أسئلة: حركة المقذوفات بزاوية

الإجابة الصحيحة: $v_0\cos\theta$

تُحلل السرعة الابتدائية إلى مركبتين، حيث تكون المركبة الأفقية هي حاصل ضرب السرعة في جيب تمام الزاوية.

الإجابة الصحيحة: تساوي صفر

عند أقصى ارتفاع، تتوقف الحركة الرأسية لحظيًا قبل أن يبدأ الجسم في الهبوط، لذا تصبح $v_y=0$.

الإجابة الصحيحة: $45^{\circ}$

يكون المدى الأفقي أقصى ما يمكن عندما تكون $\sin(2\theta)=1$، أي $2\theta=90^{\circ}$ ومنها $\theta=45^{\circ}$.

الإجابة الصحيحة: 10 م/ث

$v_{0y} = v_0\sin\theta = 20 \times 0.5 = 10$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: $T = 2 t_{\text{صعود}}$

بسبب التناظر في مسار المقذوف، زمن الصعود يساوي زمن الهبوط، لذا الطيران الكلي هو ضعف زمن الصعود.

الإجابة الصحيحة: حركة منتظمة السرعة

لا توجد قوى أفقية تؤثر على المقذوف، لذا تبقى $v_x$ ثابتة طوال الرحلة.

الإجابة الصحيحة: 10 م/ث

عند أقصى ارتفاع، تكون السرعة الرأسية صفراً، فتكون السرعة الكلية مساوية للمركبة الأفقية فقط.

الإجابة الصحيحة: صفر

عندما تكون الزاوية $90^{\circ}$، يتحرك الجسم رأسياً فقط ويعود لنقطة الانطلاق دون أي إزاحة أفقية.

الإجابة الصحيحة: يزداد لأربعة أمثال

المدى $R$ يتناسب طردياً مع مربع السرعة $v_0^2$، فإذا تضاعفت السرعة يزداد المدى بمقدار $2^2=4$.

الإجابة الصحيحة: $H = \frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}$

هذا هو القانون المشتق من معادلات الحركة الرأسية عند انعدام السرعة النهائية.

الإجابة الصحيحة: $-g$

يتحرك الجسم تحت تأثير الجاذبية الأرضية التي تعمل دائماً لأسفل، لذا التسارع هو $-g$.

الإجابة الصحيحة: 30 م/ث

$v_{0y} = 50 \times 0.6 = 30$ م/ث.

الإجابة الصحيحة: تساوي $g$ وتتجه رأسيًّا لأسفل

الجاذبية تؤثر في الجسم طوال طيرانه، فعجلته $g$ لأسفل في كل النقاط بما فيها القمة. الذي ينعدم عند القمة هو المركبة الرأسية للسرعة، لا العجلة.

الإجابة الصحيحة: 4 ث

$v_{0y} = 24.5 \times 0.8 = 19.6$ م/ث، وزمن الصعود $19.6 / 9.8 = 2$ ث، وبالتماثل زمن الطيران $2 \times 2 = 4$ ث.

الإجابة الصحيحة: 6 م

المسار متماثل حول القمة عند العودة إلى المستوى نفسه، والحركة الأفقية منتظمة؛ فالمسافة الأفقية بعد القمة تساوي التي قبلها، والمدى $= 2 \times 3 = 6$ م.

الإجابة الصحيحة: مداهما الأفقيان متساويان، وزمن طيران الثاني أكبر

$R = v_0^2 \sin 2\theta / g$ و $\sin 60^\circ = \sin 120^\circ$، فالمديان متساويان. أما زمن الطيران $2 v_0 \sin\theta / g$ فأكبر للزاوية الأكبر.

أولاً: نحلل السرعة الابتدائية الرأسية $v_{0y} = v_0 \sin 30^{\circ} = 40 \times 0.5 = 20$ م/ث. ثانياً: نستخدم قانون زمن الصعود $t = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{20}{10} = 2$ ثانية.

المدى $R$ يعتمد على قيمة $\sin(2\theta)$. لكي يكون المدى أقصى ما يمكن، يجب أن تكون قيمة $\sin(2\theta)$ عند أقصى قيمة لها وهي 1. بما أن $\sin(90^{\circ}) = 1$، إذن $2\theta = 90^{\circ}$، ومنها $\theta = 45^{\circ}$.

المركبة الرأسية $v_{0y} = 20 \sin 30^{\circ} = 10$ م/ث. قانون أقصى ارتفاع $H = \frac{(v_{0y})^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5$ متر.

زمن الصعود هو نصف زمن الطيران الكلي، أي $t = \frac{8}{2} = 4$ ثوانٍ. السبب هو التناظر في مسار المقذوف (عند العودة لنفس المستوى) حيث يساوي زمن الصعود زمن الهبوط.

$v_{0x} = 100 \times 0.8 = 80$ م/ث. $v_{0y} = 100 \times 0.6 = 60$ م/ث. زمن الطيران $T = \frac{2 v_{0y}}{g} = \frac{2 \times 60}{10} = 12$ ثانية. المدى $R = v_{0x} \times T = 80 \times 12 = 960$ متر.

تظل المركبة الأفقية ثابتة لعدم وجود أي قوة أفقية تؤثر على الجسم (بإهمال مقاومة الهواء)، بينما تتغير المركبة الرأسية بسبب تأثير قوة الجاذبية الأرضية التي تولد تسارعاً ثابتاً ($g$) في الاتجاه الرأسي.

(أ) $v_{0x} = 19.6 \times 0.87 \approx 17.05$ م/ث و $v_{0y} = 19.6 \times 0.5 = 9.8$ م/ث. (ب) $t_{top} = 9.8 / 9.8 = 1$ ث. (ج) $H = 9.8^2 / (2 \times 9.8) = 4.9$ م. (د) زمن الطيران 2 ث، والمدى $\approx 17.05 \times 2 \approx 34$ م. (هـ) عند القمة تنعدم المركبة الرأسية فقط، فالسرعة $\approx 17$ م/ث أفقيًّا.