أسئلة: المعادلات ذات الدرجة العالية

الإجابة الصحيحة: $0$

من $\omega^3 - 1 = (\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$ و $\omega \ne 1$ نجد $\omega^2 + \omega + 1 = 0$.

الإجابة الصحيحة: $\omega^2$

$\omega^{14} = \omega^{12} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^4 \omega^2 = \omega^2$.

الإجابة الصحيحة: $\{1, -1, 2, -2\}$

بوضع $y = x^2$ نتحصل على $y^2 - 5y + 4 = 0 \implies (y-1)(y-4) = 0 \implies y=1 \text{ أو } y=4$. وبالتالي $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$ و $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

الإجابة الصحيحة: $x = \pm 1$

بوضع $y = x^2$ نجد $y^2 + 3y - 4 = 0 \implies (y+4)(y-1) = 0 \implies y = 1 \text{ أو } y = -4$. من $y = 1$ نحصل على $x = \pm 1$ (حقيقي)، أما $y = -4$ فتعطي جذورًا مركّبة غير حقيقية $x = \pm 2i$.

الإجابة الصحيحة: $2$

وفقًا لنظرية العامل، تبدأ التجربة من قواسم الحد الثابت $6$ وهي $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. العدد $2$ هو الوحيد بين الاختيارات الذي ينتمي لقواسم العدد $6$.

الإجابة الصحيحة: $1, \frac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}, \frac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$. الجذر الحقيقي 1، وجذرا $x^2 + x + 1 = 0$ بالقانون العام $\frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $x^2 - 4 = 0$

بإجراء القسمة التركيبية بالجذر $3$ على المعاملات $(1, -3, -4, 12)$ نحصل على معامل خارج القسمة $(1, 0, -4)$، مما يعطي المعادلة $x^2 - 4 = 0$.

الإجابة الصحيحة: $9$

بوضع $y = x^2$ نجد $y^2 - 10y + 9 = 0 \implies y = 1 \text{ أو } y = 9$. الجذور الحقيقية لـ $x$ هي $1, -1, 3, -3$. حاصل ضربها يساوي $1 \times (-1) \times 3 \times (-3) = 9$.

الإجابة الصحيحة: $3$

بالتعويض: $8 - 4k + 10 - 6 = 0$ أي $12 - 4k = 0$، فيكون $k = 3$. (وتصبح المعادلة $(x - 2)(x^2 - x + 3) = 0$.)

الإجابة الصحيحة: $2y^2 - 7y + 3 = 0$

بدلالة $y = x^2$، يصبح $x^4 = y^2$، فنعوّض مباشرة لتصبح المعادلة $2y^2 - 7y + 3 = 0$.

الإجابة الصحيحة: $4$

حسب النظرية الأساسية في الجبر، عدد جذور كثيرة الحدود من الدرجة $n$ يساوي $n$ (مع احتساب التكرار والجذور المركّبة)، وفي الدرجة الرابعة يكون عدد الجذور هو $4$.

الإجابة الصحيحة: $1, 2, -3$

بتجربة $x = 1$: $1 - 7 + 6 = 0$. بالقسمة التركيبية بالجذر $1$ نجد خارج القسمة $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) = 0$. إذن الجذور هي $1, 2, -3$.

الإجابة الصحيحة: $1$

من $\omega^2 + \omega + 1 = 0$: $1 + \omega = -\omega^2$ و $1 + \omega^2 = -\omega$، فيكون الناتج $(-\omega^2)(-\omega) = \omega^3 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

$x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2)$ مع $a = 2$: $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.

الإجابة الصحيحة: $3$ أو $4$

الحالة الأولى: $x = 1$ جذر للعامل التربيعي: $1 - 4 + m = 0$ أي $m = 3$. الحالة الثانية: مميّز العامل التربيعي صفر: $16 - 4m = 0$ أي $m = 4$.

1) بتجربة قواسم الحد الثابت $6$: نعوض $x = -1$: $(-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$. إذن $x = -1$ جذر للمعادلة، و $(x + 1)$ عامل لها. 2) بقسمة كثيرة الحدود على $(x + 1)$ بالقسمة التركيبية على المعاملات $(1, -4, 1, 6)$ والجذر $-1$: - ننزل $1$. - $1 \times (-1) = -1 \implies -4 + (-1) = -5$. - $-5 \times (-1) = 5 \implies 1 + 5 = 6$. - $6 \times (-1) = -6 \implies 6 + (-6) = 0$. خارج القسمة هو المعادلة التربيعية: $x^2 - 5x + 6 = 0$. 3) بتحليل خارج القسمة: $(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2 \text{ أو } x = 3$. إذن مجموعة الحل هي: $\{-1, 2, 3\}$.

1) بفرض أن $y = x^2$، تتحول المعادلة إلى معادلة تربيعية: $y^2 - 13y + 36 = 0$ 2) بتحليل المعادلة التربيعية: $(y - 4)(y - 9) = 0 \implies y = 4 \text{ أو } y = 9$ 3) بالعودة للمتغير الأصلي $x$: - عندما $y = 4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. - عندما $y = 9 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$. إذن مجموعة الحل الحقيقية هي: $\{2, -2, 3, -3\}$.

1) بفرض $y = x^2$، تصبح المعادلة: $y^2 - 2y - 8 = 0$ 2) بتحليل المعادلة التربيعية: $(y - 4)(y + 2) = 0 \implies y = 4 \text{ أو } y = -2$ 3) بالعودة للمتغير الأصلي $x$: - عندما $y = 4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$ (جذران حقيقيان). - عندما $y = -2 \implies x^2 = -2 \implies x = \pm \sqrt{2}i$ (جذران مركّبان غير حقيقيين). إذن الجذور الحقيقية هي $\{2, -2\}$ والجذور المركّبة غير الحقيقية هي $\{\sqrt{2}i, -\sqrt{2}i\}$.

بما أن المعاملات حقيقية فالمرافق $2 + i$ جذر أيضًا، وحاصل ضرب العاملين $(x - 2 + i)(x - 2 - i) = (x - 2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5$. نفرض الجذر الثالث $c$: $(x - c)(x^2 - 4x + 5)$، والحد الثابت $-5c = 10$ أي $c = -2$. بالضرب: $(x + 2)(x^2 - 4x + 5) = x^3 - 2x^2 - 3x + 10$، إذن $a = -2$ و $b = -3$، والجذور $2 - i$ و $2 + i$ و $-2$.

1) تجربة قواسم الحد الثابت $-6$: نعوض $x = 1$: $1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. إذن $x = 1$ جذر للمعادلة، و $(x - 1)$ عامل لها. 2) القسمة التركيبية بالجذر $1$ للمعاملات $(1, -6, 11, -6)$: - ننزل $1$. - $1 \times 1 = 1 \implies -6 + 1 = -5$. - $-5 \times 1 = -5 \implies 11 - 5 = 6$. - $6 \times 1 = 6 \implies -6 + 6 = 0$. خارج القسمة هو: $x^2 - 5x + 6 = 0$. 3) حل المعادلة التربيعية: $(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2 \text{ أو } x = 3$. إذن الجذور الثلاثة للمعادلة هي: $x = 1, x = 2, x = 3$.

خطوات الحل العامة: 1) فرض تعويض مناسب $y = x^2$ لتحويل المعادلة إلى معادلة تربيعية في $y$: $ay^2 + by + c = 0$. 2) حل المعادلة التربيعية الناتجة لإيجاد قيم $y$. 3) العودة للمتغير الأصلي بوضع $x^2 = y$ وإيجاد $x = \pm \sqrt{y}$ لكل قيمة مقبولة لـ $y$. التطبيق على المعادلة $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$: - التعويض: $y^2 - 5y + 4 = 0$. - التحليل: $(y - 1)(y - 4) = 0 \implies y = 1 \text{ أو } y = 4$. - حساب $x$: - عند $y = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. - عند $y = 4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. مجموعة الحل هي: $\{1, -1, 2, -2\}$.

$\omega^7 = \omega$ و $\omega^8 = \omega^2$ و $\omega^9 = 1$، فالمجموع $\omega + \omega^2 + 1 = 0$. و $\frac{1}{\omega} = \omega^2$ و $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ (لأن $\omega^3 = 1$)، فالمجموع $\omega^2 + \omega = -1$.