=0$ بمقدار $2\pi$ كاملة، وبما أن $\cos$ و$\sin$ دالتان دوريتان بدورة $2\pi$ فإن قيمتهما تتكرر ويعود الجذر إلى الجذر الذي ظهر عند $k=0$. وبالمثل فإن أي قيمة لـ $k$ خارج المدى $0,1,\dots,n-1$ تعطي زاوية تختلف عن إحدى الزوايا السابقة بمضاعف صحيح لِـ $2\pi$، فتُكرّر جذرًا سبق ظهوره ولا تضيف جذرًا جديدًا.

جميع الجذور النونية للعدد المركب $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ لها المقياس نفسه $r^{1/n}$، لذلك تقع كلها على محيط دائرة واحدة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها $r^{1/n}$. وهي تتوزّع على هذه الدائرة بانتظام تام، بحيث يكون الفرق الزاوي بين كل جذرين متجاورين مقداره ثابتًا يساوي $\frac{2\pi}{n}$، أي أن الجذور تقسّم محيط الدائرة إلى $n$ أقواس متساوية.

الخطوة الأولى: مقياس $1-i$ هو $r=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2$، وسعته $\theta=-\frac{\pi}{4}$ (لأن الجزء الحقيقي موجب والتخيّلي سالب)، فيكون $1-i=\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$ الخطوة الثانية: بتطبيق نظرية ديموافر بالأُس $4$: $(1-i)^4=(\sqrt2)^4\left[\cos\left(4\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)+i\sin\left(4\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)\right]=4[\cos(-\pi)+i\sin(-\pi)]=4(-1+0i)=-4$ التحقّق المباشر: $(1-i)^2=1-2i+i^2=-2i$، ومنه $(1-i)^4=(-2i)^2=4i^2=-4$، وهو نفس الناتج.

الخطوة الأولى: مقياس $\sqrt3+i$ هو $r=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$، وسعته $\theta=\frac{\pi}{6}$ (لأن $\tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}$ والعدد في الربع الأول)، فيكون $\sqrt3+i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ الخطوة الثانية: بتطبيق نظرية ديموافر بالأُس $6$: $(\sqrt3+i)^6=2^6\left[\cos\left(6\cdot\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(6\cdot\frac{\pi}{6}\right)\right]=64[\cos\pi+i\sin\pi]=64(-1+0i)=-64$ التحقّق: $(\sqrt3+i)^2=3+2\sqrt3 i+i^2=2+2\sqrt3 i$، وهذا يساوي $4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$، وبرفعه للأُس $3$ بنظرية ديموافر نحصل على $4^3[\cos\pi+i\sin\pi]=64(-1)=-64$، وهو نفس الناتج.

بتطبيق نظرية ديموافر على المقدار (حيث $r=1$، $\theta=\frac{\pi}{6}$، $n=12$): $\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^{12}=\cos\left(12\cdot\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(12\cdot\frac{\pi}{6}\right)=\cos2\pi+i\sin2\pi$ وبما أن $\cos2\pi=1$ و$\sin2\pi=0$، فإن الناتج $=1+0i=1$، وهو المطلوب إثباته.

$r = \sqrt{64 + 192} = 16$ والنقطة في الربع الثاني و$\theta = \frac{2\pi}{3}$. الجذور الرابعة $2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}\right)\right]$ لـ $k = 0, 1, 2, 3$: $\sqrt{3}+i$ و$-1+\sqrt{3}\,i$ و$-\sqrt{3}-i$ و$1-\sqrt{3}\,i$. تقع على دائرة نصف قطرها $2$ مركزها الأصل وبين كل جذرين زاوية $90^\circ$. مجموعها: الأجزاء الحقيقية $\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} + 1 = 0$ والتخيلية $1 + \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} = 0$.